Aufgabe zum Gauß Jordan Verfahren

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sindou Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zum Gauß Jordan Verfahren
Ich finde einfach nicht meinen Fehler bei der Anwendung des Gauß-Jordan Verfahrens. Könnt ihr ihn finden?

Aufgabe:

(1) Anwendung des Gauß-Jordan Verfahrens:









Die erste Matrix ist die Aufgabenstellung. Die rechte Spalte das Ergebnis.
Ich habe mir diese Umformungen jetzt genau angeschaut und kann keinen Fehler entdecken.
Das Ergebnis kann aber eigentlich nicht stimmen, da die Aufgabe wie folgt wietergeht:

(2) für welche Werte gibts es 1 Lösung/ unendlich viele Lösungen/ keine Lösung?

Bei meinem Ergebnis ist der Rang (A,c) aber immer 3, genauso wie der Rang (A).
Da n=3 gibt es daher unendlich viele Lösungen, ganz egal welchen Wert A oder B haben. Die Aufgabe würde dann also keinen Sinn machen --> mein Ergebnis ist falsch.
Doch wo ist der Fehler?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zum Gauß Jordan Verfahren
Hallo sindou,

Du multiplizierst ja im ersten Schritt Zeile 3 mit - was ist aber, wenn ist?

Allgemein kannst Du einfach die zweite Zeile mit durchmultiplizieren und dann das -fache der zweiten Zeile von der dritten abziehen, dann sparst Du Dir auch die Brüche.

Gruß,
Reksilat.
sindou Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zum Gauß Jordan Verfahren
Oha, die Details...die Details, wie so oft so wichtig.
Danke, dein Weg erscheint mir doch besser. Einen weiteren Stolperstein auf dem Weg zum Bestehen der morgigen Klausur (dank dir) aus dem Weg geräumt.

PS: Bei Comunio helfen dir deine Rechenkünste aber nicht, von wegen doppelte Marktpreise... Wink
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zum Gauß Jordan Verfahren
Dann wünsche ich Dir mal viel Erfolg für morgen! Wird schon klappen, wenn Du fürs Lernen sogar die Tour sausen lässt.

Gruß,
Reksilat.


PS: Die doppelten Marktpreise waren auch auf den Tag bezogen, an dem Du verkaufen wirst. Big Laugh
sindou Auf diesen Beitrag antworten »

Wirklich sinnig erscheint mir die Aufgabe aber immer noch nicht.

- unlösbar: Rang (A,c) > Rang (A)
Da aber Rang (A) so oder so 3 ist muss Rang (A,c) also >3 sein, damit es unlösbar wird. Das geht aber nicht. Man kann also für A und B einsetzen was man will, unlösbar wird es nicht.

-unendlich viele Lösungen: Rang (A) = Rang (A,c) und Rang (A) < n
n ist 3 also muss Rang (A,c) < 3 sein. Beide Bedingungen sind aber nicht gleichzeitig erfüllbar. Man kann also für A und B einsetzen was man will, unendlich viele Lösungen gibt es nicht.

-eine Lösung: Rang (A) = Rang (A,c) = n. Also beide Ränge gleich 3.
Also darf der Bruch recht unten in der Matrix nicht gleich 0 sein.

Stimmt das so?

Achja: Was passiert eigentlich, wenn Rang (A,c) < Rang (A) ist? Das sagen mir meine Regeln irgendwie nicht...
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Da aber Rang (A) so oder so 3 ist

Wieso das? Was passiert denn, wenn ist?

Edit: und Rang(A,c)<Rang(A) geht nicht, da der Rang genau die Dimension des von den Spalten aufgespannten Unterraums ist und bei (A,c) einfach nur noch eine weitere Spalte dazukommt.
Insofern gilt immer Rang(A,c)>=Rang(A)
 
 
sindou Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, der Rang (A) bezieht sich also auf die Matrix vor der Umformung? Ich bin jetzt von der nach der Umformung ausgegangen...
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Der Rang bleibt unter den elementaren Spaltenumformungen invariant, also unter:
- Addition des Vielfachen einer Spalte zu einer anderen
- Multiplikation einer Spalte mit einer Zahl
sindou Auf diesen Beitrag antworten »

Aber der Rang der Matrix A ist doch nach den Umformungen so oder so 3, da in jeder Zeile mindestens eine Zahl ungleich 0 steht.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Eben nicht. Wie gesagt ist die erste Umformung nur für möglich. Ist , so enthält die letzte Zeile nur Nullen, und es ist immer Rang(A)=2.
sindou Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich deinen Tipp befolge erhalte ich folgende Matrix:



Und in der linken 3x3 Matrix sind in der letzten Zeile nun mal 2 Nullen und eine 1.
Der Rang dieser 3x3 Matrix ist also 3 ,ganz unabhängig von irgendwelchen Variablen.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zum Gauß Jordan Verfahren
Hier nochmal die einzelnen Schritte:


:


:


Und jetzt hast Du augenscheinlich die letzte Zeile durch dividiert, was aber eben nur geht, wenn ist.
sindou Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich wohl. Aber muss nicht da, wo du B+A/3 stehen hast eine 1 stehen, damit es die gewünschte Einheitsmatrix ist? Das dachte ich bisher immer.

Kann ich also jetzt einfach von dieser Matrix ausgehen und die Ränge untersuchen?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt eben Matrizen, bei denen man nicht überall Einsen auf der Diagonale erzeugen kann. Hat die Matrix keinen Vollrang, so stehen dann auch Nullen auf der Diagonale. Allgemein lassen sich die Matrizen immer auf Dreiecksgestalt bringen, mit genau Rang(A) vielen Einsen auf der Diagonalen und n-Rang(A) vielen Nullzeilen.

Jedenfalls kannst Du jetzt eine Fallunterscheidung machen und für die verschiedenen Fälle die Ränge untersuchen.
sindou Auf diesen Beitrag antworten »

Und das ist ja die Hauptsache, warum das so ist tangiert mich wenig bis gar nicht. Augenzwinkern

Eine weitere Frage: Ich soll bestimmen ob die Matrix regulär ist. Wie mache ich das am schnellsten?
Reicht es die Determinante zu bilden und falls diese =0 ist --> nicht regulär bzw. singulär.
Oder muss ich mir mit dem Algorithmus eine invertiere Matrix basteln? (Was wohl länger dauert als erstere Methode).
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Durch elementare Zeilenumformungen veränderst Du die Invertierbarkeit nicht. Wenn Deine Dreiecksmatrix eine Determinante hat, so ist sie invertierbar, ansonsten eben nicht.

Außerdem: M Invertierbar <=> M hat vollen Rang

Eine Inverse musst Du in keinem Fall basteln, es sei denn sie ist explizit gefordert. :kaffee:
sindou Auf diesen Beitrag antworten »

Also bilde ich einfach nur die Determinante der gegebenen 3x3 Matrix und fertig ist die Aufgabe?

EDIT: Ich sehe gerade, dass in einer Aufgabe gefragt ist für welche Werte zweier Variablen die Matrix regulär ist. Bilde ich dann die Determinante, setze diese gleich Null und löse dann die Gleichung?

Oder, einfacher: Die Variablen müssen einfach ungleich Null sein, damit die Matrix maximalen Rang hat und damit regulär ist? Wäre ein bischen zu einfach...
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt! Freude
sindou Auf diesen Beitrag antworten »

Das war jetzt vermutlich noch nicht auf das editierte bezogen, oder?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, da wollte ich noch was reineditieren. Augenzwinkern
Meine Netzverbindung ist nur gerade so lahm, dass alles sehr lange dauert - inclusive Mailbenachrichtigung.

Für die reine Invertierbarkeit reicht die Untersuchung der Determinante. Willst Du dagegen noch wissen, wann das LGS keine, bzw. unendlich viele Lösungen hat, so musst Du zusätzlich noch für die Fälle, in denen die Determinante null wird, den Rang(A,c) untersuchen.

Wenn A und B beide nicht null sind, heißt das noch nicht, dass die Matrix invertierbar ist. Es gibt da noch einen Ausnahmefall.
sindou Auf diesen Beitrag antworten »

Die Klausur ist super gelaufen und genau das kam dran. Freude
Vielleicht kann ich damit die Scharte von Mathe I ein wenig wieder auswetzen...

Vielen Dank nochmal.
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