Positiv definit aber nicht symmetrisch

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Positiv definit aber nicht symmetrisch
Hallo zusammen,

vielleicht kann meine Frage schon mit einem einfachen Link oder Beispiel erschlagen werden. Imho ging dem Begriffen "positiv definit & co" immer der Satz: "Eine symmetrische Matrix nennt man .." voraus. Nun habe ich aber in einem Buch gelesen:

Sei eine positiv definite (nicht notwendiger Weise symmetrische) Matrix. Mmh, hat da jemand ein Beispiel parat?

Danke Wink
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Für manche schließt "positiv definit" die Eigenschaft "symmetrisch" mit ein. Für andere nicht. Schau auf wiki. Da ist es nicht so.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also Definitionssache. Schade. Über eine pos. def nicht symmetrische Matrix würde ich mich freuen. Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Denk doch selber mal ein bisschen nach. Wenn du die Definition kennst, ist es denkbar einfach.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Denke ja nach (nur gerade über andere Dinge). Definition ist doch:



A muss also regulär sein. 1x1 kann es nicht sein. Also versuche ich es mit 2x2



Dann muss gelten . Also wähle ich . Weiter nur positive Diagonalelemente. Wäre dann also



eine solche Matrix? Das mit den Eigenwerten gilt nun aber nicht mehr. Die müssen ja nicht mal mehr reell sein.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ein richtiges Beispiel. Das hättest du aber auch einfacher haben können. Auf Wikipedia steht doch, dass A genau dann p.d. ist, wenn die symmetrische Matrix positiv definit ist.
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Merci beaucoup!
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

tigerbine wird vergesslich Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das hohe Alter bekommt mir wohl nicht. Augenzwinkern Vielleicht bleibt es nun haften.
AndiSchw Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig ist relativ:
Falls positive Definitheit von der Matrix A für alle reellen Zahlen x ungleich Null mit xAx>0 gelten soll, dann gilt:
Aus A ist symmetrisch folgt nicht, dass A positiv definit ist.
Aus A ist positiv definit folgt nicht, dass A symmetrisch ist.

Falls positive Definitheit von der Matrix A für alle komplexen Zahlen Zahlen x ungleich Null mit xAx>0 gelten soll, dann gilt:
Aus A ist hermitesch folgt nicht , dass A positiv definit ist.
Aus A ist positiv definit folgt , dass A hermitesch ist.

Aber Achtung. Es gibt unterschiedliche Definition von positiver Definitheit. Manchmal ist die positive Definitheit nur für symmetrische und hermitesche Matrizen definiert. In diesen alternativen Fall gilt: Aus A ist positiv definit folgt, dass A symmetrisch ist.
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