Lineare Abhaengigkeit (Verstaendnisproblem)

19.09.2006, 17:50

ricoh

Lineare Abhaengigkeit (Verstaendnisproblem)

Hallo alle miteinander,

ich habe ein Verstaendnisproblem mit folgender Aufgabe:

"Gegeben sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a_1}=\begin{pmatrix} -2\\1\\3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{a_2}=\begin{pmatrix} 1\\-2\\5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b}=\begin{pmatrix} -5\\4\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \vec{a_2} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \vec{a_1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ linear erzeugt werden kann!"

Ich verstehe hier nicht genau, was ich machen soll - ich weiss zwar wie ich eine lineare Abhaengigkeit nachweisen kann, aber ich verstehe nicht, mit welchem Vektor nun was gemacht werden soll.

Soll ich einfach $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ nehmen und dann addieren? Was ist da mit Faktoren und so?

Bitte die Aufgabe nicht vorrechnen (das will ich selber machen Augenzwinkern

). Bin fuer jede Hilfe dankbar!

19.09.2006, 18:10

JochenX

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nicht einfach a und b addieren, sondern "linearkombinieren", d.h. VIELFACHE beider Vektoren aufeinanderaddieren.

Du sollst zeigen, dass es 2 Zahlen (Skalare) x und y gibt, für die $\begin{eqnarray*} a_2=x*a_1+y*b \end{eqnarray*}$ gilt.
Das ist ein LGS, dass du lösen kannst.

19.09.2006, 19:57

ricoh

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Zitat:

Original von LOED
nicht einfach a und b addieren, sondern "linearkombinieren", d.h. VIELFACHE beider Vektoren aufeinanderaddieren.

Du sollst zeigen, dass es 2 Zahlen (Skalare) x und y gibt, für die $\begin{eqnarray*} a_2=x*a_1+y*b \end{eqnarray*}$ gilt.
Das ist ein LGS, dass du lösen kannst.

Vielen Dank!

"einfach addieren" -> entschuldige mein "Umgangsmathe" Hammer

Alles klar jetzt! Ich wusste nicht ob ich fuer $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ auch einen Skalar berechnen sollte, aber jetzt sehe ich, dass die ein LGS meinen.

Ich dachte man muss da irgendwie einen Nullvektor fuer $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ unterbringen (Unser Lehrer hat uns die Sache bisher nur mit Nullvektoren gezeigt). Aber jetzt sehe ich, dass das auch mit normalen Vektoren klappt.

Vielen Dank nochmal!

20.09.2006, 13:39

mYthos

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RE: Lineare Abhaengigkeit (Verstaendnisproblem)
Hi,

dies hat durchaus auch etwas mit dem Nullvektor zu tun, nämlich dann, wenn man sich die Definition genau ansieht.

Bei n linear abhängigen Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a_n} \end{eqnarray*}$ gilt nämlich, dass in einer Linearkombination dieser n Vektoren ausser der trivialen Relation (alle $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ sind Null, die ja immer gilt) noch gelten muss, dass nicht alle Faktoren $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ gleich Null sind:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot \vec{a_1} + \lambda_2 \cdot \vec{a_2} + ... + \lambda_i \cdot \vec{a_i} + ... + \lambda_n \cdot \vec{a_n}= \vec{0} \end{eqnarray*}$ [Rechts steht der Nullvektor]

Auf das Beispiel umgelegt:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} -2\\1\\3\end{pmatrix}+\lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 1\\-2\\5\end{pmatrix}+\lambda_3 \cdot \begin{pmatrix} -5\\4\\1\end{pmatrix} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

Wenn dies nun zeilenweise nach den $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 's aufgelöst wird, erhält man ausser der trivialen Lösung (0;0;0) noch drei von Null verschiedenen Skalare (unendlich viele Tripel, eines der $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 's kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit = 1 gesetzt werden) und man kann somit jeden der drei Vektoren als LK (Linearkombination) der anderen beiden Vektoren schreiben!

Wir sehen daher, dass durch diese Betrachtungsweise der Begriff der linearen Un- bzw. Abhängigkeit eine besondere Vertiefung erfährt.

mY+

20.09.2006, 20:47

ricoh

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Hallo mYthos,

ja, die Skalare haben dann doch eine bestimmte Abhaengigkeit zueinander, richtig?

Ich erhalte mit dem GTR (voyage200) folgendes (ich habe die Lambda's entsprechend der Reihenfolge in a,b und c geaendert):

a=0 and b=0 and c=0 (dieses Ergebnis ist klar)

oder

a=-8/5 and b=4/5 and c=4/5

habe ich dich richtig verstanden?

20.09.2006, 21:15

mYthos

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Wie erwähnt, gibt es unendlich viele (zueinander proportionale) Lösungstripel (denn das Gleichungssystem ist abhängig), das von dir (richtig) errechnete ist nur eines davon. Lasse mal die Fünftel weg und dividiere durch 4, dann kannst du auch mit dem Tripel

$\begin{eqnarray*} (\lambda_1;\lambda_2;\lambda_3) = (-2;1;1) \end{eqnarray*}$

die lineare Abhängigkeit der drei Vektoren schön sehen:

$\begin{eqnarray*} -2 \cdot \vec{a_1} + \vec{a_2} + \vec{b} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2 \cdot \begin{pmatrix} -2\\1\\3\end{pmatrix}+1 \cdot \begin{pmatrix} 1\\-2\\5\end{pmatrix}+1 \cdot \begin{pmatrix} -5\\4\\1\end{pmatrix} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4\\-2\\-6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\-2\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -5\\4\\1\end{pmatrix} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

Dass diese Beziehung zutrifft, kannst du mittels Probe bei allen drei Zeilen sofort sehen.
Und nun es ist auch leicht, sogar jeden dieser drei Vektoren als Linearkombination der anderen beiden zu schreiben.

mY+

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