Frechet-Ableitung von Integral

30.06.2009, 18:42

smiiile

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Frechet-Ableitung von Integral

Hallo,
ich möchte folgende Funktion Frechet-ableiten.

$\begin{eqnarray*} f(y)= \int_{0}^{1}~y^{4}(x)~dx \end{eqnarray*}$

Dabei gilt für die Abbildung $\begin{eqnarray*} f: C [0,1] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wir haben die Frechet-Ableitung so definiert:

$\begin{eqnarray*} T_{x_{0}} \in L(E,F) \end{eqnarray*}$ heißt Frechet Ableitung von F im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftarrow \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_0 + h) = f(x_0) + T_{x_{0}} h + f(h) \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} f(h) = o( ||h|| ) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} L(E,F) \end{eqnarray*}$ ein stetiger linearer Operator von E nach F

$\begin{eqnarray*} y(x) \in C [0,1] \end{eqnarray*}$

Ich habe dann einmal so angesetzt:

$\begin{eqnarray*} f(y_0+h) =\int_{0}^{1}~(y_0+h(x))^{4}~dx =\int_{0}^{1}~(y^4 + 4y^3h+6y^2h^2+4yh^3+h^4(x))~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(y_0+h) =\int_{0}^{1}~(y^4 + (4y^3+6y^2h+4yh^2+h^2)h(x))~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(y_0+h) =\int_{0}^{1}~(y^4(x))~dx+ h\int_{0}^{1}~(4y^3(x))~dx +\int_{0}^{1}~ h(6y^2h+4yh^2+h^2)(x))~dx \end{eqnarray*}$

Dann wäre das erste Integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~(y^4(x))~dx=f(x_0) \end{eqnarray*}$ ,
das dritte Integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~ h(6y^2h+4yh^2+h^2)(x))~dx =f(h) \end{eqnarray*}$
und das zweite Integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~(4y^3(x))~dx = T_{x_{0}} \end{eqnarray*}$
und damit die Frechet-Ableitung.

Stimmt das so?
Ich bin mir nicht sicher, ob ich im letzten Schritt das h einfach vor das Integral ziehen darf, da es ja noch von x abhängt.

Grüße
smiiile

30.06.2009, 19:03

smiiile

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Oh, ich habe noch einen Tippfehler gefunden.
Es müsste natürlich

$\begin{eqnarray*} f(y_0+h) =\int_{0}^{1}~(y^4 + (4y^3+6y^2h+4yh^2+h^3)h(x))~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(y_0+h) =\int_{0}^{1}~(y^4(x))~dx+ h\int_{0}^{1}~(4y^3(x))~dx +\int_{0}^{1}~ h(6y^2h+4yh^2+h^3)(x))~dx \end{eqnarray*}$

also bei dem letzten Term von h in jeder Zeile $\begin{eqnarray*} h^{3} \end{eqnarray*}$

Damit ist das dritte Integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~ h(6y^2h+4yh^2+h^3)(x))~dx =f(h) \end{eqnarray*}$

30.06.2009, 20:29

Mathespezialschüler

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Du hast an einigen Stellen das $\begin{eqnarray*} (x) \end{eqnarray*}$ an die falsche Stelle gesetzt bzw. es an anderen Stellen vergessen (oder zu wenig Klammern gesetzt). Du darfst das $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ natürlich nicht vor das Integral ziehen. Es muss im Integral bleiben. Allerdings hast du dann auch eine lineare Abbildung, nämlich welche?

30.06.2009, 21:16

smiiile

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Erstmal vielen Dank für deine schnelle Antwort.

oh, du hast recht.
jetzt nochmals mit (hoffentlich) allen x

$\begin{eqnarray*} f(y_0+h) =\int_{0}^{1}~((y_0+h)(x))^{4}~dx =\int_{0}^{1}~((y^4 +4y^3h+6y^2h^2+4yh^3+h^4)(x))~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(y_0+h) =\int_{0}^{1}~y^4(x) +( (4y^3+6y^2h+4yh^2+h^2)h)(x)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(y_0+h) =\int_{0}^{1}~y^4(x)~dx +\int_{0}^{1}( (4y^3+6y^2h+4yh^2+h^2)h))(x)~dx \end{eqnarray*}$

müsste jetzt stimmen, oder?

so, jetzt zu der linearen Abbildung. Also Integrale sind auf jeden Fall linear. Hast du das mit meiner linearen Abbildung gemeint? Also dass ich das Integral auseinanderziehen darf.

Das h darf ich ja jetzt nicht rausziehen. Dann komme ich aber ja nicht auf die gesuchte Form

$\begin{eqnarray*} f(x_0 + h) = f(x_0) + T_{x_{0}} h + f(h) \end{eqnarray*}$ , oder?

Ich würde hier wieder sagen

$\begin{eqnarray*} f(x_0) = \int_{0}^{1}~y^4(x)~dx \end{eqnarray*}$
Das müsste ja auch die von dir erwähnte lineare Abbildung sein, da Integrale linear sind.

Jetzt brauche ich ja aber noch $\begin{eqnarray*} T_{x_{0}} h \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} + f(h) \end{eqnarray*}$

Vielleicht kann ich das hintere Integral ja auseinanderziehen, wenn ich das h schon nicht rausziehen darf.

also

$\begin{eqnarray*} f(y_0+h) =\int_{0}^{1}~y^4(x)~dx +\int_{0}^{1}( (4y^3)*h)(x)~dx+ \int_{0}^{1}(6y^2h^2)(x)~dx +\int_{0}^{1}(4yh^3)(x)~dx+\int_{0}^{1}(h^3)(x)~dx \end{eqnarray*}$

stimmt das so?
und kann ich hier $\begin{eqnarray*} T_{x_{0}} h \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} + f(h) \end{eqnarray*}$ finden?

30.06.2009, 23:45

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von smiiile
$\begin{eqnarray*} f(x_0) = \int_{0}^{1}~y^4(x)~dx \end{eqnarray*}$
Das müsste ja auch die von dir erwähnte lineare Abbildung sein, da Integrale linear sind.

Nein, das ist nicht gemeint. Das ist eine Zahl und keine lineare Abbildung in $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ !

Im Übrigen ist deine Schreibweise $\begin{eqnarray*} f(h) \end{eqnarray*}$ total irreführend und falsch. Dies hat nichts mit der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zu tun, sondern ist nur ein Restglied. Du solltest es irgendwie anders nennen.

Versuch es für $\begin{eqnarray*} T_{x_0} \end{eqnarray*}$ mal mit der Abbildung

$\begin{eqnarray*} T_{x_0}(h):=\int_0^1~4(y(x))^3h(x)~\mathrm dx \end{eqnarray*}$ .

Warum ist diese linear?

01.07.2009, 22:28

smiiile

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ok, ich schreibe also ein wenig um. Es ergibt sich

$\begin{eqnarray*} f(y_0+h) =\int_{0}^{1}~y^4(x)~dx +\int_{0}^{1}4(y(x))^3*h(x)~dx+ \int_{0}^{1}(6y(x)^2*h(x)^2)~dx +\int_{0}^{1}(4y(x) * h(x)^3)~dx+\int_{0}^{1}(h^3)(x)~dx \end{eqnarray*}$

Damit ist der erste Teil $\begin{eqnarray*} f(y_0+h) =\int_{0}^{1}~y^4(x)~dx= f(x_0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}4(y(x))^3*h(x)~dx= T_{x_0}h \end{eqnarray*}$
und den Rest $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}(6y(x)^2*h(x)^2)~dx +\int_{0}^{1}(4y(x) * h(x)^3)~dx+\int_{0}^{1}(h^3)(x)~dx \end{eqnarray*}$ nenne ich wie oben schon definiert $\begin{eqnarray*} o(h) \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} T_{x_0}= \int_{0}^{1}4(y(x))^3~dx \end{eqnarray*}$ die Frechet-Ableitung.

Diese Abbildung ist eine linear, da Integrale linear sind.
Allgemein gilt ja für Integrale:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~y_1+y_2~dx= \int_{b}^{a}~y_1~dx + \int_{b}^{a}~y_2~dx \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~c*y~dx= c*\int_{b}^{a}~y~dx \end{eqnarray*}$

stimmt das so?
Gruß smiiile

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02.07.2009, 03:17

WebFritzi

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Du scheinst es noch nicht gemerkt zu haben: Es gibt hier kein $\begin{eqnarray*} x_0! \end{eqnarray*}$ Du hast es von Anfang an $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ genannt. Also halte dich auch daran. Auch lässt du ab einem bestimmten Punkt immer den Index weg - schreibst also y statt $\begin{eqnarray*} y_0. \end{eqnarray*}$ Auch das solltest du verbessern.

Das meiste, was du schreibst, ist Unsinn. Zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(y_0 + h) = \int_0^1\,y^4(x)\,dx. \end{eqnarray*}$

Erstens fehlt wieder mal der Index, und zweitens wäre es auch dann falsch, denn es ist

$\begin{eqnarray*} f(y_0 + h) = \int_0^1\,(y_0 + h)^4\,dx. \end{eqnarray*}$

Halt dich also an das, was richtig ist.

Es gilt also

$\begin{eqnarray*} f(y_0 + h) = f(y_0) + 4\int_0^1\,y_0^3h\,dx + \int_0^1\,(6y_0^2h^2 + 4y_0h^3 + h^4)\,dx. \end{eqnarray*}$

Zeige nun, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{\|h\|\to 0}\;\frac{1}{\|h\|}\int_0^1\,(6y_0^2h^2 + 4y_0h^3 + h^4)\,dx = 0 \end{eqnarray*}$

gilt. Daraus folgt dann, dass

$\begin{eqnarray*} T_{y_0}h = 4\int_0^1\,y_0^3h\,dx \end{eqnarray*}$

die Frechet-Ableitung ist. Natürlich musst du am Ende noch zeigen, dass die so definierte lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} T_{y_0} \end{eqnarray*}$ tatsächlich ein Element von $\begin{eqnarray*} L(C[0,1],\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ist.

P.S.: Das (x) nach den Funktionen kannst du im Integral getrost weglassen. Am Ende steht immer dx. Man weiß also, wonach integriert wird. Dies ist so üblich und dient der besseren Übersicht.

02.07.2009, 20:37

smiiile

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Danke für die Rückmeldung.
Ich habe einmal versucht, deine Ratschläge zu berücksichtigen. Allerdings hänge ich noch an einigen Stellen...

oh, du hast recht.. ich habe ja hier eine Funktion von y stehen.. also $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$

Es gilt also:

$\begin{eqnarray*} f(y_0 + h) =\int_0^1\,y_0^4\,dx + 4\int_0^1\,y_0^3h\,dx + \int_0^1\,(6y_0^2h^2 + 4y_0h^3 + h^4)\,dx. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(y_0 + h) = f(y_0) + 4\int_0^1\,y_0^3h\,dx + \int_0^1\,(6y_0^2h^2 + 4y_0h^3 + h^4)\,dx. \end{eqnarray*}$

Nun muss ich noch zeigen, dass das dritte Integral gleich 0 ist für $\begin{eqnarray*} \|h\|\to 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Zeige nun, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{\|h\|\to 0}\;\frac{1}{\|h\|}\int_0^1\,(6y_0^2h^2 + 4y_0h^3 + h^4)\,dx = 0 \end{eqnarray*}$

gilt.

Warum hast du denn vor dem Integral noch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\|h\|} \end{eqnarray*}$ geschrieben? Kommt das von der Operatornorm?

$\begin{eqnarray*} \lim_{\|h\|\to 0}\;\frac{1}{\|h\|}\int_0^1\,(6y_0^2h^2 + 4y_0h^3 + h^4)\,dx \end{eqnarray*}$ wird ja gleich 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren gegen 0 geht und der andere konstant ist. Oder wenn ein Faktor schneller gegen 0 geht, als der andere gegen unendlich.

Jetzt geht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\|h\|} \end{eqnarray*}$ aber gegen unendlich. Also muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \int_0^1\,(6y_0^2h^2 + 4y_0h^3 + h^4)\,dx \end{eqnarray*}$ schneller gegen 0 geht.

Ich weiß aber nicht genau, wie ich das zeigen soll. Ich habe es mal so probiert.
Man kann das Ganze ja umschreiben zu:

$\begin{eqnarray*} \lim_{\|h\|\to 0}\;\frac{1}{\|h\|}\int_0^1\,h^2(6y_0^2 + 4y_0h + h^2)\,dx = 0 \end{eqnarray*}$

Kann ich dann darüber argumentieren, dass das h^2 im Integral viel schneller wächst, als das h im Nenner davor, da es ja quadratisch wächst? Und da es im Integral steht und ja noch aufgeleitet werden muss sogar noch stärker wächst?
Das ist aber noch etwas schwammig..

Jetzt noch dazu, dass die so definierte lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} T_{y_0} \end{eqnarray*}$ tatsächlich ein Element von $\begin{eqnarray*} L(C[0,1],\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ist.

Ich muss also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} T_{y_0}= 4\int _0^1\,y_0^3\,dx \end{eqnarray*}$ ein linearer stetiger Operator ist.

zuerst zur Stetigkeit. Ist $\begin{eqnarray*} T_{y_0} \end{eqnarray*}$ beschränkt, ist er somit auch stetig.
Ich zeige also Beschränktheit.

$\begin{eqnarray*} T_{y_0}= 4\int _0^1\,y_0^3\,dx = 4*(\frac{1}{4}-0) =1 <\infty \end{eqnarray*}$

Damit ist der Operator beschränkt und auch stetig.
Ich bin mir nicht sicher, ob da so stimmt.. darf ich da das Integral einfach ausrechnen, oder müsste ich die Beschränktheit durch eine Abschätzung zeigen?

jetzt zur Linearität.
$\begin{eqnarray*} T_{\gamma y_0}=\gamma T_{y_0} \end{eqnarray*}$
ist also zu zeigen.

$\begin{eqnarray*} T_{\gamma y_0}= 4\int _0^1\,(\gamma y_0)^3\,dx = T_{y_0}= 4\int _0^1\,\gamma (y_0)^3\,dx = \gamma *4\int _0^1\,(y_0)^3\,dx =\gamma T_{y_0} \end{eqnarray*}$ da ich die Konstante ja aus dem Integral ziehen darf, oder?

Jetzt noch zum 2. Teil der Linearität:
also $\begin{eqnarray*} T_{y_0+y_1}=T_{y_0} + T_{y_1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_{y_0+y_1}= 4\int _0^1\,(y_0+y_1)^3\,dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_{y_0+y_1}= 4\int _0^1\,(y_0+y_1)^3\,dx \end{eqnarray*}$

Hier hänge ich aber, weil ich hier ja mit Binomi ausmultiplizieren muss und sich dann eben keine Linearität ergibt.

Grüße
smiiile

02.07.2009, 21:12

WebFritzi

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Zitat:

Original von smiiile
Nun muss ich noch zeigen, dass das dritte Integral gleich 0 ist für $\begin{eqnarray*} \|h\|\to 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Zeige nun, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{\|h\|\to 0}\;\frac{1}{\|h\|}\int_0^1\,(6y_0^2h^2 + 4y_0h^3 + h^4)\,dx = 0 \end{eqnarray*}$

gilt.

Warum hast du denn vor dem Integral noch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\|h\|} \end{eqnarray*}$ geschrieben? Kommt das von der Operatornorm?

Nein. Das ist die Definition der Frechet-Differenzierbarkeit. Du hast es selber oben geschrieben (Landau-Symbol).

Zitat:

Original von smiiile
Ich weiß aber nicht genau, wie ich das zeigen soll. Ich habe es mal so probiert.
Man kann das Ganze ja umschreiben zu:

$\begin{eqnarray*} \lim_{\|h\|\to 0}\;\frac{1}{\|h\|}\int_0^1\,h^2(6y_0^2 + 4y_0h + h^2)\,dx = 0 \end{eqnarray*}$

Kann ich dann darüber argumentieren, dass das h^2 im Integral viel schneller wächst, als das h im Nenner davor, da es ja quadratisch wächst? Und da es im Integral steht und ja noch aufgeleitet werden muss sogar noch stärker wächst?
Das ist aber noch etwas schwammig..

Offenbar hast du keine Ahnung davon, was überhaupt passiert. h wächst nicht. Wenn, dann fällt es. Du musst einfach den Betrag des ganzen Ausdrucks abschätzen. Das ist Standard.

Zitat:

Original von smiiile
Jetzt noch dazu, dass die so definierte lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} T_{y_0} \end{eqnarray*}$ tatsächlich ein Element von $\begin{eqnarray*} L(C[0,1],\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ist.

Ich muss also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} T_{y_0}= 4\int _0^1\,y_0^3\,dx \end{eqnarray*}$ ein linearer stetiger Operator ist.

Das ist nicht $\begin{eqnarray*} T_{y_0}. \end{eqnarray*}$ Ich definiere es dir nicht nocheinmal. Das steht in meinem letzten Beitrag.

Zitat:

Original von smiiile
zuerst zur Stetigkeit. Ist $\begin{eqnarray*} T_{y_0} \end{eqnarray*}$ beschränkt, ist er somit auch stetig.

Nein. Nur, wenn die Abbildung linear ist. Das musst du zuerst zeigen! Dann kannst du die Beschränktheit zeigen.

Zitat:

Original von smiiile
Ich zeige also Beschränktheit.

$\begin{eqnarray*} T_{y_0}= 4\int _0^1\,y_0^3\,dx = 4*(\frac{1}{4}-0) =1 <\infty \end{eqnarray*}$

Damit ist der Operator beschränkt und auch stetig.
Ich bin mir nicht sicher, ob da so stimmt.. darf ich da das Integral einfach ausrechnen, oder müsste ich die Beschränktheit durch eine Abschätzung zeigen?

Nein, das kannst du so nicht machen. Ich weiß fast gar nicht, was ich jetzt dazu schreiben soll. Es schockiert mich! Nicht einmal die erste Gleichheit stimmt. Offenbar raffst du nicht, wie die Abbildung überhaupt operiert. Es wird zudem nach x integriert. $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion, die von x abhängig ist. Also ist auch der Rest in deiner Zeile absoluter Nonsense.
Für die Beschränktheit musst du zeigen: Es gibt ein c > 0, so dass für alle $\begin{eqnarray*} h\in C[0,1] \end{eqnarray*}$ gilt: \|T_{y_0}h\| \le c\|h\|.

Zitat:

Original von smiiile
jetzt zur Linearität.
$\begin{eqnarray*} T_{\gamma y_0}=\gamma T_{y_0} \end{eqnarray*}$
ist also zu zeigen.

Nein. Wieder Blödsinn. Das kommt daher, dass du die falsche Definition für $\begin{eqnarray*} T_{y_0} \end{eqnarray*}$ benutzt, bzw. nicht verstehst, was die Abbildung macht.

02.07.2009, 23:04

Maths-King

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Hi,

mal ne Frage. Ist diese Abschätzung richtig?

$\begin{eqnarray*} \underset{h\to 0}{\lim}\;\frac{1}{\|h\|} \left| \int_0^1\,(6y_0^2h^2 + 4y_0h^3 + h^4)\,dx \right|&\leq \underset{h\to 0}{\lim}\;\frac{1}{\underset{x\in [0,1]}{\max}|h(x)|} \underset{x\in [0,1]}{\max}\left|(6y_0^2h^2 + 4y_0h^3 + h^4)(x)\right|\\&\leq \underset{h\to 0}{\lim}\;\frac{1}{\underset{x\in [0,1]}{\max}|h(x)|} \underset{x\in [0,1]}{\max}\left|(6y_0^2)(x)\right|(\underset{x\in [0,1]}{\max}\left|(h)(x)\right|)^2 + \underset{x\in [0,1]}{\max}\left|(4y_0)(x)\right|(\underset{x\in [0,1]}{\max}\left|(h)(x)\right|)^3 + (\underset{x\in [0,1]}{\max}\left|(h)(x)\right|)^4 \\&\leq\underset{h\to 0}{\lim}\;\underset{x\in [0,1]}{\max}\left|(6y_0^2)(x)\right|(\underset{x\in [0,1]}{\max}\left|(h)(x)\right|) + \underset{x\in [0,1]}{\max}\left|(4y_0)(x)\right|(\underset{x\in [0,1]}{\max}\left|(h)(x)\right|)^2 + (\underset{x\in [0,1]}{\max}\left|(h)(x)\right|)^3=0 \end{eqnarray*}$

02.07.2009, 23:13

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du in der mittleren Zeile noch ordentlich Klammern setzt, dann stimmt's. Sieht aber doof aus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.07.2009, 23:32

Maths-King

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$\begin{eqnarray*} \|T_{y_0}\|_L= \|4\int _0^1\,y_0^3 \; dx\|_L ={\underset{y_0 \in C([0,1]),y\neq 0}{sup}}\frac{|4\int _0^1\,y_0^3 \; dx|}{\|y_0\|}\leq C \end{eqnarray*}$

damit beschränkt und damit stetig. linearität klar. damit element des raums?

02.07.2009, 23:36

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Maths-King
$\begin{eqnarray*} \|T_{y_0}\|_L= \|4\int _0^1\,y_0^3 \; dx\|_L ={\underset{y_0 \in C([0,1]),y\neq 0}{sup}}\frac{|4\int _0^1\,y_0^3 \; dx|}{\|y_0\|}\leq C \end{eqnarray*}$

Schon wieder derselbe Müll! unglücklich

unglücklich

Lass bitte hier deine Lösungsversuche. Ich denke, smiiile will selber darauf kommen.

02.07.2009, 23:43

Mathe-King

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Müll... schön und gut. Was für Müll ist das denn, gelber Sack, Restmüll, Papier? Mit Müll fang ich wenig an.

Und ich will hier niemandem etwas vorwegnehmen, leider habe ich nur zufällig die gleiche Aufgabe vor mir liegen. Soll ich deswegen ein neues Thema aufmachen?

Gruß

03.07.2009, 00:04

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathe-King
Müll... schön und gut. Was für Müll ist das denn, gelber Sack, Restmüll, Papier? Mit Müll fang ich wenig an.

Mit dem Müll kann man auch wenig anfangen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe oben erklärt, wie man die Beschränktheit zeigt.

Zitat:

Original von Mathe-King
Und ich will hier niemandem etwas vorwegnehmen, leider habe ich nur zufällig die gleiche Aufgabe vor mir liegen. Soll ich deswegen ein neues Thema aufmachen?

OK, das ist wirklich nicht leicht zu entscheiden. Einerseits hat smiiile dieses Thema aufgemacht. Und es geht hier darum, den Fragenden zur Lösung zu schubsen. Wenn jetzt jemand anderes im gleichen Thread dorthin geschubst wird, könnte der Fragesteller enttäuscht sein, weil er schließlich den Thread aufgemacht hat und Hilfe brauchte. Andererseits hat der Fragesteller nicht das alleinige Recht auf Hilfe gepachtet. Es wäre auch komisch, wenn deswegen für das gleiche Thema mehrere Threads offen wären. Ein Teufelskreis. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nee, ich glaube, ich habe dir in diesem Punkt unrecht getan. Mach weiter, wenn du magst.

03.07.2009, 00:26

MatheMegaKing

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke

Augenzwinkern

,

Okay, das oben war wirklich (Nonsense)^n, wobei n gegen oo. Besser:

$\begin{eqnarray*} \left|4\int _0^1\,h^3(x) ~dx\right|\leq 4 \underset{x\in [0,1]}{\max}|h^3(x)| \end{eqnarray*}$

Daraus folgt die Beschränktheit mit C=4.

Gruß

03.07.2009, 00:27

MatheKing

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, vergiss das oben, ||h|| ist nicht h^3... blödsinn

03.07.2009, 00:32

WebFritzi

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Irgendwie fehlt auch noch das $\begin{eqnarray*} y_0. \end{eqnarray*}$ Überleg dir nochmal genau, was du machen willst.

03.07.2009, 00:39

Mathe-King

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht direkt?

h^3 ist stetig auf dem kompakten intervall [0,1], damit ist das integral stetig?

03.07.2009, 00:41

Mathe-King

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ahh, okay, habs, 2 minuten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.07.2009, 00:46

Math-King

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$\begin{eqnarray*} \left|4\int _0^1\,(y_0^3h)(x) ~dx\right|\leq 4 \underset{x\in [0,1]}{\max}|(y_0^3)h(x)|\leq 4 \underset{x\in [0,1]}{\max}|(y_0^3)|\underset{x\in [0,1]}{\max}|h(x)| \end{eqnarray*}$

=> beschränkt mit $\begin{eqnarray*} C= 4 \underset{x\in [0,1]}{\max}|(y_0^3)| \end{eqnarray*}$

03.07.2009, 14:46

WebFritzi

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Na endlich. Oder kurz $\begin{eqnarray*} C = \|y_0\|^3. \end{eqnarray*}$

Jetzt braucht ihr noch die Linearität und, dass das Restglied, dividiert durch ||h|| gleichmäßig gegen Null konvergiert.

03.07.2009, 18:08

smiiile

Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte ich die Beschränktheit nicht einfach allgemein zeigen? Ich weiß, dass y auf dem Intervall [0,1] stetig ist. Das war ja oben gegeben: $\begin{eqnarray*} y(x) \in C[0,1] \end{eqnarray*}$

Da y auf dem Intervall stetig ist, ist auch $\begin{eqnarray*} y^3(x) \end{eqnarray*}$ stetig, da die Multiplikation mit sich selbst, die Stetigkeit ja nicht beeinflusst.

Und nach Weiherstraß nehmen stetige Funktionen auf kompakten Mengen (hier also [0,1]) ihr Maximum und ihr Minimum an. Ich weiß also, dass $\begin{eqnarray*} y^3(x) \end{eqnarray*}$ im Intervall [0,1] sein Maximum annimmt. Somit ist es beschränkt, da es ja maximal (Betrag des Maximum * Länge des Intervalls) = (Betrag des Maximums*1) groß werden kann.
Und aus der Beschränktheit folgt ja auch die Stetigkeit. Muss ich da dann überhaupt die Konstante angeben?

Jetzt noch zur Linearität.
Ich muss ja zeigen, dass die Frechet-Ableitung $\begin{eqnarray*} T_{y_0}h = 4\int_0^1\,y_0^3h\,dx \end{eqnarray*}$
linear in h ist.

$\begin{eqnarray*} T_{y_0}(h+l)= 4\int_0^1\,y_0^3(h+l)\,dx= 4\int_0^1\,y_0^3(h)\,dx+ 4\int_0^1\,y_0^3(l)\,dx =T_{y_0}(h)+T_{y_0}(l) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_{y_0}(ah)= 4\int_0^1\,y_0^3(ah)\,dx= a * 4\int_0^1\,y_0^3(h)\,dx=a*T_{y_0}(h) \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

03.07.2009, 19:47

WebFritzi

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Zitat:

Original von smiiile
Könnte ich die Beschränktheit nicht einfach allgemein zeigen? Ich weiß, dass y auf dem Intervall [0,1] stetig ist. Das war ja oben gegeben: $\begin{eqnarray*} y(x) \in C[0,1] \end{eqnarray*}$

Da y auf dem Intervall stetig ist, ist auch $\begin{eqnarray*} y^3(x) \end{eqnarray*}$ stetig, da die Multiplikation mit sich selbst, die Stetigkeit ja nicht beeinflusst.

Und nach Weiherstraß nehmen stetige Funktionen auf kompakten Mengen (hier also [0,1]) ihr Maximum und ihr Minimum an. Ich weiß also, dass $\begin{eqnarray*} y^3(x) \end{eqnarray*}$ im Intervall [0,1] sein Maximum annimmt. Somit ist es beschränkt, da es ja maximal (Betrag des Maximum * Länge des Intervalls) = (Betrag des Maximums*1) groß werden kann.

Du meinst sicher $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ statt y... Ja, die Funktion $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ ist als stetige Funktion natürlich auf [0,1] beschränkt. Aber es geht um $\begin{eqnarray*} T_{y_0}. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von smiiile
Und aus der Beschränktheit folgt ja auch die Stetigkeit.

Nein, das ist im Allgemeinen falsch! Wie oft soll ich dir das noch sagen?!

Zitat:

Original von smiiile
Jetzt noch zur Linearität.
Ich muss ja zeigen, dass die Frechet-Ableitung $\begin{eqnarray*} T_{y_0}h = 4\int_0^1\,y_0^3h\,dx \end{eqnarray*}$
linear in h ist.

$\begin{eqnarray*} T_{y_0}(h+l)= 4\int_0^1\,y_0^3(h+l)\,dx= 4\int_0^1\,y_0^3(h)\,dx+ 4\int_0^1\,y_0^3(l)\,dx =T_{y_0}(h)+T_{y_0}(l) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_{y_0}(ah)= 4\int_0^1\,y_0^3(ah)\,dx= a * 4\int_0^1\,y_0^3(h)\,dx=a*T_{y_0}(h) \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

Was meinst du mit $\begin{eqnarray*} y_0^3(h) \end{eqnarray*}$ im Integral?

03.07.2009, 22:48

smiiile

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von smiiile
Und aus der Beschränktheit folgt ja auch die Stetigkeit.

Nein, das ist im Allgemeinen falsch! Wie oft soll ich dir das noch sagen?!

Da sagt aber mein Skript was ganz anderes...

Satz 3.2.3.2 Ein linearer Operator $\begin{eqnarray*} T: D_T \to F \end{eqnarray*}$ ist genau dann stetig, wenn er beschränkt ist.

Ja ok, ich habe die Linearität noch nicht gezeigt, aber wenn ich die gezeigt habe, kann ich diesen Satz doch anwenden.
ok, also im Allgemeinen ist es falsch, aber für einen linearen Operator gilt es.

ja, ich meinte $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ . Hab den Index vergessen, sry.

Was die Beschränktheit angeht. Ich weiß ja jetzt, dass $\begin{eqnarray*} y_0^3(x) \end{eqnarray*}$ beschränkt ist.
Da $\begin{eqnarray*} T_{y_0}h = 4\int_0^1\,y_0^3h\,dx \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} T_{y_0}h \end{eqnarray*}$ ist, müsste

$\begin{eqnarray*} T_{y_0} \end{eqnarray*}$ ja gleich $\begin{eqnarray*} 4\int_0^1\,y_0^3\,dx \end{eqnarray*}$ sein. Das Integral ändert ja nichts an der Beschränktheit, ebenso wenig wie die 4 davor. Also müsste $\begin{eqnarray*} T_{y_0} \end{eqnarray*}$ ja auch beschränkt sein.

Jetzt weiter zur Linearität:

Zitat:

Was meinst du mit $\begin{eqnarray*} y_0^3(h) \end{eqnarray*}$ im Integral?

Ich verstehe deine Frage nicht ganz.

Ich habe hier ja die Linearität in h gezeigt:

$\begin{eqnarray*} T_{y_0}(h+l)= 4\int_0^1\,y_0^3(h+l)\,dx= 4\int_0^1\,y_0^3(h)\,dx+ 4\int_0^1\,y_0^3(l)\,dx =T_{y_0}(h)+T_{y_0}(l) \end{eqnarray*}$

Die Klammer ist natürlich nicht unbedingt notwendig. Ich könnte es auch so schreiben:
$\begin{eqnarray*} T_{y_0}(h+l)= 4\int_0^1\,y_0^3(h+l)\,dx= 4\int_0^1\,y_0^3h\,dx+ 4\int_0^1\,y_0^3l\,dx =T_{y_0}(h)+T_{y_0}(l) \end{eqnarray*}$

Und aus der Linearität des Operators zusammen mit der Beschränktheit folgt nun die Stetigkeit des Operators. (natürlich vorausgesetzt, dass ich die Linearität richtig gezeigt habe.)

04.07.2009, 15:32

Mathe-Chief

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Zitat:

Original von smiiile

Da sagt aber mein Skript was ganz anderes...

Satz 3.2.3.2 Ein linearer Operator $\begin{eqnarray*} T: D_T \to F \end{eqnarray*}$ ist genau dann stetig, wenn er beschränkt ist.

Das stimmt im Allgemeinen ja auch, aber die Beschränktheit, die du oben gezeigt hast, bezieht sich nicht auf den Operator, sondern auf die Elemente, auf die der Operator wirkt.

Zitat:

Original von smiiile

$\begin{eqnarray*} T_{y_0} \end{eqnarray*}$ ja gleich $\begin{eqnarray*} 4\int_0^1\,y_0^3\,dx \end{eqnarray*}$ sein. Das Integral ändert ja nichts an der Beschränktheit, ebenso wenig wie die 4 davor. Also müsste $\begin{eqnarray*} T_{y_0} \end{eqnarray*}$ ja auch beschränkt sein.

Nein, denn Beschränktheit eines Elements reicht nicht aus. So kannst du den Raum der beschränkten Funktionen nehmen. In ihm findest du kein C, sodass für alle Funktionen die Beschränktheit gilt, denn ich könnte eine beschränkte Funktion finden, deren Funktionswerte größer sind als C sind.

Gruß

04.07.2009, 17:02

WebFritzi

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Zitat:

Original von smiiile
Da $\begin{eqnarray*} T_{y_0}h = 4\int_0^1\,y_0^3h\,dx \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} T_{y_0}h \end{eqnarray*}$ ist, müsste

$\begin{eqnarray*} T_{y_0} \end{eqnarray*}$ ja gleich $\begin{eqnarray*} 4\int_0^1\,y_0^3\,dx \end{eqnarray*}$ sein.

Das ist dein entscheidender Fehler. Hab ich zwar schon desöfteren gesagt, aber du hörst ja nicht. $\begin{eqnarray*} T_{y_0} \end{eqnarray*}$ ist eine lineare Abbildung von C[0,1] nach IR. Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} 4\int_0^1\,y_0^3\,dx \end{eqnarray*}$ ist aber eine reelle Zahl. Deshalb kann das gar nicht sein. Es ist

$\begin{eqnarray*} T_{y_0}h = 4\int_0^1\,y_0^3(x)h(x)\,dx, \end{eqnarray*}$

und nichts anderes.

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