Determinante mit Dreiecksform berechnen

06.07.2009, 15:41

michall211

Determinante mit Dreiecksform berechnen

Hallo,

ich komme bei der Berechung der Determinante folgender Matrix nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 5 & 8 & 2 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix} \ \end{eqnarray*}$

So Regeln die mir bekannt sind:

Vielfache einer Zeile zu anderen ist ok
Beim Multiplizieren einer Zeile geht der Faktor mit ei

So ich multipliziere die 3 Zeile mit 3 und erhalte dadurch folgendes $\begin{eqnarray*} 1/3\begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 5 & 8 & 2 \\ -6 & -3 & -9 \end{pmatrix} \ \end{eqnarray*}$ Jetzt nehme ich die erste Spalte mal 2 und addiere die dritte Spalte dazu und erhalte
$\begin{eqnarray*} 1/3\begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 5 & 8 & 2 \\ 0 & -1 & -11 \end{pmatrix} \ \end{eqnarray*}$
Jetzt multipliziere ich die zweite Spalte mit 3 $\begin{eqnarray*} 1/9\begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 15 & 24 & 6 \\ 0 & -1 & -11 \end{pmatrix} \ \end{eqnarray*}$

Im nächsten Schritt multipliziere ich die erste Zeile mit 5 und subtrahiere sie mit der 2 Spalte1
$\begin{eqnarray*} 1/9\begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 0 & -19 & -11 \\ 0 & -1 & -11 \end{pmatrix} \ \end{eqnarray*}$

jetzt 3 Spalte mit 19 multi. und von der zweiten Spalte abziehen

und erhalte
$\begin{eqnarray*} 1/9\begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 0 & -19 & -11 \\ 0 & 0 & 198 \end{pmatrix} \ \end{eqnarray*}$

nun multipliziere ich die Diagonale und erhalte

1/9 * 3 * -19* 198 = -1254

Das ist aber das falsche Ergebnis. Es müsste normal -66 rauskommen.

Wenn ich die 1254 durch 19 teile erhalte ich auch 66. Wo ist mein Fehler?

Laut der Regeln darf ich vielfaches einer Zeile zu anderen addieren und muss den Faktor nicht rausziehen....

Danke für euer Hilfe.

Mfg Michll211

06.07.2009, 18:08

michall211

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Sry oben sieht man nicht alle Matrizen, habs nochmal geändert hier:

Hallo,

ich komme bei der Berechung der Determinante folgender Matrix nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 5 & 8 & 2 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix} \ \end{eqnarray*}$

So Regeln die mir bekannt sind:

* Vielfache einer Zeile zu anderen ist ok
* Beim Multiplizieren einer Zeile geht der Faktor mit ei

So ich multipliziere die 3 Zeile mit 3 und erhalte dadurch folgendes
$\begin{eqnarray*} 1/3\begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 5 & 8 & 2 \\ -6 & -3 & -9 \end{pmatrix} \ \end{eqnarray*}$

Jetzt nehme ich die erste Spalte mal 2 und addiere die dritte Spalte dazu und erhalte
$\begin{eqnarray*} 1/3\begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 5 & 8 & 2 \\ 0 & -1 & -11 \end{pmatrix} \ \end{eqnarray*}$

Jetzt multipliziere ich die zweite Spalte mit 3
$\begin{eqnarray*} 1/9\begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 15 & 24 & 6 \\ 0 & -1 & -11 \end{pmatrix} \ \end{eqnarray*}$

Im nächsten Schritt multipliziere ich die erste Zeile mit 5 und subtrahiere sie mit der 2 Spalte1
$\begin{eqnarray*} 1/9\begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 0 & -19 & -11 \\ 0 & -1 &-11 \end{pmatrix} \ \end{eqnarray*}$

jetzt 3 Spalte mit 19 multi. und von der zweiten Spalte abziehen

und erhalte
$\begin{eqnarray*} 1/9\begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 0 & -19 & -11 \\ 0 & 0 & 198 \end{pmatrix} \ \end{eqnarray*}$

nun multipliziere ich die Diagonale und erhalte

1/9 * 3 * -19* 198 = -1254

Das ist aber das falsche Ergebnis. Es müsste normal -66 rauskommen.

Wenn ich die 1254 durch 19 teile erhalte ich auch 66. Wo ist mein Fehler?

Laut der Regeln darf ich vielfaches einer Zeile zu anderen addieren und muss den Faktor nicht rausziehen....

Danke für euer Hilfe.

Mfg Michll211

06.07.2009, 19:07

WebFritzi

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Du musst die 198 noch durch 19 teilen oder 1/19 vor alles schreiben. Teile lieber die zweite Zeile durch 19.

Übrigens solltest du senkrechte Striche anstatt runder Klammern für die Determinante verwenden.

06.07.2009, 20:51

michall211

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Wieso muss ich denn noch durch 19 teilen bzw. mit 1/19 multiplizieren?

Wir haben uns im Tutorium als Merkregel aufgeschrieben:

Vielfache einer Zeile zur anderen addieren ist ok.

Wenn ich die dritte Zeile mal 19 nehme dann ist das doch ein Vielfaches davon oder lieg ich da jetzt ganz falsch.

Mir ist schon bewusst, dass bei der Multiplikationen mit Zahlen die Det verändert wird und der Faktor miteingehen muss.

Nur irritiert mich das ein wenig,da in der Merkregel steht,Vielfache einer Zeile zu anderen addieren ist ok

Mhhhh komisch verwirrt

07.07.2009, 01:28

WebFritzi

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Zitat:

Original von michall211
Wir haben uns im Tutorium als Merkregel aufgeschrieben:

Vielfache einer Zeile zur anderen addieren ist ok.

Das ist das Resultat von Wischi-waschi-Regeln... Es ist ok, wenn man die Zeile, die man vervielfacht hat, so lässt wie sie ist, und die andere ändert. Das hast du aber nicht gemacht.

07.07.2009, 12:16

michall211

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ok ich glaube ich habe es verstanden.

Ich zeige es am besten mal an eine Beispiel,damit du es leichter nachvollziehen kannst und mir sagen kannst ob es so stimmt Hammer

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 6 & 1 & 4 \\ 8 & 3 & 4 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

So jetzt mulitipliziere ich die erste Zeile mit 3 und ziehe die zweite Zeile davon ab, das selbe mache ich nochmal nur diesmal multipliziere ich die erste Zeile mit 4 und ziehe dir 3 Zeile ab und erhalte

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 0 & 8 & 17 \\ 0 & 9 & 24 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier muss ich jetzt den Faktor nicht rausziehen, da die erste Zeile in ihrer Ausgangsform stehen bleibt. Ist das richtig??

Weiter gehts

Ich multipliziere die dritte Zeile mit 8 und ziehe den Faktor raus.
$\begin{eqnarray*} 1/8\begin{vmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 0 & 8 & 17 \\ 0 & 72 & 192 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier muss ich jetzt den Faktor rausziehen, da ich die dritte Zeile geändert habe und sie nicht mehr in der Ursprungsform dasteht?! Ist das richtig??

Als nächstes multiplizier ich die zweite Zeile mit 9 und ziehe die dritte davon ab.

$\begin{eqnarray*} 1/8\begin{vmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 0 & 8 & 17 \\ 0 & 0 & -39 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier muss ich den Faktor 9 ebenfalls nicht rausziehen, da die zweite Spalte genauso stehen bleibt wie vorher...richtig?!

und erhalte somit als Det = 1/8 * 2* 8* (-39) = -78

Wenn ich die det mit dem Entwicklungssatz ausrechne kommt 78 raus mhh...schon wieder irgend ein dummer Fehler. Ich habe ja keine Zeilen bzw. Spalten vertauscht also muss ich auch kein Minus-Zeichen vor die Matrize ziehen. Wo liegt dann der Fehler?

verwirrt

07.07.2009, 12:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von michall211
So jetzt mulitipliziere ich die erste Zeile mit 3 und ziehe die zweite Zeile davon ab, das selbe mache ich nochmal nur diesmal multipliziere ich die erste Zeile mit 4 und ziehe dir 3 Zeile ab und erhalte

Das ist einfach falsch formuliert. Du addierst das (-3)-fache der ersten Zeile zur 2. Zeile und das (-4)-fache der 1. Zeile zur 3. Zeile. Den gleichen Fehler machst du auch weiter unten, so daß du ein falsches Ergebnis erhältst.

07.07.2009, 16:11

michall211

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ok stimmt der Rest denn???
Darf ich die Spalten nur addieren??

Habe ich das richtig jetzt richitg verstanden, wann ich einen Faktor rausziehen muss und wann es nur ein Vielfaches ist?

07.07.2009, 16:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von michall211
ok stimmt der Rest denn???

Wie ich schon andeutete: Der Vorgang "Als nächstes multiplizier ich die zweite Zeile mit 9 und ziehe die dritte davon ab." ist falsch formuliert und im Ergebnis dann auch falsch, so daß du am Ende auch eine falsche Determinante erhältst.

Zitat:

Original von michall211
Darf ich die Spalten nur addieren??

Grundsätzlich darfst du Vielfache einer Zeile (Spalte) zu einer anderen Zeile (Spalte) addieren.

Zitat:

Original von michall211

Habe ich das richtig jetzt richitg verstanden, wann ich einen Faktor rausziehen muss und wann es nur ein Vielfaches ist?

Da wage ich nicht, ein abschließendes Urteil zu fällen.

07.07.2009, 20:10

michall211

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jetzt abgesehen von der formulierung.
Nehmen wir mal an ich hätte es so formuliert wie du es geschrieben hast:
das (-3)-fache der ersten Zeile zur 2. Zeile und das (-4)-fache der 1. Zeile zur 3. Zeile
...

Mir geht es jetzt vielmehr um die Frage wann ich einen Faktor vor die Matrize ziehen muss und wann nicht.

Zum dritten mal jetzt:
Wenn ich eine Zeile vervielfache und diese im nächsten Schritt wieder in der nicht vervielfachten Version dasteht, dann muss ich den Faktor auch nicht rausziehen.
So wie hier.

Ich addiere das (-3)fache der ersten Zeile zur zweiten Zeile und das (-4) fache der ersten Zeile zur dritten Zeile.

Hier muss ich die Zahlen nicht rausziehen, da die erste Zeile unverändert bleibt????

Richtig?

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 6 & 1 & 4 \\ 8 & 3 & 4 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 0 & -8& -17 \\ 0 & -9 & -24 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Darf ich Spalten (Zeilen) auch voneinander subtrahieren????

08.07.2009, 08:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von michall211
Zum dritten mal jetzt:
Wenn ich eine Zeile vervielfache und diese im nächsten Schritt wieder in der nicht vervielfachten Version dasteht, dann muss ich den Faktor auch nicht rausziehen.

Das ist im Prinzip richtig, aber irgendwie um 3 Ecken gedacht.

Zitat:

Original von michall211
Ich addiere das (-3)fache der ersten Zeile zur zweiten Zeile und das (-4) fache der ersten Zeile zur dritten Zeile.

Hier muss ich die Zahlen nicht rausziehen, da die erste Zeile unverändert bleibt????

Richtig?

Ja.

Zitat:

Original von michall211
Darf ich Spalten (Zeilen) auch voneinander subtrahieren????

Ja. Das entspricht der Addition von dem (-1)-fachen einer Zeile (Spalte) zu einer anderen Zeile (Spalte). Augenzwinkern

08.07.2009, 16:08

michall211

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Das ist im Prinzip richtig, aber irgendwie um 3 Ecken gedacht.

ja es geht mir ja hauptsächlich ums Verständnis.
Die Determinante in der Klausur -falls eine derartige Aufgabe dran kommen sollte- werde ich so oder so mit dem Entwicklungssatz berechnen.
Es schadet aber nicht beides zu können.

Vielen dank für deine Hilfe =)

10.07.2009, 15:01

WebFritzi

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von michall211
Darf ich die Spalten nur addieren??

Grundsätzlich darfst du Vielfache einer Zeile (Spalte) zu einer anderen Zeile (Spalte) addieren.

Das ist doch auch wieder schwammig formuliert. Ich formuliere es mal korrekt:

Grundsätzlich darfst du ein Vielfaches der Zeile k mit einer anderen Zeile j addieren und das Ergebnis dann in die Zeile j schreiben. Und eben nicht in die Zeile k. Das war dein Fehler ganz oben, michall.

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