Gebietsintegral für Dreiecksfläche

13.07.2009, 11:02

Sandra121289

Gebietsintegral für Dreiecksfläche

Hallo,
wir haben folgende Aufgabe:

G ist das Dreieck mit den folgenden Eckpunkten: (0,0),(-1,0),(0,-1)
Berechnen sie das Gebietsintegral $[latex]\int_{G}^{}\int_{}^{}~(2xy^2 -1)~d(x,y) [/latex]$

Ich habe mir nun überlegt, dass ich einfach das Ganze als Viereck mit dem letzten Eckpunkt (-1,-1) berechne und dann durch 2 teile. Eigentlich müsste ja 1/2 als Ergebnis rauskommen, ich komme aber immer nur auf -4/6. WIr hatten in den Vorlesungen leider nur einmal ein kleines Beispiel durchgesprochen, welches auch nicht wie hier im negativen Bereich war, weshalb ich nicht genau weiß, wo ich die Integrationsgrenzen rumdrehen muss, damit sich das minus weghebt:

$[latex]\frac{1}{2}*\int_{0}^{-1}\int_{0}^{-1}~(2xy^2 -1)~dx~dy [/latex]$

13.07.2009, 12:41

Ehos

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Male dir das Dreieck auf. Schneide dann das Dreieck in Gedanken in differentiell dünne Streifen der Dicke dy, die parallel zur x-Achse liegen. Derjenige Streifen, der die y-Achse beim Wert -y schneidet, ist durch das x-Intervall [1-y;0] begrenzt. Das bedeutet, diese Streifen haben auf der linken Seite eine variable Grenze. Das genannte x-Intervall [1-y;0] gibt die Grenzen des "inneren" x-Integrals an, welches den Flächeninhalt eines Streifens liefert.

Das äußere y-Integral hat die Grenzen [-1;0]. Bei der äußeren Integration werden die einzelnen Streifen aufsummiert. Insgesamt ergibt sich so der Flächeninhalt des ursprünglichen Dreieckes.

Dein Verfahren, wobei du das Dreieck zum Quadrat "erweitern" willst, sollst du ja gerade nicht anwenden, weil dies nur in Spezialfällen möglich ist.