Verhältnis zweier sich schneidenden Geraden im Dreieck

29.06.2009, 18:43

chillivan

Verhältnis zweier sich schneidenden Geraden im Dreieck

Guten Abend,
mein Problem ist, dass ich nicht genau weis wie ich an die Aufgabe herangehen soll. Nach mehreren Zeichnungen wird klar, dass die beiden Geraden immer im gleichen Verhältnis geschnitten werden. Wie soll ich das nun beweisen? Gibt es dafür eine "Verhältnisformel" oder wie kann ich da heran gehen?

Die genannte Aufgabe habe ich dem Post als .jpg angehängt.

Ich würde mich über Ratschläge freuen smile

Gruß

29.06.2009, 18:46

Leopold

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Schon einmal vom Verfahren der geschlossenen Vektorkette gehört?

29.06.2009, 18:54

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Elementargeometrisch geht es mit dem Satz von Menelaos, der wiederum einfach mit dem Strahlensatz beweisbar ist.

30.06.2009, 15:16

chillivan

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Hallo,
danke für die Antworten!

@Leopold:
nein, davon habe ich noch nichts gehört, hast vielleicht eine empfehlenswerte Seite in der das Verfahren beschrieben wird?

@Athur Dent:
ich verstehe nicht ganz inwiefern das genau zusammenhängt. Soll ich das Dreieck in ein Koordinatensystem zeichnen, die erste und zweite Gerade (welche sich laut meiner Aufgabe ja im Punkt T schneiden) bestimmen und dann mit der Formel anwenden?
Verstehe ich das richtig? Sorry bin nicht ganz so das Mathe Ass unglücklich

Gruß

30.06.2009, 16:48

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Der Satz von Menelaos benötigt kein Koordinatensystem, nur Streckenlängen bzw. besser gesagt Verhältnisse dieser Streckenlängen. Mach eine Zeichnung deiner Situation, dann siehst du (oder solltest du sehen), dass die Aussage des Satzes von Menelaos hier perfekt passt:

[attach]10848[/attach]

Menelaos besagt

$\begin{eqnarray*} \frac{|M_cT|}{|CT|} \cdot \frac{|CN|}{|AN|} \cdot \frac{|AB|}{|M_cB|} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Ein zweites mal angewandt (mit "gespiegelten" Rollen $\begin{eqnarray*} B\leftrightarrows C \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} M_c\leftrightarrows N \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} \frac{|NT|}{|BT|} \cdot \frac{|BM_c|}{|AM_c|} \cdot \frac{|AC|}{|NC|} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst du nur noch die aus den Angaben der Aufgabe ablesbaren Seitenverhälntisse einsetzen, um auf die gesuchten Werte von $\begin{eqnarray*} \frac{|M_cT|}{|CT|} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{|NT|}{|BT|} \end{eqnarray*}$ zu kommen.

30.06.2009, 18:09

chillivan

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Danke für die Antwort! Wirklich nett!

Ich werde mich dransetzen und rechnen Big Laugh

Zwischen den jeweiligen Seiten, muss man dann den Betrag (aus 2 Punkten) als Wert einsetzen, oder?

Werde mich wieder melden.

Vielen Dank nochmal!

Gruß smile

30.06.2009, 19:20

chillivan

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Also ich habe gerade eben mal ein paar Dreiecke "konstruiert" smile

und dabei ist mir folgendes aufgefallen:

Wenn ich z.B. für AB=6 und für AC=3 (BC=5,5) nehme, dann bekomme ich als Ergebnis:

McT/CT = 1/4
NT/BT = 1/3

für die Zahlen AB=8 und AC=6 (BC=7,5) als Ergebnis:

McT/CT = 1/4
NT/BT = 2/3

Hab noch ein paar andere Aufgaben gerechnet, für die 1. kam immer 1/4 raus, aber bei der 2. Funktion variiert es zwischen 1/3 und 2/3.
Ich sollte ja die 1. Funktion nach McT/CT umformen und die 2. Funktion nach NT/BT oder?
Wie erklärt sich, dass bei der einen einmal 1/3 und bei der Anderen 2/3 rauskommt?
Die Längenverhältnisse in der Realität sollten aber eigentlich schon stimmen oder?

Mache ich irgendwas falsch?

Gruß

30.06.2009, 20:41

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Zitat:

Original von chillivan
Mache ich irgendwas falsch?

So wird's wohl sein, es sollte immer 2/3 rauskommen.

Zeig doch mal ein Beispiel, wo vermeintlich was anderes rauskommt!

30.06.2009, 22:06

chillivan

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Ich hab die genannte Aufgabe als .jpg angehängt.

Gruß

30.06.2009, 22:09

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In der letzten Zeile ist ein Fehler: Es ist stets $\begin{eqnarray*} \frac{|AC|}{|NC|} = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} \frac{3}{1} \end{eqnarray*}$ . unglücklich

30.06.2009, 22:38

chillivan

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Oha, da hab ich mich wohl durch die 1 beim N verrannt! Sorry! War heut schon ein langer Tag..

Also ist in dieser Aufgabe her ansich die Regel, dass bei der ersten Funktion: 1/4 und bei der 2. Funktion: 2/3 rauskommt.

In Wikipedia steht, dass der Beweis anhand des Strahlensatzes durchgeführt wird.
Das geht mit dem Beispiel ja auch oder?

Ich werde dort nochmals nachlesen und hoffentlich morgen einen "Beweislösungs-Ansatz" vorlegen können.

Vielen, vielen Dank für die Hilfe!!

Gruß und Gut Nacht!

01.07.2009, 13:05

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Wenn du Menelaos umschiffen willst, um eher direkt mit dem Strahlensatz argumentieren zu können, solltest du zwei Hilfsspunkte $\begin{eqnarray*} U,V \end{eqnarray*}$ in obiger Zeichung ergänzen:

[attach]10857[/attach]

Dabei ist $\begin{eqnarray*} M_cU \parallel AC \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} NV \parallel AB \end{eqnarray*}$ .

01.07.2009, 15:37

chillivan

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Der Satz von Menelaos ist meiner Meinung nach in Ordnung und man kann damit ja die Aufgabe lösen, es ging mir halt noch darum es zu beweisen, wie man drauf kommt.

Ich bin grad erst nach Hause gekommen, werde mich nachher dransetzen und hoffentlich was heraus arbeiten können.

Gruß

01.07.2009, 21:31

chillivan

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Hallo,
ich hab mir die Wikipedia Seite nochmals angeschaut, aber leider werde ich aus der Strahlensatzgleichung für das Beispiel hier nicht ganz schlau.
Es gibt ja zwei verschiedene Arten von Strahlensatz, einmal zeichnerisch "V" und einmal zeichnerisch "X" gesehen, aber wenn ich die hier behandelte Aufgabe anschaue, dann sehe ich irgendwie keins von beiden? Oder soll die V-Linie die U-Linie im Endeffekt noch schneiden?

Tut mir Leid aber ich steig da nicht ganz durch, sorry bin wohl ziemlich hoffnungsloser Fall, was? unglücklich

Könntest du mir vielleicht noch einen Tipp geben, bitte?

Am Ende des Beweises soll ja die reine Endformel (mit der die Werte ausgerechnet wurden) rauskommen gell?

Gruß

01.07.2009, 22:57

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Versuche einfach mit dem Strahlensatz

a) die Verhältnisse $\begin{eqnarray*} \frac{|M_cU|}{|CN|} \end{eqnarray*}$ (mit Strahlensatzzentrum T) sowie $\begin{eqnarray*} \frac{|M_cU|}{|AN|} \end{eqnarray*}$ (mit Zentrum B), sowie

b) die Verhältnisse $\begin{eqnarray*} \frac{|NV|}{|BM_c|} \end{eqnarray*}$ (mit Zentrum T) sowie $\begin{eqnarray*} \frac{|NV|}{|AM_c|} \end{eqnarray*}$ (mit Zentrum C)

auszudrücken und dann durch "Elimination" der Hilfsstrecken $\begin{eqnarray*} |M_cU| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |NV| \end{eqnarray*}$ einander passend in Beziehung zu setzen!

Präziser kann ich wirklich nicht mehr werden. unglücklich

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