Plücker-Koordinaten

09.07.2009, 16:55

Felix

Plücker-Koordinaten

$\begin{eqnarray*} E = span(x,y) \end{eqnarray*}$ ist ein 2-elementiger UR von $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} p_{ij} := det \begin{pmatrix} x_i & y_i \\ x_j & y_j \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1 \leq i < j \leq n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(x,y) := (p_{ij})_{1 \leq i < j \leq n} \in K^{\begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

Es gilt $\begin{eqnarray*} E = span (x,y) = span (x',y') \Rightarrow \exists a \in K : p(x,y) = a \cdot p(x',y') \end{eqnarray*}$

Nun soll ich auch die Umkehrung zeigen: Sind $\begin{eqnarray*} E_1,E_2 \end{eqnarray*}$ Unterräume der Dimension 2, so dass $\begin{eqnarray*} p(E_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p(E_2) \end{eqnarray*}$ linear abhängig sind so folgt $\begin{eqnarray*} E_1=E_2 \end{eqnarray*}$ (p(E) ist bis auf einen Faktor $\begin{eqnarray*} a \in K \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt)

Mein Ansatz scheint eine Sackgasse zu sein:

Nach Voraussetzung gilt $\begin{eqnarray*} x_iy_j - x_jy_i = x'_iy'_j - x'_jy'_i \end{eqnarray*}$ (Das a kann ich mir sparen, dass haben meine Beweisversuche wenigstens ergeben Big Laugh

).

Nun will ich zeigen, dass aus $\begin{eqnarray*} x'_i = k_1x_i + k_2y_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'_i = k_3x_i + k_4y_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x'_j = k_1x_j + k_2y_j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'_j = k_3x_j + k_4y_j \end{eqnarray*}$ folgt.

Es gibt allerdings unendlich viele Möglichkeiten $\begin{eqnarray*} y'_j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x'_j \end{eqnarray*}$ zu wählen:

$\begin{eqnarray*} x_iy_j - x_jy_i = (k_1x_i + k_2y_i)y'_j - x'_j(k_3x_i + k_4y_i) \end{eqnarray*}$

Irgendwelche Tipps ?

lg

10.07.2009, 13:53

Felix

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum antwortet mir denn niemand?

Wie auch immer, ich hab eine neue Idee, mal sehen was daraus wird:

Der Schnittpunkt der Geraden (falls nicht parallel) $\begin{eqnarray*} x_ix + y_iy = x'_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_jx + y_jy = x'_j \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} x= \frac{\begin{vmatrix} x'_i & y_i \\ x'_j & y_j \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_i & y_i \\ x_j & y_j \end{vmatrix} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y= -\frac{\begin{vmatrix} x'_i & x_i \\ x'_j & x_j \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_i & y_i \\ x_j & y_j \end{vmatrix} } \end{eqnarray*}$

Könnte ich nun zeigen, dass $\begin{eqnarray*} p(x,y) = k \cdot p(x',y) \end{eqnarray*}$ usw. gilt, dann wäre die Aussage bewiesen, da es trivialerweise zu jeder Geraden eine nicht parallele gibt ...

Was meint ihr? Habt ihr noch andere Ideen? Über ein wenig Unterstützung wäre ich sehr froh smile

11.07.2009, 09:51

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Bezeichnungen sind etwas verwirrend. Sind jetzt $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ Vektoren oder Skalare? Ich dachte, $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ sollen einen zweidimensionalen Unterraum erzeugen? Dann kannst du diese Bezeichner aber nicht als die Variablen eines linearen Gleichungssystems verwenden. Ansonsten ist die Idee mit der Cramerschen Regel gut. Bringen wir aber zunächst etwas Ordnung hinein.

Nehmen wir an, daß $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x',y' \end{eqnarray*}$ zwei Paare linear unabhängiger Vektoren sind und daß ein Skalar $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ existiert mit

$\begin{eqnarray*} p'_{ij} = a p_{ij} \ \ \mbox{für alle} \ \ 1 \leq i < j \leq n \end{eqnarray*}$

Hierbei sind natürlich die $\begin{eqnarray*} p_{ij} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} p'_{ij} \end{eqnarray*}$ die Plückerschen Koordinaten von $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x',y' \end{eqnarray*}$ .
Nicht alle $\begin{eqnarray*} p_{ij} \end{eqnarray*}$ können verschwinden, sonst wären $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ linear abhängig (stimmt das?). Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei $\begin{eqnarray*} p_{12} \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann muß auch $\begin{eqnarray*} p'_{12} \neq 0 \end{eqnarray*}$ sein.

Es ist nun zu zeigen, daß Skalare $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta,\gamma,\delta \end{eqnarray*}$ existieren mit

$\begin{eqnarray*} x' = \alpha x + \beta y \, , \ \ y' = \gamma x + \delta y \end{eqnarray*}$

Nehmen wir uns die erste der beiden Gleichungen vor, und zwar speziell in der ersten und zweiten Koordinate:

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} x'_1 = \alpha x_1 + \beta y_1 \\ x'_2 = \alpha x_2 + \beta y_2 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Dieses lineare Gleichungssystem kann mit der Cramerschen Regel gelöst werden:

$\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{1}{p_{12}} \left( x'_1y_2 - x'_2 y_1 \right) \, , \ \ \beta = \frac{1}{p_{12}} \left( x_1x'_2 - x_2x'_1 \right) \end{eqnarray*}$

Wenn es also überhaupt $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ wie gewünscht gibt, dann müssen es die soeben gefundenen sein. Mit diesen Werten ist für alle Koordinaten $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} x'_i = \alpha x_i + \beta y_i \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} i=1,2 \end{eqnarray*}$ ist das nach Konstruktion so. Sei also $\begin{eqnarray*} i>2 \end{eqnarray*}$ . Die Behauptung kann äquivalent umgeformt werden:

$\begin{eqnarray*} p_{12} x'_i = \left( x'_1y_2 - x'_2 y_1 \right) x_i + \left( x_1x'_2 - x_2x'_1 \right) y_i \end{eqnarray*}$

Jetzt multipliziert man rechts aus und gruppiert die vier Summanden so, daß man aus zweien $\begin{eqnarray*} x'_1 \end{eqnarray*}$ und aus zweien $\begin{eqnarray*} x'_2 \end{eqnarray*}$ ausklammert. Dann lautet die Behauptung so:

$\begin{eqnarray*} p_{12} x'_i = p_{1i} x'_2 - p_{2i} x'_1 \end{eqnarray*}$

Multipliziert man jetzt die Gleichung mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ (wegen $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist auch das eine Äquivalenzumformung), so kann man bei den $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ laut Voraussetzung von den ungestrichenen zu den gestrichenen Größen übergehen. Und jetzt ersetzt man die Plückerschen Koordinaten gemäß ihrer Definition und überprüft die Gleichheit der beiden Seiten.
Dann ist gezeigt: $\begin{eqnarray*} x' = \alpha x + \beta y \end{eqnarray*}$ . Und jetzt dasselbe noch mit $\begin{eqnarray*} y' = \gamma x + \delta y \end{eqnarray*}$ .

11.07.2009, 10:56

Felix

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Deine Bezeichnungen sind etwas verwirrend. Sind jetzt $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ Vektoren oder Skalare? ch dachte, $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ sollen einen zweidimensionalen Unterraum erzeugen? Dann kannst du diese Bezeichner aber nicht als die Variablen eines linearen Gleichungssystems verwenden.

Mein Fehler Ups

Zitat:

Nicht alle $\begin{eqnarray*} p_{ij} \end{eqnarray*}$ können verschwinden, sonst wären $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ linear abhängig (stimmt das?).

Ja, denn daraus würde folgen, dass die Matrix deren Spalten die Vektoren sind, den (Zeilen)rang 1 hat woraus folgt, dass die Spalten/Vektoren linear abhängig sind.
(Ich weiß, dass du dieser Antwort nicht bedarfst, soll das Thema hier nur vervollständigen Augenzwinkern

)

Vielen Dank für deine Hilfe smile

lg Felix

Neue Frage »

Antworten »

Plücker-Koordinaten

Verwandte Themen