Basis des Kerns bestimmen

30.06.2009, 13:56

zacki

Basis des Kerns bestimmen

Hallo

folgende Matrix ist gegeben

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Durch Zeielumformung erhalte ich einen Rang von 2, damit ist die Dimension des Kerns 1.
Aber wie bestimme ich die Basis des Kerns?

Danke Zacki

30.06.2009, 14:13

klarsoweit

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RE: Basis des Kerns bestimmen
Dazu mußt du schauen, wo die freien Variablen sind. Beachte:

Befindet sich die Matrix eines LGS in Zeilenstufenform, dann gilt:

Die nicht frei wählbaren Variablen sind jetzt genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen.
Alle anderen Variablen sind frei wählbar.

Zur Bestimmung der Basis des Lösungsraums des homogenen GLS setzt man sukzessive eine frei wählbare Variable gleich 1, die restlichen gleich Null.
Dann bestimmt man die fehlenden Komponenten. Die sich ergebenden Lösungsvektoren sind automatisch linear unabhängig.

30.06.2009, 14:24

zacki

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Vilen dank für die Antwort, aber daraus werde ich nicht schlau könntest du vll genau an diesem Beispeil mir noch einen kleinen Denkanstoß geben...

30.06.2009, 14:33

WebFritzi

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RE: Basis des Kerns bestimmen

Zitat:

Original von zacki
Aber wie bestimme ich die Basis des Kerns?

Indem du erstmal überhaupt den Kern bestimmst. Das machst du, indem du das LGS Ax = 0 löst.

30.06.2009, 14:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von zacki
könntest du vll genau an diesem Beispeil mir noch einen kleinen Denkanstoß geben...

Den Denkanstoß habe ich dir gegeben. Da du an einer Hochschule bist, mußt du dir angewöhnen, auch ein bißchen selber zu denken. Du könntest ja auch mal deine umgeformte Matrix posten.

30.06.2009, 14:57

zacki

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Ich bin jetzt auf die Lösung gekommen, dass

x1 = 1

x2= -(1/2)

x3= 1/4

ist das dann schon die Basis des Kerns?

30.06.2009, 15:06

zacki

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Habe zuerst 1. mit 3. Zeile vertauscht, dann 1. auf 2. aufsummiert, dann 2. mal(-1) auf die 3. wäre dann die Nullzeile und dann nochmal die 1. mal (-1) und auf die zweite ist dann diese Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

30.06.2009, 15:11

WebFritzi

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Ich könnte dir ja weiterhelfen. Aber da du auf meinen Beitrag nicht eingegangen bist, geht das schlecht.

30.06.2009, 15:16

zacki

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Mein Lösung für das LGS Ax=0 ist

x1= 1 da, Nullzeile und Variable frei wählbar,

x2= -(1/2) und

x3= (1/4).

oder:

x1= -2

x2= 1

x3= -(1/2)

Ist das nun schon die Basis des Kerns?

Danke für die Hilfe

30.06.2009, 15:20

klarsoweit

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Zitat:

Original von zacki
x1= 1 da, Nullzeile und Variable frei wählbar,

Wenn du das aufgrund meines Beitrages so siehst, dann hast du ihn mißverstanden.

Zitat:

Original von zacki
Ist das nun schon die Basis des Kerns?

Es wäre eine Basis. Basen sind nicht eindeutig.

30.06.2009, 15:33

zacki

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Um auf deinen ersten Hinweis bezug zu nehmen

DIe matrix liegt in Zeilenstufenform vor.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0& 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das 1. Nicht Null element jeder Zeile wären nun

1. Zeile 1

2.Zeile 1

das heißt für das LGS

x1 +1+0=0 --->x1=-1

Für die 2.Zeile

0+x2+1=0---> x2=-1

Frage: Ist nur x3 =0 oder ebenfalls frei wählbar?

30.06.2009, 20:30

WebFritzi

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Nur mal so am Rande: Das Lösen von LGS'en lernt man bereits auf der Schule. Augenzwinkern