Epsilon-Umgebung

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19.09.2006, 14:53	Apokalypse	Auf diesen Beitrag antworten »
Epsilon-Umgebung Ich kenne mich nicht so doll mit dem Formeleditor aus und jetzt muss ich wohl oder über meine Frage ohne Formel stellen. Eine Zahl heißt Grenzwert, wenn gilt: Betragsstrich g minus a(tiefgestellt) n Betragsstrich ist kleiner als Epsilon Ich hoffe ihr wisst was gemeint ist. ich habe verstanden wie die formel hergeitet wird usw. Mein Problem ist jetzt der Teil in den Betragsstrichen. a (tiefgestellt n) = (5n+2)/(3-n) g = -1 Epsilon = 0,5 Meine Frage: wie rechne ich den Teil in den Betragsstrichen aus.
19.09.2006, 15:01	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
du musst prüfen, für welche fälle der term im betrag kleiner als null ist und für diese fälle dann mit (-1) multiplizieren. beispiel: $\begin{eqnarray} f(x):=\mid x-3\mid \end{eqnarray}$ f wechselt bei x=3 das vorzeichen, daher kann man die funktion aufteilen: $\begin{eqnarray} f(x)=x-3\qquad x\geq 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=x-3\qquad x<3 \end{eqnarray}$
19.09.2006, 15:01	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Also diese Definition ist unvollständig. Im übrigen ist $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{5n+2}{3-n} = -5 \end{eqnarray}$ . Vermutlich willst du wissen, für welche n folgende Ungleichung erfüllt ist: $\begin{eqnarray} \left\| \frac{5n+2}{3-n} + 5 \right\| < \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Stimmt das? Gruß, therisen
19.09.2006, 15:08	Apokalypse	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe Probleme das in den Betragsstrichen auzurechnen. Manchmal klappts manchmal nicht.
19.09.2006, 15:13	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
wie ich schon sagte, vereinfachen (hauptnenner) und dann die fallunterscheidung machen... poste mal was du schon hast
19.09.2006, 15:18	Apokalypse	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme da jetzt auf 17/(3-n) Für n>3 muss ich jetzt den term mit minus 1 multiplizieren, oder?
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19.09.2006, 15:22	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, das hab ich auch. jetzt steht da $\begin{eqnarray} \mid\frac{17}{3-n}\mid<\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ jetzt überleg dir wann der term zwischen den betragstrichen null wird
19.09.2006, 15:23	Apokalypse	Auf diesen Beitrag antworten »
Für n = drei wird der term null
19.09.2006, 15:24	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit Sicherheit nicht
19.09.2006, 15:25	Apokalypse	Auf diesen Beitrag antworten »
oops für n=3 ist der Term nicht definiert
19.09.2006, 15:28	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Für deine Fallunterscheidung musst du nur wissen, wann $\begin{eqnarray} 3-n \geq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 3-n<0 \end{eqnarray}$ gilt.
19.09.2006, 15:29	Apokalypse	Auf diesen Beitrag antworten »
cih bekomme dann zwei lösungen für n und muss dann mit der probe gucken welche stimmt?
19.09.2006, 15:30	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
so hätte ichs auch formulieren können... so, jetzt schau nach wann es kleiner als null ist und für diese fälle musst du den term mit (-1) mutiplizieren
19.09.2006, 15:30	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, keine Probe Für $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \|x\| = -x \end{eqnarray}$ . Das musst du hier übertragen.
19.09.2006, 15:32	Apokalypse	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube ich habe verstanden
19.09.2006, 15:33	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann zeig doch mal deine Lösungen
19.09.2006, 15:42	Apokalypse	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Term 17/(3-n) habe ich -31 heraus. Für den Term -17/(3-n) habe ich 37 raus. Hier in meinem Buch steht noch, dass man nur natürliche Zahlen einsetzen darf, womit die 1.Lösung wegfiele.
19.09.2006, 15:47	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt in etwa (die Formulierung ist nicht sauber). Für $\begin{eqnarray} n > 37 \end{eqnarray}$ ist obige Ungleichung erfüllt.
19.09.2006, 15:48	Apokalypse	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe!!!
19.09.2006, 16:57	Apokalypse	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin s nochmal: Wie mache ich die Fall unterscheidung bei: Folge: 1/n^4 Grenzwert der Folge 0 Epsilon =0,5 Betragsstrich -1/n^4 Betragsstrich <0,5
19.09.2006, 17:13	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1}{n^4} = \left\| -\frac{1}{n^4} \right\| < \frac{1}{2} \end{eqnarray}$
19.09.2006, 17:14	Apokalypse	Auf diesen Beitrag antworten »
muss ich dann nur noch die vierte Wurzel ziehen und dann hab ich die Lösung?
19.09.2006, 17:30	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
So in etwa, ja
19.09.2006, 17:30	Apokalypse	Auf diesen Beitrag antworten »
muss ich auch die negative vierte wurzel ziehen? edit: muss ich glaub ich net. hab wieder was geschrieben ohne nachzudenken
19.09.2006, 17:35	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne, musst du nicht. Eigentlich sieht man es obiger Darstellung auch schon an, welche n das Gewünschte erfüllen.

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