e-Funktion Auf- und Ableiten (grundsätzliche Anleitung)

20.09.2006, 16:32

Katzenstreu

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e-Funktion Auf- und Ableiten (grundsätzliche Anleitung)

Hallo,

es gibt schon einen ähnlichen Thread, aber ich möchte die allgemeinen Rechnenreglen für das Aufleiten (jaja, ich weiß: Integrieren) und das Ableiten der e-Funktionen sehen und verstehen.

Ich suche also eine einfach geschriebene "Anleitung".

Kann da jemand helfen?

Gruß
Tim Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.09.2006, 16:51

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} \int~e^x\mathrm dx&=&e^x+C\\\int~a\cdot e^x~\mathrm dx&=&a\cdot e^x+C\\\int~e^{a\cdot x}~\mathrm dx&=&\frac{1}{a}\cdot e^{a\cdot x}+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)&=&e^x\\f'(x)&=&e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)&=&e^{a\cdot x}\\g'(x)&=&a\cdot e^{a\cdot x} \end{eqnarray*}$

Ansonsten normale Ketten, produkt etc regel.

sonst noch was?

20.09.2006, 17:39

Katzenstreu

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$\begin{eqnarray*} f(x)&=&e^x\\f'(x)&=&e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)&=&e^{a\cdot x}\\g'(x)&=&a\cdot e^{a\cdot x} \end{eqnarray*}$

Das ist soweit ok.

Aber die "Aufleitung" verstehe ich nicht. Die Ableitung kann ich auch nicht selbstständig bilden.

Ein Beispiel. Bilde bitte Auf- und Ableitung:

0,4^x-1

$\begin{eqnarray*} 0,4x^{x-1} \end{eqnarray*}$

20.09.2006, 20:35

Lazarus

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Sicher dass du $\begin{eqnarray*} 0.4\cdot x^{x-1} \end{eqnarray*}$ meinst?
Und selbst wenn, hierbei handelt es sich um einen Term und nicht im eine Funktion. Somit ist weder Stammfunktion noch Ableitung zu finden!

20.09.2006, 20:55

Katzenstreu

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Sorry, ich meinte:

f(x)=0,4^(x-1)

Davon bitte Ab- und Aufleitung

20.09.2006, 22:12

mYthos

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Um eine allgemeine Basis in eine e-Basis überzuführen, verwende

$\begin{eqnarray*} a = e^{ln(a)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^x = (e^{ln(a)})^x = e^{x \cdot ln(a)} \end{eqnarray*}$

Die Ableitung erfolgt dann mittels der Kettenregel, das Integral durch Substitution.

mY+

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21.09.2006, 19:42

Katzenstreu

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Wisst ihr auch wie man aus zwei gegebenen Punkten eine e-Funktion erstellen kann?

Gruß
Tim

21.09.2006, 19:46

system-agent

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einsetzen

Big Laugh

du hast die gleichung
$\begin{eqnarray*} f(x)=a\cdot\exp(x)+b \end{eqnarray*}$
und zwei punkte, das sollte funktionieren...

21.09.2006, 20:43

Katzenstreu

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Zitat:

Original von system-agent
einsetzen Big Laugh

Big Laugh

du hast die gleichung
$\begin{eqnarray*} f(x)=a\cdot\exp(x)+b \end{eqnarray*}$
und zwei punkte, das sollte funktionieren...

Wo soll ich was einsetzen? Ein Beispiel:

P1(1|2)
P2(3|4)

21.09.2006, 20:46

Lazarus

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Jeder Punkt euiner Funktion hat die Sturktur P(x|f(x))

Und nun setzt du für x das x ein und für f(x) das f(x)

07.10.2006, 10:38

Katzenstreu

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Hallo,

die Mathearbeit ist geschrieben. Es kam, trotz meines guten Gefühls, nur eine glatte 4 raus unglücklich

unglücklich

.
Dier ersten 8 von 10 Punkten habe ich in Aufgabe 1 verschenkt:

(4 Punkte):
f(x)=e^(-x)+x
f'(x)=?
F(x)=?

(4 Punkte):
f(x)=8*0,5^(x+2)
f'(x)=?
F(x)=?

(2 Punkte):
Warum besitzt die zweite Funktion keinen Hochpunkt/Tiefpunkt?

Ich möchte die Arbeit 100%ig richtig korrigieren, da der Lehrer auch mehr von mir erwartet hat und mir so eine Chance geben möchte meine Note aufzubessern.

Könnt ihr mir helfen?

Grüße
Tim

Edit 1:
In der zweiten Teilaufgabe wollte er einen Basiswechsel zur Basis e sehen.

07.10.2006, 10:46

Lazarus

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Bei der ersten 4 Punkte aufgabe kann ich die leider nicht helfen, da ich ned weiss was die Aufgabe ist.
einfach f' und F bestimmen ?

Und was hast du da rausgebracht? Einfach Summen und kettenregel anwenden.

bei der Zweiten Aufgabe beachte bitten den obigen Beitrag von Mythos.

$\begin{eqnarray*} a^x=e^{x\cdot \ln{a}} \end{eqnarray*}$

danach wieder Kettenregel und zum integrieren Lineare Substitution.

Für die Dritte Aufgabe:
Ach komm.. wie bestimmst du denn die Extrema einer Funktion ?
Du setzt die Ableitung gleich 0.

Denn es gilt ja: Bei jedem Extrema [*] wird die Ableitung null, allerdings gilt die Umkehrung nicht, denn nicht jede Nullstelle der Ableitung liefert ein Extrema.

Wenn jetzt aber rauskommt das die Ableitung nie 0 wird, folgt kanonisch dass es keine Extrema geben kann!

[*]: ausser Randextrema bei nichtstetigen oder nur Abschnittsfunktionen

Servus

07.10.2006, 11:17

Katzenstreu

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Durch Lazarus ist die erste Teilaufgabe geschafft.

Nun stecke ich hier:

$\begin{eqnarray*} f(x)=8*0,5^{x+2}= 8*e^{(x+2)*ln(0,5)} \end{eqnarray*}$
f'(x) = 8...
F(x) =

07.10.2006, 11:22

pseudo-nym

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$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}e^x=e^x \end{eqnarray*}$ hatten wir schon, jetzt noch den Exponenten diffenrenzieren. (s. Lazarus' Beitrag weiter eins weiter unten)

07.10.2006, 11:24

Lazarus

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Pseudo: schreibs lieber so:
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} e^{u(x)}=e^{u(x)} \cdot \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}u(x) \end{eqnarray*}$

dadurch wird die Kettenregel deutlicher Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.10.2006, 11:27

Katzenstreu

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Zitat:

Original von pseudo-nym
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}e^x=e^x \end{eqnarray*}$ hatten wir schon, jetzt noch den Exponenten diffenrenzieren.

Warum kann ich den ndamit nichts anfangen? Woher stammt denn nun d bzw. dx?

Aber auch mit der Schreibwese von dir, Lazarus, kann ich irgendwie nichts anfangen.

07.10.2006, 11:27

pseudo-nym

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@lazarus:

Gott

Hast ja recht. Verweis auf deinen Beitrag eingeführt. smile

smile

@ Katzenstreu: $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$ ist einfach nur die sog. Leibnitzsche Schreibweise für die erste Ableitung was ich meinte war:
$\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^x \end{eqnarray*}$

07.10.2006, 11:36

Katzenstreu

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Ich habe Derive 6 jetzt differenzieren und vereinfachen lassen:

http://img244.imageshack.us/img244/83/unbenanntfh2.png

Aber ich verstehe es trotzdem nicht. unglücklich

unglücklich

Edit: Bild geändert!

07.10.2006, 11:45

pseudo-nym

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also, da sich $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ beim differenzieren nicht ändert, schreib erst den ganzen e-Ausdruck hin. Dann multiplizierst du ihn mit der Ableitung es Exponenten( $\begin{eqnarray*} (x+2)ln(0,5) \end{eqnarray*}$ )

07.10.2006, 11:51

Katzenstreu

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Ich habe jetzt also $\begin{eqnarray*} f'(x)=8*e^{x+2} \end{eqnarray*}$ geschreiben. Und nun soll ich $\begin{eqnarray*} e^{x+2} \end{eqnarray*}$ mit der Ableitung multiplizieren. Aber mit welcher? Die versuche ich doch grade zu erstellen?

07.10.2006, 11:55

pseudo-nym

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fast. Der anfang muss heißen

$\begin{eqnarray*} f'(x)=8e^{(x+2)ln0,5}... \end{eqnarray*}$

und jetzt leite mal $\begin{eqnarray*} (x+2)ln0,5 \end{eqnarray*}$ ab und schreib es als Faktor dahinter

07.10.2006, 12:02

Katzenstreu

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Ich soll also $\begin{eqnarray*} (x+2)*ln(0,5) \end{eqnarray*}$ ableiten.

Aus $\begin{eqnarray*} x^1 \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} x^0=1 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ fällt weg.
Aus $\begin{eqnarray*} ln(0,5) \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} ln(0) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} ERROR \end{eqnarray*}$

Also ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} (x+2)*ln(0,5) \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ?!

07.10.2006, 12:07

pseudo-nym

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$\begin{eqnarray*} ln(0,5) \end{eqnarray*}$ ist eine konstanter Faktor (ungefähr -0,69) und bleibt unverändert.

d.h.: $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}(x+2)ln(0,5)=ln(0,5) \end{eqnarray*}$

also ist unser Ergebnis: $\begin{eqnarray*} f'(x)=8ln(0,5)e^{(x+2)ln(0,5)} \end{eqnarray*}$

07.10.2006, 12:10

Katzenstreu

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Somit ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} (x+2)*ln(0,5) \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} ln(0,5) \end{eqnarray*}$ ?!

Ich schaue kein bisschen mehr durch, warum wir den Exponenten ableiten.

07.10.2006, 12:14

pseudo-nym

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Stichwort Kettenregel. Bei einer Funktion in einer Funktion ist erst die äußere, dann die innere Funktion abzuleiten.

07.10.2006, 12:20

Katzenstreu

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Ist die Aufleitung auch so kompliziert?

Wenn ja, dann werde ich wohl eine Zusammenfassung aller benötigten Regeln vom Lehrer erhalten müssen unglücklich

unglücklich

.

08.11.2006, 18:24

schülerin

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differentialgleichungen
Hilfe!!!ich muss diese aufagbe lösen:

$\begin{eqnarray*} y(t)=150/(1+74e^-0,3t) \end{eqnarray*}$

zeige:die geschwindigkeit mit der der arbeiter lernt ist für t=14,3 am größten.

ich muss doch zuerst ableiten? und dann extremwertausrechnen? wie ist die ableitung?

08.11.2006, 18:27

pseudo-nym

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Mach bitte ein neues Thema für eine neue Frage auf.

Zitat:

ich muss doch zuerst ableiten? und dann extremwertausrechnen?

ja

Für die Ableitung musst du die Quotientenregel anwenden.

08.11.2006, 18:32

schülerin

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ist die ableitung dann:

-150(-22,2e^-0,3t) ??

dann muss ich die ableitung doch =0 setzten??

weil wenn das stimmt dann ist t=27,... und nicht 14,3 wie es sein sollte..
was ist da falsch dran?

05.09.2008, 19:06

mathe2008

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e-funktionen
Hallo Mythos,
ich les jetzt hier schon eine Weile mit, um das Ableiten und Aufleiten von e-funktionen zu verstehen! Ich schreibe montag eine Klausur und ich kanns es einfach nicht...Kannst du es mir vielleicht noch mal erklären...So einfach wie möglich!! Vielen Dank schon mal!!
Liebe Grüße Sarah :-)

05.09.2008, 20:10

mYthos

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sh. PN

mY+

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