Basis zu einem Faktorraum

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Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »
Basis zu einem Faktorraum
Hi!

Ich habe zwei Vektorräume: und .

Nun möchte ich die Basis zum Faktorraum bestimmen. Das mache ich, indem ich die vorhandene Basis von zu einer Basis von ergänze und dann nur die "zusätzlichen" Basisvektoren behalte. Der konkrete Fall kommt aus einer Aufgabe zu nilpotenten Normalformen (Basistransformation), deshalb habe ich von den beiden zusätzlichen Vektorn schon einen, nämlich .

Wie finde ich jetzt den vierten, sodass die vier zusammen auch wirklich den Vektorraum erzeugen?

Vielen Dank für eure Tipps.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis zu einem Faktorraum
Hallo Philipp,

Kennst Du den Steinitzschen Austauschsatz? Der besagt nämlich, dass man eine Basis von mit den Basisvektoren von zu einer Basis ergänzen kann. Das heißt, dass Du einfach nur zwei geeignete(!) Basisvektoren von zu nehmen brauchst.

Gruß,
Reksilat.
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis zu einem Faktorraum
Danke, Reksilat.

Ich *muss* aber unbedingt den einen Vektor nehmen, den ich bereits habe. Und dann kann ich ja nicht mehr einfach einen Vektor aus der Basis von nehmen, weil ich ja eine "erweiterte" Basis von habe.

Oder sehe ich das falsch?


EDIT: Oder wäre es eine Möglichkeit, den vorgegebenen Vektor durch drei andere zu einer Basis von zu ergänzen und dann einen dieser drei zu nehmen?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis zu einem Faktorraum
Du hast doch jetzt eine Menge von Vektoren:


und diese kannst Du ebenfalls mit Steinitz zu einer Basis von ergänzen, indem Du einen geeigneten Vektor aus der Basis nimmst.
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