Matrizen und Inverse

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plizzz Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen und Inverse
Hi,

ich habe folgendes Problem:

Ich habe eine Matrix und A und dazu eine Matrix A', sodass

A*A'=Id

Folgt daraus unmittelbar, dass A' die zu A inverse Matrix ist (für die ja zusätzlich gefordert wird: A'*A=Id) ?

Habe es darüber probiert, dass quadratische Matrizen ja einen Ring bilden. Nur ist der nicht nullteilferfrei und dann geht das nicht auf.

Geht es vielleicht darüber, dass invertierbare Matrizen eine Gruppe bzgl. Matrizenmultiplikation bilden? Wenn ja:

Woher weiß ich, dass A' invertierbar ist?

Sind jetzt zwar recht banale Sachen, aber hat mich doch etwas erschrocken, als ich mich gefragt habe, warum das eigentlich so ist.

Vielen Dank für die Hilfe,
plizzz
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen und Inverse
Zitat:
Original von plizzz
Geht es vielleicht darüber, dass invertierbare Matrizen eine Gruppe bzgl. Matrizenmultiplikation bilden?

Ja.

Zitat:
Original von plizzz
Woher weiß ich, dass A' invertierbar ist?

Das ergibt sich aus den Gruppeneigenschaften. Augenzwinkern
Du kannst aber auch beide Seiten der Gleichung A*A' = Id von links mit A' multiplizieren und ausnutzen, daß das neutrale Element eindeutig ist.
 
 
Sly Auf diesen Beitrag antworten »



Felix Auf diesen Beitrag antworten »





Reicht auch schon wenn ich mich nicht irre verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sly

Hmm. Die linke Seite bekommt man schon direkt aus , wenn man dies von rechts mit A multipliziert und kann sich also diesen ganzen Umweg sparen. Warum aber daraus folgt, daß dann A' * A = Id ist, solltest du noch begründen.

@Felix: genau deine Rechnung habe ich in meinem Beitrag verbal beschrieben und begründet. Einfach Implikationspfeile zu schreiben ist leicht. Aber man sollte diesen aber auch begründen. Augenzwinkern
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Assoziativität und Eindeutigkeit des inversen Elements Augenzwinkern

Da du aber wie du richtig sagst diese Rechnung sowieso schon verbal beschrieben hast konnte ich mir das ja sparen Augenzwinkern
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von Sly

Hmm. Die linke Seite bekommt man schon direkt aus , wenn man dies von rechts mit A multipliziert und kann sich also diesen ganzen Umweg sparen. Warum aber daraus folgt, daß dann A' * A = Id ist, solltest du noch begründen.


Naja das stimmt schon, ich habe es aber schnell aus dem Stegreif hingeschrieben.
Es ist Ansichtssache, wovon man hier ausgehen kann; mein Ansatz ist beschränkt auf die Verwendung der Voraussetzung und der Assoziativität der Matrixmultiplikation.

"Eindeutigkeit des inversen Elementes" schon hier vorauszusetzen, wäre meiner Meinung nach zu viel, denn das zeigen wir hier ja gewissermaßen.

Wenn man das aber doch voraussetzen dürfte, wäre das Problem mit Kenntnissen aus LA trivial: Aufgrund der Voraussetzung müssen schon sowohl A, als auch A' vollen Rang haben, gehören also zu der Gruppe der invertierbaren Matrizen, in welcher Links- und Rechts-Inverses gleich sind.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich bin der Meinung, ihr liegt hier alle falsch. Woher soll man denn wissen, dass A oder A' in der Gruppe der invertierbaren (nxn)-Matrizen liegt. Wenn man das weiß, ist die Behauptung klar. Aber das steht nicht in der Aufgabe, die uns plizzz gegeben hat. Er hat ja auch die berechtigte Frage gestellt: "Woher weiß ich, dass A' invertierbar ist?"

Hier ist die folgende Eigenschaft von (nxn)-Matrizen ausschlaggebend:

A surjektiv <==> A injektiv.


Die beschränkten und invertierbaren linearen Operatoren in einem unendlichdimensionalen Banachraum X bilden auch eine Gruppe. Aber wenn für zwei lineare Operatoren A und A' gilt

AA' = I,

so kann man eben nicht folgern, dass A invertierbar ist (und dann mit ). Denn für beschränkte lineare Operatoren in X gilt nicht

A surjektiv <==> A injektiv.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hier ist die folgende Eigenschaft von (nxn)-Matrizen ausschlaggebend:

A surjektiv <==> A injektiv.


<==> A hat vollen Rang

Ich sehe nicht so das Problem.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sly
Zitat:
Hier ist die folgende Eigenschaft von (nxn)-Matrizen ausschlaggebend:

A surjektiv <==> A injektiv.


<==> A hat vollen Rang


Ja und? Hat plizzz das irgendwo vorausgesetzt? Nein. Eure obigen Überlegungen sind für die vorliegende Situation also alle falsch.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte korrigiere mich wenn ich falsch liege, aber man benutzt ja die Invertierbarkeit gar nicht. So wie ich das sehe, folgt aus auch ohne, dass invertierbar ist, dass das neutrale Element der Multiplikation ist (und zwar einfach aus der Definition des neutralen Elements).
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix
Bitte korrigiere mich wenn ich falsch liege, aber man benutzt ja die Invertierbarkeit gar nicht. So wie ich das sehe, folgt aus auch ohne, dass invertierbar ist, dass das neutrale Element der Multiplikation ist (und zwar einfach aus der Definition des neutralen Elements).


Das neutrale Element ist ja gerade ein Objekt, was verkettet mit jeder anderen (linearen) Abbildung nichts macht. Nur weil es mit einem ganz bestimmten Element nichts macht, folgt daraus erst mal gar nichts.

Er hat schon recht, man muss schon feststellen und begründen, warum es invertierbar ist. Vor allem deshalb, weil diese Folgerung ( invertierbar) an sich nicht allgemein gültig ist, sondern nur im endlich-dimensionalen. Und erst DANN kann man argumentieren, warum das Rechtsinverse gleich dem Linksinversen sein muss.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast Recht bzw. Webfritzi hat Recht. Die Eindeutigkeit des neutralen Elements der Multiplikation in einem Ring bezieht sich nur auf das "allgemein gültige" neutrale Element - es könnte theoretisch zu speziellen Elementen immer noch "neutrale Elemente" geben, die sich halt nur auf dieses eine Element beziehen.
Hab das wohl mit einem Körper verwechselt, da beweist man ja dank Nullteilerfreiheit, dass es wirklich nur ein neutrales Element gibt - egal ob "speziell" oder "algemein".

Mein Fehler ich entschuldige mich Ups
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix
So wie ich das sehe, folgt aus auch ohne, dass invertierbar ist, dass das neutrale Element der Multiplikation ist (und zwar einfach aus der Definition des neutralen Elements).


Das neutrale Element (Einheitsmatrix) ist halt nur in der Gruppe der inversen Matrizen eindeutig. Hier ein Gegenbeispiel:

A = Einheitsmatrix und
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das habe ich schon festgestellt. In einem Ring ist das neutrale Element nur insofern eindeutig, dass es nur eines gibt, das sich zu allen anderen Elementen neutral verhält.

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