Flächen- und Umfangsbberechnung

14.07.2009, 09:22

Bolle

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Flächen- und Umfangsbberechnung

Hallo es geht um nachfolgende Aufgabe b)

Ich bin folgendermaßen vorgegangen...ich habe in der Zeichnung 6gleicseitige Dreiecke gefunden..
Lege ich diese nebeneinander erhalte ich ein Rechteck..zunächst aber habe ich h berechnet.

$\begin{eqnarray*} h=\frac{r}{2} \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Die Flläche des Rechteckes bzw. der 6 Dreiecke ist dann
$\begin{eqnarray*} A= \frac{3r²}{2} \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich die Rechtecksfläche $\begin{eqnarray*} A= \frac{3r²}{2} \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ von der Kreisfläche $\begin{eqnarray*} A= \pi \cdot r² \end{eqnarray*}$ subtrahierrt und erhalte folgendes Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} r²\cdot (\pi -3\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis lautet aber:

$\begin{eqnarray*} r²\cdot (2\pi -3\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

Nun meine Frage wo liegt der Fehler und warum ist das dann 2PI?

14.07.2009, 09:54

klarsoweit

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RE: Flächen- und Umfangsbberechnung

Zitat:

Original von Bolle
Ich bin folgendermaßen vorgegangen...ich habe in der Zeichnung 6gleicseitige Dreiecke gefunden..

Und wo sind diese? verwirrt

verwirrt

14.07.2009, 10:02

Bolle

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So ungefähr..habs jetzt auf die Schnelle nicht besser hinbekommen..und das ganze 6mal...

irgendwas muss ich dann noch mit den Kreissegmenten machen...dehslab wahrscheinlich auch das 2pi

14.07.2009, 10:24

klarsoweit

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RE: Flächen- und Umfangsbberechnung

Zitat:

Original von Bolle
Jetzt habe ich die Rechtecksfläche $\begin{eqnarray*} A= \frac{3r²}{2} \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ von der Kreisfläche $\begin{eqnarray*} A= \pi \cdot r² \end{eqnarray*}$ subtrahierrt und erhalte folgendes Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} r²\cdot (\pi -3\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

Da hast du r² falsch ausgeklammert. Am besten schreibst du mal jeden Rechenschritt auf.

14.07.2009, 10:26

Bolle

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ok also "Rechenfehler drin" aber sonst stimmt es wie ich vorgenagen bin?

14.07.2009, 10:33

Bolle

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MMMMM komme immer auf das GLEICHE? Steh glaube ich auf dem SCHLAUCH geschockt

geschockt

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14.07.2009, 10:46

knups

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Da ist mein Beitragwohl nicht angekommen.
Zeichne das regelmäßige 6-Eck
Zu jedem Dreieck gehört ein Kreissektor, dessen Bogen ein "Seite" der grauen Fläche ist. Die Fläche der halben grauen Fläche ist die Differenz aus Sektor und Dreiecksfläche.

14.07.2009, 10:47

klarsoweit

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Schreib doch erstmal hin, was du rechnest. Wie soll man dir denn sonst helfen?

Also: Kreisfläche minus 6 * Dreiecksfläche = $\begin{eqnarray*} \pi \cdot r^2 - \frac{3r^2}{2} \sqrt 3 = r^2 \cdot (... - ...) \end{eqnarray*}$

14.07.2009, 10:56

Bolle

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ja aber stimmt nach Aussage von knups eh nicht da ich die Kreissektoren nicht mit b erücksichtigt habe...

edit: ja es muss heißen 3/2 * Wurzel3

aber wie gesagt damit komme ich auch nicht auf das richtige Ergebnis...

14.07.2009, 11:18

Bolle

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@knups...

ich versteh das nicht ganz... Im Dreick habe ich dann immer noch zwei Kreissegmente ..und diese Fläche der zwei Kreissegmente muss ich von der Dreicksfläche abziehen, oder (und das Ganze 6mal)?

Und dann?
unglücklich

unglücklich

14.07.2009, 11:28

klarsoweit

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Da haben wir wohl noch ein generelles Verständnisproblem.

Also der Kreis besteht aus den 6 Dreiecken und 6 Kreissegmenten, die außerhalb der Dreiecke liegen. Jeweils 2 dieser Kreissegmente haben die Fläche eines Rosettenblattes. Wenn du die Fläche von 6 Kreissegmenten hast, dann ist das also gleich der Fläche von 3 Rosettenblätter. Insgesamt haben wir aber 6 Rosettenblätter.

Alles klar?

14.07.2009, 11:55

Bolle

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Ok, wenn ich das jetzt richtig vertsanden habe...dann ahbe ich für die 6 Kreissegmente die außerhalb liegen ein Fläche von:
$\begin{eqnarray*} A= r² \cdot (\pi -\frac{3}{2} \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

oder?

So aber ich habe innerhalb des Dreieckes aber insgesamt 12 solcher Kreissegmente, richtig?

Also deisen Ausdruck noch mal zwei $\begin{eqnarray*} A= r² \cdot (\pi -\frac{3}{2} \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

14.07.2009, 11:56

Bolle

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Zitat:

Original von Bolle
Ok, wenn ich das jetzt richtig vertsanden habe...dann ahbe ich für die 6 Kreissegmente die außerhalb liegen ein Fläche von:
$\begin{eqnarray*} A= r² \cdot (\pi -\frac{3}{2} \cdot \sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

oder?

So aber ich habe innerhalb der 6 Dreiecke insgesamt 12 solcher Kreissegmente, richtig?

Also deisen Ausdruck noch mal zwei $\begin{eqnarray*} A= r² \cdot (\pi -\frac{3}{2} \cdot \sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

14.07.2009, 11:57

klarsoweit

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Genau so ist es.

14.07.2009, 12:04

Bolle

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Ok dann komm ich aber trotzdem auf ein falsches Ergebnis??

$\begin{eqnarray*} A= 2\pi r²-\frac{6}{4}r² \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = r²\cdot (2\pi -\frac{3}{2}r² \cdot \sqrt{3} ) \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Die Lösung der Aufgabe lautet aber:

$\begin{eqnarray*} r²\cdot (2\pi -3\cdot \sqrt{3} ) \end{eqnarray*}$

14.07.2009, 12:10

knups

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Nun doch etwas ausfühtlicher:

(1) Das Dreieck hat die Fläche $\begin{eqnarray*} A_1=\frac{r^2}{4}*\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Der Kreissektor hat die Fläche $\begin{eqnarray*} A_2=\frac{pi}{6}*r^2 \end{eqnarray*}$

ein Rosettenblat hat die Fläche $\begin{eqnarray*} A_3=2*(A_2-A_1) \end{eqnarray*}$

Jetzt alles ok????

14.07.2009, 12:41

Bolle

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Danke für die Hilfe....jetzt hab ichs kapiert!!!

14.07.2009, 15:11

knups

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das freut mich, war ja eine etwas schwierige Geburt! Bis zum nächsten mal
Gruß
K.

15.07.2009, 19:41

Alex-Peter

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RE: Flächen- und Umfangsbberechnung
Noch ein Bilderl .

16.07.2009, 13:14

knups

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Nun doch noch mal ausführlicher

- sorry steht schon oben

21.07.2009, 10:50

Bolle

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wie ist es dann wenn es nur 4Rosen sind?
Hallo ich habe mir die Frage gestellt wie das dann funktioniert wenn es nur vier Rosenblätter sind?

Gruß Bolle

21.07.2009, 11:28

Alex-Peter

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RE: wie ist es dann wenn es nur 4Rosen sind?
Gewöhnlich berechnet man Kreis-Abschnitte oder Kreissektoren nach
nachstehendem Weg

Leider geht das Einfügen diesmal nicht, ich versuche es nochmal..

Kreisabschnitt = (R^2 / 2) * (Phi - sin( Phi))

Kreissektor = (R^2 /2 ) * Phi

Die Winkel müssen im Bogenmaß angegeben werden (nicht beim Sinus)
Damit spielt es keine Rolle, wie viele Einzelabschnitte man damit berechnet

21.07.2009, 11:34

Bolle

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Beim ersten waren es ja insgesamt 6 Rosenblätter also 12 Kreissegmente..

Ist es dann nicht so, dass wenn nur 4 Rosenbläter vorhanden sind es somit 8 Kreissegmente sind? Also vom Prinzip her gleich wie bei der ersten Aufgabe?

21.07.2009, 11:39

Bolle

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Der Kreissektor bei 4 Rosenblätter ist doch dann Pi/4 oder? Bei der ersten Aufgabe waren es pi/6 bei 6 Rosenblätter...ist diese Aussage korrekt?

21.07.2009, 15:06

Alex-Peter

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Deine Aussage kann man falsch verstehen.
Wenn Du einen Kreis in n Sektoren einteilst, dann ist der Winkel eines Sektors
360°/ n ; oder im Bogenmaß ausgedrückt : 2*Pi / n, das heißt das Resultat ist also die Größe für den Winkel Phi.
Die Fläche eines Kreissektors wird also berechnet A.Sekt = R^2/2 * Phi;
Will man den Kreiabschnitt, dann muss noch die Fläche des Dreiecks abgezogen werden.
Die Fläche des Dreiecks ist
A.Dreieck = (R^2 /2) * sin(Phi)
Beim Sinus kannst Du im Grad- oder im Bogenmaß rechnen, je nachdem wie Du deinen Taschenrechner eingestellt hast, sofern er beide Möglichkeiten bietet.

21.07.2009, 15:15

Bolle

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Zitat:

Original von knups
Nun doch etwas ausfühtlicher:

(1) Das Dreieck hat die Fläche $\begin{eqnarray*} A_1=\frac{r^2}{4}*\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Der Kreissektor hat die Fläche $\begin{eqnarray*} A_2=\frac{pi}{6}*r^2 \end{eqnarray*}$

ein Rosettenblat hat die Fläche $\begin{eqnarray*} A_3=2*(A_2-A_1) \end{eqnarray*}$

Jetzt alles ok????

Ok, also so wie oben kann ich das dann defintiv nicht angehen, richtig?

21.07.2009, 17:27

Alex-Peter

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Deine Berechnung zu dem Rosettenblatt

21.07.2009, 21:27

Bolle

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kann es sein dass bei 4 Rosenblätter dann :

$\begin{eqnarray*} 2r² \cdot (\pi -1\cdot \sqrt{3} ) \end{eqnarray*}$ rauskommt?

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