Beweis: 240 teilt p^4-1 |
01.07.2009, 08:18 | *zwerg* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beweis: 240 teilt p^4-1 ich habe folgende Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Zahl für jede Primzahl durch 240 teilbar ist. Mein Ansatz: Zuerst habe ich mir folgendes angeschaut: p=7: p=11: p=13: Der größte gemeinsame Teiler aller Zahlen ist 240. Es gilt: Daraus erkennt man da , dass allle Faktoren gerade sind, also ist schon mal durch 2^3 teilbar. Aber wie geht es weiter? mfg *zwerg* |
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01.07.2009, 09:21 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis: 240 teilt p^4-1
Das ist nicht ganz richtig.
Die Faktorisierung von ist der entscheidende Schritt. Um die Teilbarkeit durch zu zeigen, betrachte die Restklassen von p mod 4, 3 und 5. |
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01.07.2009, 10:23 | *zwerg* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis: 240 teilt p^4-1 es gilt: aber was für eine Beziehung gilt für ? Und wie kann ich durch die Restklassenbetrachtung dann darauf schließen, dass von 240 geteilt wird? |
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01.07.2009, 11:02 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis: 240 teilt p^4-1 Was soll das etc. ? Die Restklassen von z. B. p mod 3 können repräsentiert werden durch die Reste, die p bei der Division durch 3 lässt, also z. B. durch 0, 1, 2. Wenn p zur Restklasse i gehört (i aus {0,1,2}) , lässt sich p schreiben als mit i = 0 kann bei einer Primzahl größer 5 nicht vorkommen. Aus i = 1 folgt p - 1 ist durch 3 teilbar, also ist durch 3 teilbar. Aus i = 2 folgt p + 1 ist durch 3 teilbar usw. Also ist für jede Primzahl p > 5 durch 3 teilbar. Analog gehst für die Teilbarkeit durch 5 und vor, wobei bei letzerem die Restklassen mod 4 für den Nachweis ausreichen. |
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01.07.2009, 11:28 | *zwerg* | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis: 240 teilt p^4-1 ach, so ist das gemeint. Danke für den Hinweis. ich habe noch eine letzte Frage: Wieso reicht es aus, den Nachweis für mod 4 zu bringen statt mod 16? |
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01.07.2009, 11:36 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis: 240 teilt p^4-1 Du hast doch schon selber festgestellt, dass jeder der drei Faktoren von durch 2 teilbar ist, also insgesamt schon mal durch . Es genügt also zu zeigen, dass mindestens einer der Faktoren durch 4 teilbar ist. Und das ergibt sich aus derr Betrachtung von |
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01.07.2009, 11:51 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hinsichtlich der Teilbarkeit durch 5 kann man auch so argumentieren: Es ist , also ist Nimmt man noch hinzu, hat man 5 aufeinanderfolgende Zahlen , von denen genaue eine durch 5 teilbar sein muss. selbst kann es wegen der Primzahleigenschaft sowie nicht sein, also muss es einer der vier Faktoren des Produkts in (*) sein. |
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01.07.2009, 12:22 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Arthur Ich liebe diese 'eleganten' Lösungen. Weshalb fällt mir das nicht ein? |
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01.07.2009, 12:30 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das tun wir alle. |
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