Ausgeartetheit bei Bilinearform

08.07.2009, 16:01

schmouk

Ausgeartetheit bei Bilinearform

Hi, it's me again,

Ich rätsle hier mal wieder vor einer Aufgabe:

Und zwer habe ich bereits gezeigt, dass tr(AB)=tr(BA).

Jetzt lautet die Aufgabe: Man zeige, dass die Abbildung $\begin{eqnarray*} \tau : M_n(K)\times M_n(K)\rightarrow K, \tau (A,B)=tr(AB) \end{eqnarray*}$ , eine symmetrische Bilinearform (bereits gezeigt) ist, und entscheide, ob sie ausgeartet ist.

Um die Ausgeartetheit geht es...

Jetzt hab ich im Skript stehen:

$\begin{eqnarray*} b:V\times V\rightarrow K \end{eqnarray*}$ Bilinearform und gilt z.B. $\begin{eqnarray*} \quad \forall v\in V: (\forall w\in V,\quad b(v,w)=0\Rightarrow v=0) \end{eqnarray*}$ , dann heit b "nicht ausgeartet".

ist A=0 dann ist tr(0*B) wohl =0 oder verstehe ich das nicht richtig?

Grüße,

Schmouk

zu dem Satz oben ist äquivaltent:
$\begin{eqnarray*} b:V\times V\rightarrow K \end{eqnarray*}$ Bilinearform und gilt z.B. $\begin{eqnarray*} \quad \forall v\in V: (\forall w\in W,\quad b(w,v)=0\Rightarrow v=0) \end{eqnarray*}$ , dann heit b "nicht ausgeartet".

dann kann ich doch sagen, dass wenn tr(AB)=0 muss A=0 oder B=0 gewesen sein.

und dann schlägt Satz 1 oder Satz 2 zu.

08.07.2009, 19:07

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Denk an die Schule zurück und stelle dir $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ als Standardskalarprodukt und $\begin{eqnarray*} v,w \end{eqnarray*}$ als geometrische Vektoren vor. Dann bedeutet $\begin{eqnarray*} b(v,w) = 0 \end{eqnarray*}$ so viel wie " $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ stehen senkrecht aufeinander". Natürlich gilt $\begin{eqnarray*} b(0,w) = 0 \end{eqnarray*}$ . Der Nullvektor steht also auf allen Vektoren senkrecht (auch auf sich selbst). Aber das ist nicht das Interessante. Der Clou ist, daß der Nullvektor der einzige (!!) Vektor mit dieser Eigenschaft ist, also der einzige Vektor, der auf allen (!!) anderen Vektoren senkrecht steht. Diese Bilinearform ist also nicht ausgeartet.

Und um zu zeigen, daß die in dieser Aufgabe vorliegende Bilinearform nicht ausgeartet ist, mußt du zeigen, daß die Nullmatrix $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ die einzige (!!) Matrix ist, die auf allen (!!) anderen Matrizen "senkrecht steht". Und "senkrecht stehen" ist hier nur ein Wort und hat keine unmittelbare geometrische Bedeutung mehr. " $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ steht senkrecht auf $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ " ist einfach als gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} \tau(A,B) = 0 \end{eqnarray*}$ anzusehen.

Und wie zeigst du nun diese "Einzigkeit"? Indem du von einer Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ annimmst, daß

$\begin{eqnarray*} \tau(A,B) = 0 \ \ \mbox{für alle} \ B \end{eqnarray*}$

gilt, und daraus $\begin{eqnarray*} A=0 \end{eqnarray*}$ folgerst. Wenn aber etwas für alle Objekte gilt, dann gilt es auch für spezielle. Wie wäre es, wenn du es einmal mit $\begin{eqnarray*} B=E_{ij} \end{eqnarray*}$ probierst, der Matrix, die nur am Kreuzungspunkt der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Zeile mit der $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -ten Spalte eine $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und sonst lauter Nullen hat?

10.07.2009, 15:35

schmouk

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist das wie bei der linearen unabhängigkeit oder? x,v sind lin. unabhängig gdw. ( $\begin{eqnarray*} \alpha x+\mu v=0\Rightarrow x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=0 \end{eqnarray*}$ )

Gedanklich ähnlich oder?

10.07.2009, 17:44

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ausgeartetheit bei Bilinearform

Zitat:

Original von schmouk
$\begin{eqnarray*} b:V\times V\rightarrow K \end{eqnarray*}$ Bilinearform und gilt z.B. $\begin{eqnarray*} \quad \forall v\in V: (\forall w\in W,\quad b(w,v)=0\Rightarrow v=0) \end{eqnarray*}$ , dann heit b "nicht ausgeartet".

dann kann ich doch sagen, dass wenn tr(AB)=0 muss A=0 oder B=0 gewesen sein.

und dann schlägt Satz 1 oder Satz 2 zu.

Denk mal über deine Logik nach...

10.07.2009, 17:51

schmouk

Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst Du auch mehr als nervige und unproduktive Kommentare abzugeben?
Weißt du, auch wenn es nicht - um annähernd in der Sprache zu bleiben, die du scheinbar nur noch verstehst - bei jedem Posting explizit definiert wird: Es sind immer Fragen mit der Bitte um Hilfe und Erklärung. Wenn ich also die Frage stelle, weil ich mir nicht sicher bin, on ich die Logik richtig efasst hab, bringt mir als Antwort "Denk mal über deine logik nach" nichts, denn das habe ich bereits getan mit dem Ergebnis: "Ich komm nicht weiter, ich muss mich an ein Forum wenden".

10.07.2009, 21:07

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von schmouk
Das ist das wie bei der linearen unabhängigkeit oder? x,v sind lin. unabhängig gdw. ( $\begin{eqnarray*} \alpha x+\mu v=0\Rightarrow x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=0 \end{eqnarray*}$ )

Gedanklich ähnlich oder?

Nun ja, es müssen sich natürlich $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ als 0 herausstellen. Eine vage Ähnlichkeit zur linearen Unabhängigkeit mag bestehen. Aber ich würde jetzt nicht darin mein Heil suchen.

Wenn man keinen richtigen Durchblick hat, empfiehlt sich immer ein einfaches Beispiel. Wie wäre es mit $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt soll die Spur der Matrix $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ immer 0 ergeben, für jedes $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ! Dann nimm doch einmal speziell $\begin{eqnarray*} B=E_{12} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechne das Matrizenprodukt und seine Spur. Und das muß ja $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ergeben. Und wie ist es, wenn du $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} E_{11} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} E_{21} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} E_{22} \end{eqnarray*}$ multiplizierst?

Kannst du die Erkenntnis auf beliebiges $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ verallgemeinern?

11.07.2009, 16:28

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von schmouk
Kannst Du auch mehr als nervige und unproduktive Kommentare abzugeben?

Woher soll ich wissen, dass du dich schon länger gefragt hast, ob deine Logik die richtige ist. Davon schreibst du nämlich nichts... Und wenn ich mich recht entsinne, habe ich dir schon mehrmals geholfen. Wie kannst du dann sowas schreiben? unglücklich

In der Definition (das ist kein Satz!) steht: "Die Form ist nicht ausgeartet, wenn [BLA] gilt". Du sollst also überprüfen, ob [BLA] in deinem Beispiel gilt oder nicht.

Zitat:

Original von schmouk
dann kann ich doch sagen, dass wenn tr(AB)=0 muss A=0 oder B=0 gewesen sein.

Das ist nichts anderes als die Aussage [BLA]. Wie gesagt, sollst du entscheiden, ob sie gilt. Einen Ansatz dazu hat dir Leopold jetzt gegeben.

12.07.2009, 23:19

schmouk

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay, im 2x2 Fall ist es also so, dass, sobald A ungleich 0 hat sie in min. einer Zelle eine Eintrag. Ich kann dann einen der Basisvektoren E11,E12,E21,E22 (also auch ein Vielfaches oder eine Lin.Komb aus ihnen), der durch Multiplikation mit A bewirkt, dass der Wert ungl. 0 aus A auf die Diagonale von AB gerückt wird. Und dann ist trAB) ungleich 0. Also gilt
$\begin{eqnarray*} \forall A\in M_2(K)\exists B\in M_2(K) : tr(AB)\neq 0 \end{eqnarray*}$ Also ist so ein Skalarprodukt nicht ausgartet.

so in etwa?

für n allgemein. es muss genauso sein, da die VRe und die Basen für beide Komponenten A,B gleich sind. Desshalb kann ich ein Basiselement finden, dass min. eine Zelle aus A durch multiplikation mit diesem Basiselement (=B) auf die Diagonale rückt. Also ist tr(AB) ungl. 0.

schmouk.

und @webfritzi: war nich so gemeint. mathe hat schon extremen Potenzial jemanden auf die Palme zu bringen. Ihr kennt das sicher auch.

13.07.2009, 03:19

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt

$\begin{eqnarray*} {\rm tr}(AE_{ij}) = a_{ji}. \end{eqnarray*}$

Mehr brauchst du nicht.

Neue Frage »

Antworten »

Ausgeartetheit bei Bilinearform

Verwandte Themen