Konvergenzradius/Reihe mit Matrix berechnen |
03.07.2009, 21:44 | Wittgenstein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Konvergenzradius/Reihe mit Matrix berechnen Ich soll zu folgenden Reihen den Konvergenzradius bestimmen: a) b) c) d) mit zu a) habe ich die Formel von Cauchy-Hamadad angewendet und bin auf gekommen. Bei b) wollte ich es genau so machen, aber war mir nicht sicher, ob ist.. Bin erstmal davon ausgegangen und als Ergebnis habe ich dann Bei c) habe ich dann das Quotientenkriterium verwendet, weil sich damit die Fakultät wegkürzt: . zu d) weiß ich leider nicht so genau... Ich vermute mal Quotientenkriterium: |
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05.07.2009, 16:28 | Wittgenstein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hab mir jetzt noch folgendes überlegt: zu c) . zu d) Limes n->oo fehlt da noch in jeder Gleichung. wäre nett wenn jemand mal gucken könnte, ob das sinnvoll ist |
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05.07.2009, 17:58 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenzradius/Reihe mit Matrix berechnen
Unglaublich... (a) hast du richtig gelöst.
Frag dich, ob deine Beiträge verständlich sind, bevor du postest.
Das ist natürlich Unfug. Es ist |
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05.07.2009, 18:03 | Sly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
zu d) das ist die Fibonacci-Folge. Ich weiß zwar nicht, ob man das hier sofort verwenden darf, aber es gilt die explizite Formel Mit Cauchy-Hadamard sollte das dann zu handhaben sein, da ja der zweite Summand in der Klammer eine Nullfolge ist. Andernfalls ist es auch möglich, nur den Zusammenhang auszunutzen. |
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05.07.2009, 18:29 | Wittgenstein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
zu c) hatte ich ja in meinem 2. Beitrag nochmal was geschrieben b) meinte ich eigentlich mit und dann darauf Cauchy-Hadamard ( ) anwenden. Ergebnis war bei mir 1. zu d) wäre dann der Konvergenzradius wobei ich nicht weiß, ob für das benutzen dürfen, denn diese Darstellung für die Fibonacci-Folge hatten wir in der Vorlesung noch nicht. |
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05.07.2009, 19:05 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Leider ist nicht die "Normalform" einer Potenzreihe. |
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05.07.2009, 19:29 | Wittgenstein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
zu b) ok.. dann geht muss ich die Reihe irgendwie zu umschreiben.. Ich hab versucht die Ableitung der Reihe zu betrachten, mit aber das hilft mir auch nicht so richtig weiter.. Ist denn der Konvergenzradius am ende von x abhängig? |
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05.07.2009, 21:22 | Wittgenstein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hab mich verrechnet, die Ableitung ist ja bringt mich aber trotzdem nicht weiter ... |
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05.07.2009, 23:55 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
. |
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06.07.2009, 12:31 | Wittgenstein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ich schreib b) jetzt nochmal richtig hin, damit ich nicht mit den Indizies durcheinander komme: mit Der Konvergenzradius ist dann , für . Und für ist der Konvergenzradius nicht definiert, da man sowohl beim Quotientenkriterium, als auch bei der Formel von Cauchy-Hadamard durch 0 teilen müsste. |
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06.07.2009, 14:26 | Udo Klabuster | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenzradius/Reihe mit Matrix berechnen
Hier kann man den Reihenwert auch ganz gut berechnen: |
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06.07.2009, 14:40 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, bei Cauchy-Hadamard muss man es eben nicht: Da steht im Nenner der Limes Superior , und der ist hier gleich 1. |
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06.07.2009, 15:01 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist mathematischer Muell. Schreib hin, was du meinst. Und falls du das nicht genau weisst, dann lass es lieber. In der Mathematik muss man sich praezise ausdruecken, damit man verstanden wird. Alles andere ist unbrauchbar. |
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06.07.2009, 21:29 | Wittgenstein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
An den Limes Superior hatte ich gar nicht gedacht. Ich hab mir jetzt nochmal den Wikipedia Artikel dazu durchgelesen und nun hab ich auch die Begründung verstanden, warum der Konvergenzradius 1 ist. zu d) Wenn man den Wert der Reihe kennt: kann man den Konvergenzradius ja berechnen, indem man den Nenner auf Nullstellen untersucht. Das wären in diesem Fall und Also ist der Konvergenzradius , weil dieser Punkt näher am Ursprung liegt. (Kann man das so begründen?) Ich habe versucht mir herzuleiten, aber bin zu keinem Ergebnis gekommen.. Wie muss ich da vorgehen? |
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07.07.2009, 16:08 | Udo Klabuster | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
jetzt erstmal die Reihe auseinanderziehen noch ein bisschen umformen, zusammenfassen und eine kleine Grenzwertbetrachtung einbringen, dann steht's schon da... |
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07.07.2009, 19:43 | Wittgenstein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke für die Hilfe Ich habe jetzt versucht, die Reihe weiter umzuformen und bin auf folgendes gekommen... Allerdings war ich dabei ziemlich verloren... und weiß auch gar nicht ob, oder wie mir das jetzt weiter hilft. Das Endergebnis sieht sehr nach einem Wert der geometrischen Reihe aus, aber ich weiß nicht, wie ich die oben genannte Reihe weiter umformen soll. |
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08.07.2009, 10:26 | Udo Klabuster | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Um Deine Ausführungen lesbarer zu machen solltest Du auf Zeilenumbrüche innerhalb einer Latex-Formel verzichten. Mach den Zeilenumbruch nach dem Beenden einer Latex-Formel und beginne in der neuen Zeile eine neue Latex-Formel. Zur eigentlichen Frage: Nicht unerwähnt lassen möchte ich, dass dies nur zulässig ist wenn die Konvergenz gesichert ist. |
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08.07.2009, 17:06 | Wittgenstein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe jetzt deine Umformungen verstanden. Dann bin ich weiter vorgegangen, indem ich folgende Gleichung gelöst habe: wobei Also ist der Wert der Reihe = z. Davon berechne ich dann die Nullstellen und erhalte und . Da x_2 näher am Nullpunkt liegt, beträgt der Konvergenzradius Kann man das so begründen? Oder gibts noch einen schöneren Weg? |
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08.07.2009, 18:35 | Udo Klabuster | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein! Wie ich bereits erwähnt habe ist das Ganze nur dann zulässig, wenn die Konvergenz der Reihe gesichert ist. Die Frage nach der Konvergenz lässt sich wohl am besten über die explizite Darstellung der Fibonacci-Zahlen beantworten. Das wurde ja auch schon gesagt. Überhaupt lohnt es sich mal mit dem Stichwort 'Fibonacci' die Boardsuche zu bemühen. |
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08.07.2009, 19:45 | Wittgenstein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe nochmal ein wenig recherchiert, und hier http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/node2.html#lllfvb steht unter anderem bei Punkt 1.5, dass man durch Berechnung der Nullstellen sieht, dass die Reihe für konvergiert... Wieso sollte das denn falsch sein? Wir hatten in der Übungsgruppe an der Uni auch ähnliche Beispiele, z.B.: konvergiert für Sonst müsste ich mir ja für die Frage nach dem Konvergenzradius noch die explizite Darstellung herleiten, denn wir hatten in der Vorlesung nicht einmal das Wort Fibonacci erwähnt, geschweige denn eine explizite Formel angegeben... |
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08.07.2009, 20:39 | Udo Klabuster | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aus der Rekursionsgleichung kannst Du sehr einfach eine geeignete Abschätzung für die herleiten mittels derer Du den Konvergenzradius zwischen 0,5 und 1 eingrenzen kannst. Damit wären Deine Überlegungen zum Reihenwert legitimiert und der Konvergenzradius wäre als Nullstelle berechenbar.
Dazu gelangt man aber durch den Grenzwert der Partialsumme: , der nur dann existiert wenn eben ist.
Du kannst die explizite Formel doch angeben und ganz einfach per Induktion beweisen um dann per Quotientenkriterium zu argumentieren. |
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08.07.2009, 20:52 | Wittgenstein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Rekursionsgleichung für die lautet doch Kann ich die Abschätzung wie folgt vornehmen: Für die Abschätzung >0,5 habe ich leider keine Idee. |
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08.07.2009, 21:01 | Udo Klabuster | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ab hinreichend großem gilt: Und da die Fibonacci-Folge offensichtlich streng monnoton wächst gilt: |
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08.07.2009, 21:08 | Wittgenstein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Damit hast du doch auch eine Abschätzung nach unten gemacht, dass War meine denn falsch? |
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09.07.2009, 08:46 | Udo Klabuster | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, falsch nicht. Aber im gegebenen Kontext nur bedingt zielführend. Du hast in diesem Zusammenhang nun wirklich mehr als genug Input bekommen. Verdau das mal alles und wende es an. |
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09.07.2009, 17:23 | Wittgenstein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
alles klar danke für die hilfe |
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