Bezierkurven

15.07.2009, 16:54

MirkoSc

Bezierkurven

Moin

Ich bin neu hier und kenne mich noch nicht so aus, aber ich habe das Thema hier noch nicht mit meiner Fragestellung gefunden und da dacht ich mir ich stell sie einfach Augenzwinkern

.

Also ich habe von meiner Mathe-lk-lehrerin ein Facharbeitsthema gestellt bekommen, welches Bezierkurven beinhaltet. (Design von Fahrzeugkarosserien mit Hilfe von Bezierkurven)
Leider habe ich überhaupt keine Ahnung, was das für Kurven sind. Ich habe schon gegoogelt, aber fast nur unbrauchbares gefunden. verwirrt

Ungefähr weiß ich nun, was das ist, aberentweder ist es zu schwierig oder viel zu allgemein erklährt. Literatur habe ich mir schon in der Bibliothek über Fernleihe bestellt, aber das dauert noch, bis die da ist.

Meine Frage ist, ob mir vllt jemand die Konstruktion einer Bezierkurve erklären kann oder ob jemand eine gute Internetadresse kennt, auf der dies erklärt wird.

Vielen Dank im Vorraus Freude

15.07.2009, 17:14

tigerbine

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RE: Bezierkurven
Was für Literatur hast du dir denn bestellt? Hier: [Artikel] Bernstein - Polynome und CAD hab ich ein paar Links drin, habe mich aber nicht intensiv mit dem Thema Bezierkurven beschäftigt.

Zitat:

Design von Fahrzeugkarosserien mit Hilfe von Bezierkurven

Wie willst du das Thema denn Aufbauen? Ich denke, dass Thema ist nicht "so" einfach, du solltest mit deiner Lehrerin über den Erwartungshorizont der Arbeit sprechen.

http://www.itwissen.info/definition/lexi...zier-curve.html

So CAD Programme gibt es ja im Handel, würde auch mal nach freeware suchen. So dass man das "Designen" mal zeigen kann als Einstieg. Dann an einem einfachen Beispiel die Theorie dahinter erklären.

Hier mal eine Rechenaufgabe, die ich mal gemacht hatte

Zitat:

Gegeben sei das Polynom $\begin{eqnarray*} p(x)=2-3x+3x^2+4x^3 \end{eqnarray*}$ .

Bestimmen Sie die Bezier-Darstellung fur p(x).
Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} p(\frac{2}{3}) \end{eqnarray*}$ mit dem Algorithmus von Casteljau.
Skizzieren Sie den Graphen des Polynoms sowie das Bezier-Polygons für $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ in einem Schaubild

Gegeben ist ein Polynom p in Monom-Darstellung. Nun führen wir einen Basiswechsel durch, so dass wir eine Darstellung bzgl. der Bernsteinpolynome ([Artikel] Bernstein - Polynome und CAD) erhalten. Als Vektorraum wählen wir aufgrund des Maximalgrads 3 von p den $\begin{eqnarray*} \Pi_3 \end{eqnarray*}$ . Somit lauten die Basispolynome:

$\begin{eqnarray*} B_{0,3}(x)=(1-x)^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_{1,3}(x)= 3x(1-x)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_{2,3}(x)=3x^2(1-x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_{3,3}(x)= x^3 \end{eqnarray*}$

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:

MtoB
 
Es werden Monom- in Bernstein-Koordinaten umgerechnet.
Höchstgrad ist n=3
 
Beachte: Der Datensatz hat die Form
         Monom-Koordinaten: a_0 ,...,  a_n
 
Monom-Koordinaten eingeben:   [2,-3,3,4]
 
Bernstein-Koordinaten:  2,  1,  1,  6,  
 
p_ 3(x)=      + 2 * B_0(x)     + 1 * B_1(x)     + 1 * B_2(x)     + 6 * B_3(x)

Damit lautet die Bezier-Darstellung von p:

$\begin{eqnarray*} p(x)= 2\cdot B_0(x) + 1 \cdot B_1(x) + 1\cdot B_2(x) + 6\cdot B_3(x) \end{eqnarray*}$

Mit dem Algortihmus (siehe Anhang) ergibt sich durch fortgesetzte lineare Interpolation:

$\begin{eqnarray*} b_0^0=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_1^0=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_2^0=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_3^0=6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hline \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_1^1=(1-\frac{2}{3})\cdot 2 + \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_2^1=(1-\frac{2}{3})\cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_3^1=(1-\frac{2}{3})\cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 4 =\frac{13}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hline \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_2^2=(1-\frac{2}{3})\cdot \frac{4}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{10}{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_3^2=(1-\frac{2}{3})\cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{13}{3} =\frac{29}{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hline \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_3^3=(1-\frac{2}{3})\cdot \frac{10}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{29}{9} = \frac{68}{27} =p(\frac{2}{3}) \end{eqnarray*}$

[attach]9219[/attach]

Die Ecken des Bezierpolygons berechnen sich wie folgt:

$\begin{eqnarray*} p_n=\sum_{i=0}^n~\beta_iB_{i,n},~\quad E_i = \Bigl(\frac{i}{n} / \beta_i \Bigr) \end{eqnarray*}$

Somit lauten hier die Punkte:

$\begin{eqnarray*} E_0(0/2),~E_1=(\frac{1}{3} / 1),~E_2=(\frac{2}{3} / 1),~E_3=(1 / 6) \end{eqnarray*}$

[attach]9217[/attach]

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