Im Ring nicht Einheit und Nullteiler

29.06.2009, 19:01

schmouk

Im Ring nicht Einheit und Nullteiler

Hi, it's me again,

Ich müsste nochmal bitte wissen, ob das reicht:

Sei A eine endlicher kommutativer Ring mit 1 ungl. 0. Zeige: Jedes Element von A ist entweder ein Nullteiler oder eine Einheit von A.

Vor: Sei A eine endlicher kommutativer Ring mit 1 ungl. 0.

Beh: Jedes Element von A ist entweder ein Nullteiler oder eine Einheit von A.

Bew:
Wäre $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ ein Nullteiler und eine Einheit, dann wäre $\begin{eqnarray*} ab=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a\neq 0, 0\neq b\in A \end{eqnarray*}$ . Wegen a ist Einheit gäbe es ein $\begin{eqnarray*} c\in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ac=1 \end{eqnarray*}$ . Dann würde folgen:

$\begin{eqnarray*} b=b\cdot 1=b\cdot ac=abc=0\cdot c=0 \end{eqnarray*}$

Also Widerspruch.

Muss ich jetzt noch zeigen, dass "entweder... oder..." geht?

schmouk

29.06.2009, 19:11

kiste

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Hallo,

dein Beweis zeigt doch nur das ein Element nicht Einheit und Nullteiler gleichzeitig sein kann. Was du zeigen musst ist aber:
Sei a in A. Ist a kein Nullteiler so ist a eine Einheit. Ist a keine Einheit so ist a ein Nullteiler.

Meine erste Idee wäre die Translation x -> ax zu betrachten.

29.06.2009, 21:07

schmouk

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ja, stimmt.

aber kann ich nicht, da $\begin{eqnarray*} \neg(p\wedge q)=\neg p\vee\neg q \end{eqnarray*}$ noch einfach zeigen, dass a auch nicht gleichzeitig "nicht nullteiler" und "nicht einheit" sein kann?

EDIT. Aber das ist einfacher gesagt als getan. ab und ac können ja dann alles mögliche sein. verwirrt

Also wie meinst Du das mit der Translation? smile

29.06.2009, 22:39

Mathespezialschüler

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Betrachte für ein festes $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die Abbildung $\begin{eqnarray*} f_a:A\to A \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f_a(x):=ax \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ kann injektiv sein oder nicht. Guck dir doch die beiden Fälle einmal an.

29.06.2009, 22:58

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Hallo,

Zitat:

a auch nicht gleichzeitig "nicht nullteiler" und "nicht einheit" sein kann

Genau das sollst du ja zeigen. Allerdings wie zeigt man, dass kein a existiert, welches nicht nullteiler und nicht einheit ist? (Denn bei unendlichen Ringen kann dies durchaus der Fall sein, wie es der Fall bei den ganzen Zahlen ist)

Deswegen kann man besser zeigen:
a nicht Nullteiler => a Einheit

oder:
a keine Einheit => a Nullteiler

Dieses zeigt man wie kiste bzw. Mathespezialschüler sagten, dass man $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_a(x) := ax \end{eqnarray*}$ betrachtet.

30.06.2009, 02:16

schmouk

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Ein Versuch heut nacht, dann bett:

zz. a nicht nullteiler => a ist einheit, also

$\begin{eqnarray*} \forall b\in A,b\neq 0 : ab\neq 0 \quad\Rightarrow\quad \exists b\in A : ab=ba=1 \end{eqnarray*}$
Beweis:
$\begin{eqnarray*} \forall b\in A,b\neq 0 : ab\neq 0 \quad\Rightarrow\quad a\neq 0 \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} f_a:A\rightarrow A, b\mapsto ab \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b)=f(b') \end{eqnarray*}$ zwei gleiche Bildelemente.
Dann ist $\begin{eqnarray*} ab=ab'\Leftrightarrow a(b-b')=0\Leftrightarrow b=b' \end{eqnarray*}$ also f injektiv.

Jetz nen Satz oder korollar den/das ich las und hoffe er/es stimmt, ich bin zu doof ihn/es zu "verifizieren":
injektive abbildungen auf endlichen Mengen sind immer surjektiv.

also kann ich sagen $\begin{eqnarray*} f_a(A)=A \end{eqnarray*}$ in A ist 1 enthalten nach Voraussetzung und somit gibt es ein b in A mit $\begin{eqnarray*} f_a(b)=ab=1 \end{eqnarray*}$ .

Und ich glaube, dass f(0)=a*0=0 weil 0 in A stört den Beweis nicht.

Man könnte jetzt auch über die Umkehrabbildung $\begin{eqnarray*} f_a^{-1} \end{eqnarray*}$ die existenz des inversen zeigen, aber ich denke die reine surjektivität reicht schon.

Und Baby, wie war ich? Egal, ich geh schlafen.

30.06.2009, 11:06

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Hallo,
die reine surjektivität reicht. Über die surjektivität weiß man, dass es ein x gibt mit a*x = 1. Also ist a eine Einheit.

Der Beweis ist soweit richtig.

13.05.2010, 21:30

Sellerie

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Hallo

Der Beitrag ist zwar schon etwas älter, aber ich hoffe, dass vielleicht dennoch Jemand darüber stolpert und meiner Übungsgruppe und mir weiterhelfen kann.

Und zwar haben wir die gleiche Aufgabe zu lösen, können auch die einzelnen Schritte nachvollziehen aber uns ist irgendwie nicht ganz klar inwiefern uns die Bijektivität der Abbildung den Beweis liefert, dass alle Elemente Einheiten sind.

Wäre schön wenn uns da nochmal jemand den Zusammenhang erklären könnte.

Danke schonmal smile

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