Beweis: 240 teilt p^4-1

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*zwerg* Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: 240 teilt p^4-1
Hi,

ich habe folgende Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Zahl für jede Primzahl durch 240 teilbar ist.

Mein Ansatz:

Zuerst habe ich mir folgendes angeschaut:

p=7:
p=11:
p=13:

Der größte gemeinsame Teiler aller Zahlen ist 240.

Es gilt:




Daraus erkennt man da , dass allle Faktoren gerade sind, also ist schon mal durch 2^3 teilbar.

Aber wie geht es weiter?

mfg *zwerg*
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: 240 teilt p^4-1
Zitat:
Original von *zwerg*

Das ist nicht ganz richtig.

Zitat:


Daraus erkennt man da , dass allle Faktoren gerade sind, also ist schon mal durch 2^3 teilbar.

Aber wie geht es weiter?

Die Faktorisierung von ist der entscheidende Schritt. Um die Teilbarkeit durch zu zeigen, betrachte die Restklassen von p mod 4, 3 und 5.
*zwerg* Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: 240 teilt p^4-1
es gilt:





aber was für eine Beziehung gilt für ?

Und wie kann ich durch die Restklassenbetrachtung dann darauf schließen, dass von 240 geteilt wird?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: 240 teilt p^4-1
Was soll das etc. ?
Die Restklassen von z. B. p mod 3 können repräsentiert werden durch die Reste, die p bei der Division durch 3 lässt, also z. B. durch 0, 1, 2. Wenn p zur Restklasse i gehört (i aus {0,1,2}) , lässt sich p schreiben als

mit

i = 0 kann bei einer Primzahl größer 5 nicht vorkommen. Aus i = 1 folgt p - 1 ist durch 3 teilbar, also ist durch 3 teilbar. Aus i = 2 folgt p + 1 ist durch 3 teilbar usw. Also ist für jede Primzahl p > 5 durch 3 teilbar.

Analog gehst für die Teilbarkeit durch 5 und vor, wobei bei letzerem die Restklassen mod 4 für den Nachweis ausreichen.
*zwerg* Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: 240 teilt p^4-1
ach, so ist das gemeint. Danke für den Hinweis.

ich habe noch eine letzte Frage:

Wieso reicht es aus, den Nachweis für mod 4 zu bringen statt mod 16?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: 240 teilt p^4-1
Du hast doch schon selber festgestellt, dass jeder der drei Faktoren von durch 2 teilbar ist, also insgesamt schon mal durch . Es genügt also zu zeigen, dass mindestens einer der Faktoren durch 4 teilbar ist. Und das ergibt sich aus derr Betrachtung von

 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Hinsichtlich der Teilbarkeit durch 5 kann man auch so argumentieren: Es ist , also ist



Nimmt man noch hinzu, hat man 5 aufeinanderfolgende Zahlen , von denen genaue eine durch 5 teilbar sein muss. selbst kann es wegen der Primzahleigenschaft sowie nicht sein, also muss es einer der vier Faktoren des Produkts in (*) sein.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur
Ich liebe diese 'eleganten' Lösungen. Weshalb fällt mir das nicht ein?
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
@Arthur
Ich liebe diese 'eleganten' Lösungen.

Das tun wir alle. Gott

Augenzwinkern
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