Z/pZ als Körper

02.07.2009, 22:10

BanachraumK_5

Z/pZ als Körper

Hallo habe folgende Aufgabe:

betrachte:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z/p \mathbb Z, p \geq 2 \end{eqnarray*}$

zeige:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z/p \mathbb Z\ ist\ ein\ Koerper\ genau\ dann\ wenn\ p \in \mathbb P \end{eqnarray*}$

Lösung:

Sei p prim, dann sind die Körperaxiome offensichtlich erfüllt. Unser Restklassenkörper ist dann auch bzgl. der Multiplikation abgeschlossen.

Sei andererseits

$\begin{eqnarray*} p = st\ \Rightarrow [p] = [s][t] = [st] = [0]\ wg.\ char(\mathbb Z/p \mathbb Z) = p\ wobei\ [s],[t] \in \mathbb Z/p \mathbb Z \end{eqnarray*}$

demnach wäre $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/p \mathbb Z \end{eqnarray*}$ bzgl. der Multiplikation nicht abgeschlossen was ja, wenn wir einen Körper haben, nicht sein kann.

Ist das soweit in Ordnung?

02.07.2009, 22:46

chrizke

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Also erstmal darfst du wohl annehmen, dass es sich um einen Ring handelt.

Dann musst du beide Richtungen der Äquivalenz zeigen.

Dass die Multiplikation bei nem Ring abgeschlossen ist, ist schonmal ein Ringaxiom und braucht nicht erwähnt zu werden.

Was unterscheidet denn einen Körper von einem Ring?

Und warum ist p = s*t wenn p prim ist??????? verwirrt

03.07.2009, 08:52

tmo

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Stichwort: Nullteiler.

03.07.2009, 16:04

BanachraumK_5

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Ja klar also in einem Körper existieren keine Nullteiler, in einem Ring ggf. schon.

Und genau das habe ich ja oben schon gezeigt:

Denn wenn p nicht prim, dann ist p zusammengesetzt also p=st, was in unserem Fall heißt:

$\begin{eqnarray*} [p]=[s][t] \Rightarrow [p]=[0]\ in\ \mathbb Z/p \mathbb Z \end{eqnarray*}$

wonach wir dann ja keinen Körper mehr haben weil nicht nullteilerfrei.

Hatte ich doch oben schon gezeigt.

04.07.2009, 19:13

system-agent

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RE: Z/pZ als Körper

Zitat:

Original von BanachraumK_5
Sei p prim, dann sind die Körperaxiome offensichtlich erfüllt. Unser Restklassenkörper ist dann auch bzgl. der Multiplikation abgeschlossen.

Die Frage ist doch, wieso ist es "offensichtlich". Dabei kommt es sehr stark darauf an was man verwenden darf !
zb. $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ prim, dann ist $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ irreduzibel in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ [wieso?].
Also ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ein Integritätsbereich [das muss man natürlich auch zeigen, falls nicht in der Vorlesung getan].
Nun sind endliche Integritätsbereiche automatisch schon Körper [auch zu beweisen].
Also ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ein Körper.

Zitat:

Original von BanachraumK_5
Sei andererseits

$\begin{eqnarray*} p = st\ \Rightarrow [p] = [s][t] = [st] = [0]\ wg.\ char(\mathbb Z/p \mathbb Z) = p\ wobei\ [s],[t] \in \mathbb Z/p \mathbb Z \end{eqnarray*}$

demnach wäre $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/p \mathbb Z \end{eqnarray*}$ bzgl. der Multiplikation nicht abgeschlossen was ja, wenn wir einen Körper haben, nicht sein kann.

Hier würde ich anders argumentieren: Annahme, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ein Körper ist mit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ nicht prim. Das heisst es gibt zwei Zahlen $\begin{eqnarray*} r,s\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r,s \end{eqnarray*}$ beide nicht Null so, dass $\begin{eqnarray*} p=rs \end{eqnarray*}$ . Nun begründen, wieso $\begin{eqnarray*} r,s \end{eqnarray*}$ Nullteiler sind.
Und das ist ein Widerspruch zur Annahme.

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