Im Ring nicht Einheit und Nullteiler

Neue Frage »

schmouk Auf diesen Beitrag antworten »
Im Ring nicht Einheit und Nullteiler
Hi, it's me again,

Ich müsste nochmal bitte wissen, ob das reicht:

Sei A eine endlicher kommutativer Ring mit 1 ungl. 0. Zeige: Jedes Element von A ist entweder ein Nullteiler oder eine Einheit von A.

Vor: Sei A eine endlicher kommutativer Ring mit 1 ungl. 0.

Beh: Jedes Element von A ist entweder ein Nullteiler oder eine Einheit von A.

Bew:
Wäre ein Nullteiler und eine Einheit, dann wäre für alle . Wegen a ist Einheit gäbe es ein mit . Dann würde folgen:


Also Widerspruch.

Muss ich jetzt noch zeigen, dass "entweder... oder..." geht?

schmouk
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

dein Beweis zeigt doch nur das ein Element nicht Einheit und Nullteiler gleichzeitig sein kann. Was du zeigen musst ist aber:
Sei a in A. Ist a kein Nullteiler so ist a eine Einheit. Ist a keine Einheit so ist a ein Nullteiler.

Meine erste Idee wäre die Translation x -> ax zu betrachten.
 
 
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

ja, stimmt.

aber kann ich nicht, da noch einfach zeigen, dass a auch nicht gleichzeitig "nicht nullteiler" und "nicht einheit" sein kann?

EDIT. Aber das ist einfacher gesagt als getan. ab und ac können ja dann alles mögliche sein. verwirrt
Also wie meinst Du das mit der Translation? smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte für ein festes die Abbildung mit

.

kann injektiv sein oder nicht. Guck dir doch die beiden Fälle einmal an.
42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Zitat:
a auch nicht gleichzeitig "nicht nullteiler" und "nicht einheit" sein kann

Genau das sollst du ja zeigen. Allerdings wie zeigt man, dass kein a existiert, welches nicht nullteiler und nicht einheit ist? (Denn bei unendlichen Ringen kann dies durchaus der Fall sein, wie es der Fall bei den ganzen Zahlen ist)

Deswegen kann man besser zeigen:
a nicht Nullteiler => a Einheit

oder:
a keine Einheit => a Nullteiler


Dieses zeigt man wie kiste bzw. Mathespezialschüler sagten, dass man mit betrachtet.
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Versuch heut nacht, dann bett:

zz. a nicht nullteiler => a ist einheit, also


Beweis:


Sei und zwei gleiche Bildelemente.
Dann ist also f injektiv.

Jetz nen Satz oder korollar den/das ich las und hoffe er/es stimmt, ich bin zu doof ihn/es zu "verifizieren":
injektive abbildungen auf endlichen Mengen sind immer surjektiv.

also kann ich sagen in A ist 1 enthalten nach Voraussetzung und somit gibt es ein b in A mit .

Und ich glaube, dass f(0)=a*0=0 weil 0 in A stört den Beweis nicht.

Man könnte jetzt auch über die Umkehrabbildung die existenz des inversen zeigen, aber ich denke die reine surjektivität reicht schon.

Und Baby, wie war ich? Egal, ich geh schlafen.
42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
die reine surjektivität reicht. Über die surjektivität weiß man, dass es ein x gibt mit a*x = 1. Also ist a eine Einheit.

Der Beweis ist soweit richtig.
Sellerie Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo smile

Der Beitrag ist zwar schon etwas älter, aber ich hoffe, dass vielleicht dennoch Jemand darüber stolpert und meiner Übungsgruppe und mir weiterhelfen kann.

Und zwar haben wir die gleiche Aufgabe zu lösen, können auch die einzelnen Schritte nachvollziehen aber uns ist irgendwie nicht ganz klar inwiefern uns die Bijektivität der Abbildung den Beweis liefert, dass alle Elemente Einheiten sind.

Wäre schön wenn uns da nochmal jemand den Zusammenhang erklären könnte.

Danke schonmal smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »