Eigenwerte/Determinante Householder-Matrix

29.06.2009, 16:58

pi_mal_Daumen

Eigenwerte/Determinante Householder-Matrix

Hallo!

Ich komme mal wieder mit nem Problem aus der Numerik (wobei das ja auch noch zur Lin. Algebra passt):

Ich möchte die Eigenwert und -vektoren sowie die Determinante der Householder-Matrix

$\begin{eqnarray*} Q &&= I - \frac{2vv^T}{v^Tv} = I - \frac{2}{v^Tv} vv^T \\<br /> &&= I - \frac{2}{\sum_{i=1}^n~v_i^2} \begin{pmatrix} v_{1 1} & v_{1 2} & ... & v_{1 n} \\ ... & & & ... \\v_{n 1} & v_{n 2} & ... & v_{n n} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

berechnen.
Ich weiß allerdings nicht genau, ob ich schon richtig anfange, wenn ich den Weg über das chark. Polynom gehe.
Ich weiß, dass die Eigenwerte eigentlich -1 und 1 sein sollten (zumindest nach Wiki). Die Determinante könnte ich dann ja aus dem Produkt der Eigenwerte berechnen. (Sollte dann ja -1 bzw. 1 sein).

Gibt es denn noch irgendwie ne bessere Möglichkeit, wie ich an die Eigenwerte kommen kann, oder muss ich mich wirklich mit dem char. Polynom rumärgern?

29.06.2009, 17:07

tigerbine

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RE: Eigenwerte/Determinante Householder-Matrix
Boardsuche

29.06.2009, 17:15

pi_mal_Daumen

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Hey.

Bei deinem Link bekomme ich

Zitat:

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Also angemeldet bin ich und gesperrt bin ich eigentlich nicht unglücklich

Zumindest hab ich unter der Suche vorher nichts genaueres gefunden.

29.06.2009, 17:18

tigerbine

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Klick nochmal drauf.

29.06.2009, 18:27

pi_mal_Daumen

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Erstmal danke für den Link. Denke die ein oder anderen Sachen werde ich mir nochmal genauer anschaun Augenzwinkern

Also nochmal zu dem Problem mit den Eigenwerten. Das habe ich leider noch nicht so recht verstanden.

Es gilt ja nun $\begin{eqnarray*} Q = I - \frac{2}{v^Tv}vv^T \end{eqnarray*}$

Für einen Eigenvektor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ muss nun also gelten:

$\begin{eqnarray*} Qx = \lambda x \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dann der EV zum EW $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist.

In dem Workshop wurde nun angenommen, dass v ein Eigenvektor sei:

$\begin{eqnarray*} Qv && = (I - \underbrace{\frac{2}{v^Tv}}_{\beta}vv^T)v \\<br /> &&= (I - \beta vv^T)v \\<br /> &&= v - \beta vv^Tv<br /> \end{eqnarray*}$

Du hattest nun verwendet, dass $\begin{eqnarray*} v^Tv = 1 \end{eqnarray*}$ gilt. Aber wieso genau ist das so? Oder stell ich mich gerade einfach nur an? Über $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ weiß ich doch eigentlich garnichts. $\begin{eqnarray*} \Vert v \Vert = 1 \end{eqnarray*}$ habe ich auch nicht gegeben.

29.06.2009, 20:35

WebFritzi

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Hier hilft folgender Satz:

============================================
Sei A eine komplexe (nxn)-Matrix mit den Eigenwerten $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\dots,\lambda_k. \end{eqnarray*}$ Weiter sei $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb C. \end{eqnarray*}$ Dann gelten:

$\begin{eqnarray*} (1)\quad\text{Die Eigenwerte von $A - \alpha I$ sind }\lambda_1-\alpha,\dots,\lambda_k-\alpha. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2)\quad\text{Die Eigenwerte von $\alpha A$ sind }\alpha\lambda_1,\dots,\alpha\lambda_k. \end{eqnarray*}$

Zudem bleiben die Vielfachheiten der einzelnen Eigenwerte jeweils erhalten.
============================================

Dieser Satz ist relativ einfach zu beweisen.

Es sollte bekannt sein, dass die Matrix $\begin{eqnarray*} uu^T \end{eqnarray*}$ gerade die Eigenwerte 0 ((n-1)-fach) und $\begin{eqnarray*} u^Tu \end{eqnarray*}$ (einfach) besitzt.

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