Vektorräume

05.07.2009, 11:35

sugarfairy

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Vektorräume

Hallo,
ich hoffe ihr könnt mit weiter helfen.
Ich muss ein Referat über Vektorräume halten und soll diese an Beispielen erklären.
Zwei Beispiele sind mir dabei vorgegeben, "Polynome höchsten dritten Grades" und "Matrizen".
Nun soll ich noch ein drittes Beispiel raussuchen, dass kein Vektorraum bildet.
Und jetzt bräuchte ich zweimal eure Hilfe Augenzwinkern

Augenzwinkern

1. Ist das Thema generell sehr trocken und ich denke, dass es sehr schwierig werden wird, die Klasse zum zuhören zu bringen. Dann muss ich den Vektorraum auch noch anhand dreier Beispiele erklären..
Habt ihr eine Idee, wie man das Ganze etwas spannender machen könnte?
2. Mir fällt kein Beispiel ein, dass kein Vektorraum bildet.. Also mir ist klar, dass dies der Fall ist, sobald die Gesetzte nicht erfüllt werden, aber ich wäre sehr glücklich, wenn jemand evtl eine gute Idee für solch ein Beispiel hätte.
Vielen Dank schon einmal im Voraus !

05.07.2009, 12:43

system-agent

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Schau mal auf Wikipedia:
Die Menge aller magischen Quadrate bilden einen Vektorraum, das finde ich noch ein nettes Beispiel.

Du müsstest natürlich alle Axiome sauber anführen damit etwas einen Vektorraum bildet. Und bedenke: Ein Vektorraum kommt nicht alleine, er kommt immer mit einem Körper, zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Um ein Gegenbeispiel zu erhalten könntest du zb. die Vektoraddition im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ umdefinieren, das heisst du definierst dir eine Addition so, dass mindestens eines der Vektorraumaxiome nicht mehr gilt.

05.07.2009, 12:50

sugarfairy

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Ich soll bei dem Referat vom Buch ausgehen, dort wird der Körper aber nicht einmal erwähnt.
Ich bezweifle auch, dass die Klassenkameraden das verstehen würden..
Sollte ich es trotzdem erklären?

Und wie definiert man eine Addition so? Und was bedeutet R²?

05.07.2009, 14:38

Felix

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Zitat:

Ich soll bei dem Referat vom Buch ausgehen, dort wird der Körper aber nicht einmal erwähnt. Ich bezweifle auch, dass die Klassenkameraden das verstehen würden.. Sollte ich es trotzdem erklären?

Du kannst dich auch auf reele Vektorräume beschränken. Dann musst du nicht erklären was ein Körper ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Und wie definiert man eine Addition so? Und was bedeutet R²?

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Paare mit reelen Einträgen.

Aufgeschrieben: $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 = \{ (a,b) : a,b \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

Eine Addition ist einfach eine binäre Verknüpfung sprich eine Funktion, die je 2 Elementen einer Menge (in dem Fall $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ) 1 Element dieser Menge zuordnet. Die gewöhnliche Definition ist (a,b) + (x,y) = (a+x, b+y). Vermöge dieser Definition ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum. Nun kannst du die Addition aber auch nach deinem Belieben definieren, dann wird (die Menge) $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ in den meisten Fällen kein Vr mehr sein.

05.07.2009, 14:51

Jacques

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Hallo,

Zitat:

Original von sugarfairy

Ich soll bei dem Referat vom Buch ausgehen, dort wird der Körper aber nicht einmal erwähnt.
Ich bezweifle auch, dass die Klassenkameraden das verstehen würden..
Sollte ich es trotzdem erklären?

Du brauchst ja nicht unbedingt alle Fachbegriffe zu benutzen, aber die Strukturen und Eigenschaften selber braucht man meiner Meinung nach auf jeden Fall. Gerade weil Du ja den Begriff an sich erklären sollst, also was ein Vektorraum überhaupt ist.

Ich würde kurz erklären, was ein Körper ist, so in der Art: Ein Körper ist eine Struktur aus einer Menge und zwei Verknüpfungen ...

Zitat:

Original von sugarfairy

Und wie definiert man eine Addition so? Und was bedeutet R²?

R² ist die Menge aller geordneten Paare aus reellen Zahlen. Also die Kurzschreibweise für RxR.

Die Addition kannst Du z. B. so definieren, dass sie nicht mehr kommutativ ist. In R² beispielsweise

$\begin{eqnarray*} (a, b) + (c, d) = (a + b)^2 + c + d \end{eqnarray*}$

// zu langsam Big Laugh

Big Laugh

05.07.2009, 15:30

sugarfairy

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Dankeschön.
Aber wr haben R² und solche Arten der Addition noch nicht im Unterricht behandelt, daher würde dies wahrscheinlich zu schwierig werden.
Ich hab panische Angst davor, dass ich dann da vorne stehe und keiner versteht was Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hat jemand eventuell eine sehr einfache Idee? Ups

Ups

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05.07.2009, 15:40

Felix

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Zitat:

Dankeschön. Aber wr haben R² und solche Arten der Addition noch nicht im Unterricht behandelt, daher würde dies wahrscheinlich zu schwierig werden.

Sag mal in welche Klasse gehst du den ? Wenn ihr Vektorräume behandelt, dann werdet ihr doch sicher schon Vektorrechnung gemacht haben verwirrt

verwirrt

05.07.2009, 16:33

sugarfairy

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12.
Ja, haben wir, aber lediglich die absoluten Grundlagen..
Nur wenn ich nicht mal genau verstehe, was dort steht, weiß ich ehrlich gesagt nicht, wie ich das verständlich rüber bringen sollte Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.07.2009, 17:06

Jacques

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Hm, also was ich nicht verstehe: Einerseits sollst Du abstrakt erklären, was ein Vektorraum ist. Die Beispiele Deines Lehrers sind ja keine geometrischen, anschaulichen Vektorräume mehr, sondern völlig abstrakte Strukturen. Andererseits habt Ihr die Grundlagen noch nie besprochen, sondern wahrscheinlich nur geometrische Beispiele. Und Du traust Deiner Klasse auch nicht zu, bei der Abstraktion mitzukommen.

Was willst oder sollst Du dann eigentlich machen? verwirrt

verwirrt

Eigentlich gibt es doch nur zwei Möglichkeiten, Vektorräume zu besprechen: Entweder man bleibt auf einer „naiven“ Ebene, wo man den Begriff nur an konkreten geometrischen Beispielen erklärt (Ebene oder Raum). Oder man definiert allgemein, was ein Vektorraum ist. Aber dann kommt man um die abstrakten Grundlagen sicherlich nicht herum.

Ein Zwischending fällt mir zumindest nicht ein. Wie willst Du eine Struktur konstruieren, die kein Vektorraum ist, wenn Du gar keine neuen Verknüpfungen einführen darfst/willst?

05.07.2009, 17:24

sugarfairy

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Wie gesagt bleib ich sehr nahe am Mathebuch..
Ich steige mit Zauberdreiecken ein, erkläre dann den Begriff des Vektorraums und soll dies dann an 3 Beispielen beweisen.
2 davon sind Polynome höchsten dritten Gerades und Matrizen, diese haben wir schon behandelt, deswegen wird das wahrscheinlich funktionieren.
Jetzt brauch ich aber eben noch ein Beispiel, bei dem es nicht funktioniert Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.07.2009, 17:30

system-agent

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Da taucht aber schon wieder die Frage auf:
Was hattet ihr denn behandelt?
Ich meine um Matrizen zu haben, müsstet ihr doch mal was vom 3-dimensionalen Anschauungsraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ oder der Ebene $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ gehört haben, unabhängig ob ihr die Symbole $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ genutzt habt.

Also ich an deiner Stelle würde einfach erstmal die Axiome auflisten mit den zugehörigen Verknüpfungen [schau nach was das heisst!].
Dann würde ich zuerst zeigen wie in der Ebene $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und vielleicht noch kurz im Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ die Verknüpfungen definiert sind und die Axiome eines nach dem Anderen nachweisen.

Erst dann käme die Bemerkung, dass die Polynome mit einer geeigneten Addition und Skalarmultiplikation ebenfalls einen Vektorraum bilden !

Zum Schluss kannst du ja noch die magischen Quadrate anführen.

05.07.2009, 18:56

sugarfairy

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Ich hätte eine Idee. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} a_{3}x³+a_{2}x²+a_{1}x+a_{0} \end{eqnarray*}$ a_{i} E R

Wenn bei dieser Funktion das a_{3} fehlen würde, würde es keinen Vekorraum bilden, oder?

Denn wenn ich die Funktion ohne dem a_{3} mit einer Funktion mit a_{3} addieren würde, würde dies nicht funktionieren..

Edit: Oh Gott Big Laugh

Big Laugh

Ich komm mit der Schreibweise gar nicht zurecht..
Tut mir Leid, ich hoffe man erkennt, was ich meine !

05.07.2009, 19:25

system-agent

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Das ist alles falsch.
Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum der reellen Polynome höchstens dritten Grades [beachte das Wörtchen "höchstens" !].

Formal:
$\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist die Menge
$\begin{eqnarray*} V:=\{a_0+a_1X+a_2X^2+a_3X^3\quad|\quad a_i\in\mathbb R\} \end{eqnarray*}$
beachte: das ist bisher nur eine Menge, nichts weiter !
Übrigens, $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ ist in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ genauso wie $\begin{eqnarray*} X^3+X^2+1 \end{eqnarray*}$ und auch deine angegebene Polynome, denn die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ kommen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ enthält eben auch die Null...

Nun definiere eine Addition $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ wie folgt:
$\begin{eqnarray*} (a_0+a_1X+a_2X^2+a_3X^3)\oplus(b_0+b_1X+b_2X^2+b_3X^3):=(a_0+b_0)+<br /> (a_1+b_1)X+(a_2+b_2)X^2+(a_3+b_3)X^3 \end{eqnarray*}$

[es gilt natürlich $\begin{eqnarray*} (a_0+a_1X+a_2X^2+a_3X^3)\in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_0+b_1X+b_2X^2+b_3X^3)\in V \end{eqnarray*}$ .

Nun definiere weiter eine Skalarmultiplikation $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (a_0+a_1X+a_2X^2+a_3X^3)\in V \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} \alpha\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ wie folgt:
$\begin{eqnarray*} \alpha\otimes(a_0+a_1X+a_2X^2+a_3X^3):=\alpha\cdot a_0+\alpha\cdot a_1X+\alpha\cdot a_2X^2+\alpha\cdot a_3X^3 \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ die übliche Multiplikation reeller Zahlen bedeutet.

Das Symbol " $\begin{eqnarray*} := \end{eqnarray*}$ " bedeutet, dass das was links steht durch das was rechts steht definiert wird.

Jetzt ist es deine Aufgabe zu beweisen, dass $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ mit dieser Addition $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ und dieser Skalarmultiplikation $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ einen reellen Vektorraum bildet [sprich du musst die Axiome überprüfen].

Anmerkung:

code:
1:	\oplus

ergibt $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$

code:
1:	\otimes

ergibt $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$

05.07.2009, 20:34

sugarfairy

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Hm, ich komm anscheinend nicht mehr auf den richtigen Weg..

Trotzdem vielen Dank für eure Hilfe !!

05.07.2009, 23:42

system-agent

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Wenn du konkret deine Fragen bzw Probleme formulieren würdest, dann könnten wir dir auch helfen.
Ich habe dir hier eine formal richtige Möglichkeit gezeigt wie man das beweist, dass $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum ist.

07.07.2009, 09:02

Nubler

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matrizen musste konkretisieren, da die i.a. so nich mal ne gruppe bilden.

(2X2matrix + 3X3matrix=?)

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