Banachräume [Funktionalanalysis]

18.07.2009, 14:56

BanachraumK_5

Banachräume [Funktionalanalysis]

Hallo ich arbeite gerade den Dirk Werner "Funktionalanalysis" durch und da ist eine Folgerung die ich nicht verstehe. (vgl. S6 ff. Dirk Werner "Funktionalanalysis")

Ich möchte den Raum $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ , also den Vektorraum der stetig diffbaren Funktionen auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ , bzgl. der Sup. Norm untersuchen.

Die Supremumsnorm lautet $\begin{eqnarray*} \parallel x \parallel := \sup_{t \in T}\ |x(t)| \end{eqnarray*}$

Wir wollen nun untersuchen ob unser Raum $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ ein Banachraum ist (ist er nicht!).

Beispielsweise konvergiert die folge auf $\begin{eqnarray*} C^1[-1,1] \end{eqnarray*}$ definiert durch

$\begin{eqnarray*} x_n(t) := \sqrt{t^2 + (1/n)} \end{eqnarray*}$ nicht gegen eine differenzierbare Funktion (gem. Buch).

Mir ist die Folgerung klar, dass wir dann keinen Banach Raum haben, wenn die Grenzfunktion selber nicht mehr diffbar. ist, weil ich dann ja nicht mehr im selben Unterraum der differenzierbaren Funktion bin.

Wenn ich nun den Grenzwert berechne ist das doch

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}x_n(t) = \sqrt{t^2} = t \end{eqnarray*}$

diese Funktion ist doch aber diffbar?? Was habe ich falsch gemacht oder muss ich noch Rückschlüsse bzgl. der Supremumsnorm machen??

Kann ich eigentlich auch den Limes vor die entsprechende Norm schreiben, also

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \parallel x_n(t) \parallel = \sup_{t \in T} |t| \end{eqnarray*}$

oder ist das falsch?

18.07.2009, 15:17

Mathespezialschüler

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Hallo!
Es ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}x_n(t)=|t| \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von BanachraumK_5
Kann ich eigentlich auch den Limes vor die entsprechende Norm schreiben, also

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \parallel x_n(t) \parallel = \sup_{t \in T} |t| \end{eqnarray*}$

oder ist das falsch?

Was meinst du damit? Sicher kann man das machen, aber welchen Zweck du dabei verfolgst, sehe ich nicht. Zur Bestimmung einer Grenzfunktion ist dies sicherlich nicht hilfreich.

18.07.2009, 15:26

BanachraumK_5

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Wieso ist den $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}x_n(t) = |t| \end{eqnarray*}$ , das sehe ich gerade nicht.

Nach meiner Rechnung gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt{t^2} = t \end{eqnarray*}$ ?? und (1/n) is ja eh null..

Woher kommt denn der Betrag?

Das die Betragsfunktion nicht diffbar. ist gut, dann gehört sie zwar zu den stetigen aber nicht zu den Diffbaren Funktionen.

18.07.2009, 15:44

Sly

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Zitat:

Original von BanachraumK_5
Wieso ist den $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}x_n(t) = |t| \end{eqnarray*}$ , das sehe ich gerade nicht.

Nach meiner Rechnung gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt{t^2} = t \end{eqnarray*}$ ?? und (1/n) is ja eh null.

Das ist elementarste Schulmathematik. Wie ist denn die Quadratwurzel einer positiven reellen Zahl definiert?

18.07.2009, 17:50

WebFritzi

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Zitat:

Original von BanachraumK_5
Nach meiner Rechnung gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt{t^2} = t \end{eqnarray*}$

Dann solltest du mal t = -1 in deine Gleichung einsetzen.

19.07.2009, 13:31

BanachraumK_5

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Schon klar das das dann auch eins gibt.

Aber das ist mir irgendwie neu, denn $\begin{eqnarray*} x^{2/2} = x^1 = x \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} |x| \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} x^{2/3} \end{eqnarray*}$ ist dann ja die 3 Wurzel aus x^2. Muss ich dann auch den Betrag nehmen??

Also eigtl. so dacht ich zumindestens ist es eine gängige Methode in Gleichungen der Form $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^4} = 3 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ .

Immerhin nimmt man ja beispielsweise bei der PQ Formel am Ende eine positive sowie die negative Wurzel, also ein $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$

Eigentlich wollte ich Funktionalanalysis machen, jetzt bin ich gerade sehr verwirrt.

19.07.2009, 13:34

BanachraumK_5

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Nach eurer These würde dann ja folgen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^4} = |x^2| \end{eqnarray*}$ denn immerhin ist ja $\begin{eqnarray*} (x^2)(x^2) = x^4 \end{eqnarray*}$

19.07.2009, 16:10

Sly

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Und wo ist bitte das Problem?

19.07.2009, 16:59

Mathewolf

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Zitat:

Original von BanachraumK_5
Nach eurer These würde dann ja folgen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^4} = |x^2| \end{eqnarray*}$ denn immerhin ist ja $\begin{eqnarray*} (x^2)(x^2) = x^4 \end{eqnarray*}$

Japp ... und $\begin{eqnarray*} |x^2|=x^2 \end{eqnarray*}$ .

Schau dir doch einfach mal die Definitions- und Wertebereiche der Funktionen an.

Für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} x^{2n}:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R_+ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2n+1}:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[2n]x:\mathbb R_+\longrightarrow\mathbb R_+ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[2n+1]x:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$

20.07.2009, 00:23

WebFritzi

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Zitat:

Original von BanachraumK_5
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^4} = 3 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ .

Das ist falsch. Es gilt (wie du wissen solltest)

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^4} = 3 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \sqrt{3}\;\text{ oder }\;x = -\sqrt 3. \end{eqnarray*}$

21.07.2009, 15:23

BanachraumK_5

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Die Sache ist, dass bei der Definition der Funktionen:

$\begin{eqnarray*} x^{2n}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R_+} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2n+1}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

und deren Umkehrabbildung, alles klar ist. geschockt

Jetzt aber nochmal zum eigentlichen Thema, nämlich Banachräume:

Lemmas:
a) $\begin{eqnarray*} \text{Ist X ein Banachraum und U ein abgeschlossener Untervektorraum von X} \Rightarrow \text{U ist vollständig} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \text{Ist X ein normierter Raum und U vollständiger Untervektorraum von X}\Rightarrow \text{U ist abgeschlossen} \end{eqnarray*}$

Man kann also jeweils bei einem abgeschlossenen oder vollständigen Unteraum $\begin{eqnarray*} U \subset X \end{eqnarray*}$ prüfen ob wir einen vollständigen oder abgeschlossenen Unterraum haben.

Ich habe da leider wieder ein Verständnisproblem.

Sei $\begin{eqnarray*} C^{1}[-1,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n(t) = \sqrt{t^2 + (1/n) } \end{eqnarray*}$

Es folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\Vert x_n(t) - x(t) \Vert_{\infty} =\lim_{n \to \infty}\ \Vert \sqrt{t^2 + (1/n)} - |t|\ \Vert_{\infty} = \lim_{n \to \infty}\ \Vert |t| \sqrt{1+\frac{1}{nt^2} } - |t|\ \Vert_{\infty}\ \end{eqnarray*}$

mit der Abschätzung $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+ \frac{1}{nt^2}} \le \sqrt{1+ \frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ folgt dann:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\ \Vert |t| \sqrt{1+\frac{1}{nt^2} } - |t|\ \Vert_{\infty} \le \lim_{n \to \infty}\ \Vert |t| (\sqrt{1+\frac{1}{n} } - 1)\ \Vert_{\infty} \Longleftrightarrow \lim_{n \to \infty}\ | (\sqrt{1+\frac{1}{n} } - 1)|\ \Vert t \Vert_{\infty} = (\sqrt{1+0}-1)1\ = 0 \end{eqnarray*}$

Somit konvergiert die Funktion $\begin{eqnarray*} x_n(t) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen x(t) als Grenzfunktion.
$\begin{eqnarray*} C^1[-1,1] \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} C^[a,b] \end{eqnarray*}$ ist daher nicht abgeschlossen, also kann $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ kein Banachraum bzgl. $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert_{\infty} \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe das stimmt soweit.

Betrachte nun die Normen:

$\begin{eqnarray*} \Vert x \Vert := max\lbrace\Vert x \Vert_{\infty}, \Vert x' \Vert_{\infty}\rbrace \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \Vert x \Vert^* := \Vert x \Vert_{\infty} + \Vert x' \Vert \end{eqnarray*}$

Wieso ist denn jetzt bitteschön $\begin{eqnarray*} (C^1[a,b], \Vert \cdot \Vert) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (C^1[a,b], \Vert \cdot \Vert^*) \end{eqnarray*}$ ein Banachraum wenn $\begin{eqnarray*} (C^1[a,b], \Vert \cdot \Vert_{\infty} \end{eqnarray*}$ kein Banachraum ist??

Die Funktion $\begin{eqnarray*} x_n(t) \end{eqnarray*}$ kann ich bezüglich der Normen $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert , \Vert \cdot \Vert^* \end{eqnarray*}$ doch auch gegen eine nicht differenzierbare Funktion streben lassen, deren Grenzwert nicht mehr in $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ liegt??

Ich verstehe nicht ganz den Unterschied zwischen diesen 3 Fällen, wo doch das Beispiel zu allen drei passt??

21.07.2009, 15:51

BanachraumK_5

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Die Norm lautet richtig:
$\begin{eqnarray*} \Vert x \Vert^* := \Vert x \Vert_{\infty} + \Vert x' \Vert_{\infty} \end{eqnarray*}$

Statt $\begin{eqnarray*} C[a,b] \end{eqnarray*}$ meinte ich natürlich $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$

21.07.2009, 16:11

WebFritzi

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Zitat:

Original von BanachraumK_5
Sei $\begin{eqnarray*} C^{1}[-1,1] \end{eqnarray*}$

Das ist eine Unsinnsformulierung. Du sagst ja auch nicht: "Es sei 5".

Zitat:

Original von BanachraumK_5
Es folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\Vert x_n(t) - x(t) \Vert_{\infty} =\lim_{n \to \infty}\ \Vert \sqrt{t^2 + (1/n)} - |t|\ \Vert_{\infty} = \lim_{n \to \infty}\ \Vert |t| \sqrt{1+\frac{1}{nt^2} } - |t|\ \Vert_{\infty}\ \end{eqnarray*}$

mit der Abschätzung $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+ \frac{1}{nt^2}} \le \sqrt{1+ \frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ folgt dann:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\ \Vert |t| \sqrt{1+\frac{1}{nt^2} } - |t|\ \Vert_{\infty} \le \lim_{n \to \infty}\ \Vert |t| (\sqrt{1+\frac{1}{n} } - 1)\ \Vert_{\infty} \Longleftrightarrow \lim_{n \to \infty}\ | (\sqrt{1+\frac{1}{n} } - 1)|\ \Vert t \Vert_{\infty} = (\sqrt{1+0}-1)1\ = 0 \end{eqnarray*}$

Da sind viele Fehler drin. Also erstmal darfst du das t nicht mit in die Supremumsnorm schleppen. Das hat da nichts zu suchen. In die Supremumsnorm darfst du nur Funktionen schreiben, und f(t) z.B. ist keine Funktion, sondern ein Funktionswert. Aber ok, man versteht, was du meinst. Nun der nächste Fehler. Die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+ \frac{1}{nt^2}} \le \sqrt{1+ \frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

stimmt nicht. Setze doch mal t = 1/2 ein. Tatsächlich gilt die Umkehrung, aber die Umkehrung wollen wir hier nicht, denn wir wollen ja nach oben abschätzen. Was man machen kann, ist folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{t^2 + \frac 1 n} - \sqrt{t^2} = \frac{\frac 1 n}{\sqrt{t^2 + \frac 1 n} + \sqrt{t^2}} = \frac 1 {n\left(\sqrt{t^2 + \frac 1 n} + \sqrt{t^2}\right)}. \end{eqnarray*}$

Nun gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt{t^2 + \frac 1 n} + \sqrt{t^2}\ge \frac 1 {\sqrt n}, \end{eqnarray*}$ und es folgt

$\begin{eqnarray*} \sqrt{t^2 + \frac 1 n} - \sqrt{t^2} \le \frac 1 {n\frac 1 {\sqrt n}} = \frac 1 {\sqrt n}. \end{eqnarray*}$

Das impliziert nun die gleichmäßige Konvergenz, da letzteres unabhängig von t gegen Null geht.

Zitat:

Original von BanachraumK_5
Somit konvergiert die Funktion $\begin{eqnarray*} x_n(t) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen x(t) als Grenzfunktion.
$\begin{eqnarray*} C^1[-1,1] \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} C^[a,b] \end{eqnarray*}$ ist daher nicht abgeschlossen, also kann $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ kein Banachraum bzgl. $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert_{\infty} \end{eqnarray*}$ .

Das kann ich nicht nachvollziehen.

21.07.2009, 16:25

Sly

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Also zunächst mal: Diese beiden neuen Normen sind äquivalent.

Jedoch sind diese nicht äquivalent zur Supremumsnorm.

Und $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ konvergiert bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|^* \end{eqnarray*}$ auch nicht mehr gegen die Betragsfunktion: Es ist nämlich

$\begin{eqnarray*} \|x_n-x_m\|^* \geq \|x_n'-x_m'\|_\infty \end{eqnarray*}$

Ich bin jetzt zu faul es nachzurechnen, aber man sollte mit einer Rechnung sehen können, dass der rechte Ausdruck keine Cauchy-Folge bildet.

Dies alles deckt sich auch mit einem Satz aus Analysis I (oder vll. auch II)

Gleichmäßige Konvergenz (also bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_\infty \end{eqnarray*}$ ) erhält Stetigkeit, jedoch im Allgemeinen nicht die Differenzierbarkeit. Das ist auch der Grund, warum das erste Beispiel Sinn machte.

Jedoch gilt der zweite Vertauschungssatz: Konvergiert eine Funktionenfolge von differenzierbaren Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n\to f \end{eqnarray*}$ gleichmäßig, und konvergiert $\begin{eqnarray*} f_n'\to g \end{eqnarray*}$ gleichmäßig, so ist $\begin{eqnarray*} f'=g \end{eqnarray*}$ .

Und genau das macht die neue Norm aus: Wenn eine Funktionenfolge in $\begin{eqnarray*} C^1[-1,1] \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ konvergiert, so heißt das gerade, dass sowohl die Funktion selbst, als auch die Ableitungen gleichmäßig konvergieren. Obiger Satz sagt gerade aus, dass dieser Raum also bzgl. dieser Norm vollständig ist.

/edit: Zu obiger Rechnung: Man rechnet leicht nach $\begin{eqnarray*} x_n'(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2+\frac{1}{n}}} \end{eqnarray*}$ . Diese Funktion konvergiert nicht mal punktweise (siehe t=0), erst recht also nicht gleichmäßig!

/nochmals edit: Entschuldigt die dauernde Editiererei...ich hab offenbar nen Gehirnknoten Augenzwinkern

Also...ich meinte die Folge konvergiert gegen eine Treppenfunktion. D.h. gegen etwas nicht-Stetiges, somit kann keine gleichmäßige Konvergenz vorliegen, da die $\begin{eqnarray*} x_n' \end{eqnarray*}$ alle stetig sind.

21.07.2009, 16:41

WebFritzi

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Zitat:

Original von BanachraumK_5
Die Funktion $\begin{eqnarray*} x_n(t) \end{eqnarray*}$ kann ich bezüglich der Normen $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert , \Vert \cdot \Vert^* \end{eqnarray*}$ doch auch gegen eine nicht differenzierbare Funktion streben lassen, deren Grenzwert nicht mehr in $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ liegt??

Nein, das kannst du nicht. Erstens mal ist $\begin{eqnarray*} x_n(t) \end{eqnarray*}$ wie gesagt keine Funktion. Was du meinst ist $\begin{eqnarray*} x_n. \end{eqnarray*}$ Es gibt nun den folgenden Satz aus der Analysis (schwammige Version):

Strebt die Folge $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ stetig diffbarer Funktionen punktweise gegen f und $\begin{eqnarray*} (f_n') \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen g, dann ist f stetig diffbar, und es gilt f' = g.

Zitat:

Original von Sly
Jedoch gilt der zweite Vertauschungssatz: Konvergiert eine Funktionenfolge von differenzierbaren Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n\to f \end{eqnarray*}$ gleichmäßig, und konvergiert $\begin{eqnarray*} f_n'\to g \end{eqnarray*}$ gleichmäßig, so ist $\begin{eqnarray*} f'=g \end{eqnarray*}$ .

Diesen Satz kenne ich nicht. Wie beweist du ihn?

21.07.2009, 17:11

Sly

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Zitat:

Original von webfritzi

Zitat:

Diesen Satz kenne ich nicht. Wie beweist du ihn?

Aus dem Stegreif kann ich es nicht...

Ich hab mal frei hieraus zitiert.

Okay...nachdem ich diese Zeilen geschrieben habe, habe ich mal in ein Ana-script geschaut; in dem Beweis wird auch "stetig differenzierbar" vorausgesetzt, und wird im Beweis auch verwendet.
Jedenfalls kommt man hier sicherlich genau damit aus...möglicherweise eine falsche Aussage in Wikipedia?

21.07.2009, 17:32

WebFritzi

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Ich habs mal geändert. Augenzwinkern

21.07.2009, 19:14

Mathespezialschüler

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Es gilt sogar:

Sei $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge von auf einem kompakten Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ differenzierbaren Funktionen. Konvergiert für ein $\begin{eqnarray*} x_0\in [a,b] \end{eqnarray*}$ die Folge $\begin{eqnarray*} (f_n(x_0))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ und konvergiert die "abgeleitete Folge" $\begin{eqnarray*} \left(f_n'\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ gleichmäßig, so konvergiert sogar $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen eine differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'=\lim_{n\to\infty}f_n' \end{eqnarray*}$ .

21.07.2009, 20:05

WebFritzi

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Ich sehe die Richtigkeit deiner Behauptung für Folgen stetig diffbarer Funktionen. Kannst du eine Quelle oder einen Beweis für deine allgemeinere Behauptung angeben?

21.07.2009, 20:16

Mathespezialschüler

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Heuser, Harro: Lehrbuch der Analysis, Teil 1 (Satz 104.3).

edit: Beweis läuft so:

Zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} m,n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ stets

$\begin{eqnarray*} |f_m(x_0)-f_n(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2},\qquad \left\|f_m'-f_n'\right\|_{\infty}<\frac{\varepsilon}{2(b-a)} \end{eqnarray*}$

erfüllt ist. Daraus folgt zunächst mit dem Mittelwertsatz, dass für $\begin{eqnarray*} x\in [a,b] \end{eqnarray*}$ beliebig und $\begin{eqnarray*} m,n\geq n_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |f_m(x)-f_n(x)|\leq |(f_m-f_n)(x)-(f_m-f_n)(x_0)|+|f_m(x_0)-f_n(x_0)|\leq \left\|f_m'-f_n'\right\|_{\infty}\cdot |x-x_0|+\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon \end{eqnarray*}$

gilt. Also konvergiert $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} \xi\in [a,b] \end{eqnarray*}$ beliebig. Aus dem Mittelwertsatz folgt außerdem für $\begin{eqnarray*} x\in X:=[a,b]\setminus\{\xi\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m,n\geq n_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{f_m(x)-f_m(\xi)}{x-\xi}-\frac{f_n(x)-f_n(\xi)}{x-\xi}\right|=\left|\frac{(f_m-f_n)(x)-(f_m-f_n)(\xi)}{x-\xi}\right|\leq \left\|f_m'-f_n'\right\|_{\infty}<\frac{\varepsilon}{2(b-a)} \end{eqnarray*}$ ,

also konvergiert $\begin{eqnarray*} \left(\frac{f_n(x)-f_n(\xi)}{x-\xi}\right) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , und zwar natürlich gegen $\begin{eqnarray*} \frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi} \end{eqnarray*}$ . Damit folgt aber laut Vertauschungssätzen

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\xi}\frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}=\lim_{x\to\xi}\lim_{n\to\infty}\frac{f_n(x)-f_n(\xi)}{x-\xi}=\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to\xi}\frac{f_n(x)-f_n(\xi)}{x-\xi}=\lim_{n\to\infty}f_n'(\xi) \end{eqnarray*}$

und dies zeigt die Behauptung.

21.07.2009, 21:04

WebFritzi

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Danke. Siehe Google-Books, Seite 552. Leider fehlt Seite 553. Ich führe den Beweis hier mal zu Ende. Nun ist es ja nicht mehr schwer.

Setze $\begin{eqnarray*} g := \lim_{n\to\infty}\,f_n'(\xi). \end{eqnarray*}$ Wir wollen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f'(\xi) = g \end{eqnarray*}$ gilt. Sei dazu $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gegeben. Wähle nun ein festes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N, \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} |F(x) - F_n(x)| < \varepsilon/3 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in X. \end{eqnarray*}$ Wir dürfen n weiterhin so wählen, dass $\begin{eqnarray*} |f_n'(\xi) - g| < \varepsilon/3 \end{eqnarray*}$ gilt. Es gibt nun eine Umgebung U von $\begin{eqnarray*} \xi, \end{eqnarray*}$ so dass

$\begin{eqnarray*} |F_n(x) - f_n'(\xi)| < \varepsilon/3\quad\text{ für alle }\,x\in U\setminus\{\xi\} \end{eqnarray*}$

gilt. Somit folgt für alle $\begin{eqnarray*} x\in U\setminus\{\xi\}: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{f(x) - f(\xi)}{x - \xi} - g\right| \le |F(x) - F_n(x)| + |F_n(x) - f_n'(\xi)| + |f_n'(\xi) - g| < \varepsilon, \end{eqnarray*}$

womit die Behauptung gezeigt wäre.

EDIT: Oh, ok. Ich habe damit wohl deinen angewendeten Vertauschungssatz nochmal bewiesen. Augenzwinkern

EDIT2: Hab's auf Wikipedia nochmal geändert.

22.07.2009, 12:33

BanachraumK_5

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Zitat:

Das kann ich nicht nachvollziehen.

Also ich wollte an der Stelle nur noch mal zusammenfassend sagen, dass $\begin{eqnarray*} (C^1[a,b]\ \Vert \cdot \Vert_\infty) \end{eqnarray*}$ kein Banachraum ist. Dies folgt nämlich aus der Tatsache dass unsere Folge $\begin{eqnarray*} x_n(t) \end{eqnarray*}$ gegen einen Grenzwert strebt der nicht in $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ liegt. Da unser Vektorraum nicht abgeschlossen ist kann er kein Banachraum sein.

Zitat:

Was man machen kann, ist folgendes: $\begin{eqnarray*} \sqrt{t^2 + \frac 1 n} - \sqrt{t^2} = \frac{\frac 1 n}{\sqrt{t^2 + \frac 1 n} + \sqrt{t^2}} = \frac 1 {n\left(\sqrt{t^2 + \frac 1 n} + \sqrt{t^2}\right)}. \end{eqnarray*}$ Nun gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt{t^2 + \frac 1 n} + \sqrt{t^2}\ge \frac 1 {\sqrt n}, \end{eqnarray*}$ und es folgt $\begin{eqnarray*} \sqrt{t^2 + \frac 1 n} - \sqrt{t^2} \le \frac 1 {n\frac 1 {\sqrt n}} = \frac 1 {\sqrt n}. \end{eqnarray*}$

Bevor ich bei deiner Rechnung ins Detail gehe, $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf einem normierten Raum falls

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0\ \exists N(\varepsilon)\ \in \mathbb{N}\ \forall n\ge N(\varepsilon)\ \Vert x_n - x \Vert < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Man sieht doch in der Definition, das man immer die Folge in die entsprechende Norm "reinwirft".
Bei deiner Rechnung oben sehe ich nirgendswo, dass du das machst. Es ist doch entscheidend Konvergenz bzgl. der jeweiligen Norm zu zeigen??!!

Zitat:

ist folgendes: $\begin{eqnarray*} \sqrt{t^2 + \frac 1 n} - \sqrt{t^2} = \frac{\frac 1 n}{\sqrt{t^2 + \frac 1 n} + \sqrt{t^2}} = \frac 1 {n\left(\sqrt{t^2 + \frac 1 n} + \sqrt{t^2}\right)}. \end{eqnarray*}$

Sry aber hier sehe ich nicht wie du von Schritt 1 auf Schritt 2 kommst. Woher komm denn auf einmal das +??

Zitat:

Also zunächst mal: Diese beiden neuen Normen sind äquivalent.

Ja. Wegen $\begin{eqnarray*} \Vert x \Vert \le \Vert x \Vert^* \le 2\Vert x \Vert \end{eqnarray*}$

Aus der Ungleichung sieht man das die Cauchy Folgen auf beiden Räumen konvergieren.

Zitat:

Es ist nämlich $\begin{eqnarray*} \|x_n-x_m\|^* \geq \|x_n'-x_m'\|_\infty \end{eqnarray*}$

Wieso willst du das zeigen, wir haben doch schon den Grenzwert und wissen, dass $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen, bzgl. der Betragsfunktion ist. Wäre es nicht klüger die Lemmas zu benutzen? (s.h. Anfang)

Zitat:

Somit folgt für alle $\begin{eqnarray*} x\in U\setminus\{\xi\}: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \left|\frac{f(x) - f(\xi)}{x - \xi} - g\right| \le |F(x) - F_n(x)| + |F_n(x) - f_n'(\xi)| + |f_n'(\xi) - g| < \varepsilon, \end{eqnarray*}$ womit die Behauptung gezeigt wäre.

O.K. nun weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ ungleich $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , aber wie sieht denn dann bitteschön eine Ableitung von f aus immerhin ist $\begin{eqnarray*} f := x(t) = |x| \end{eqnarray*}$ Wie kann man überhaupt von Ableitungen sprechen, wenn ga nicht klar ist ob eine Ableitung existiert. Also ist mir wirklich nicht so klar.

Schade das der Vertauschungssatz nicht in meinem Buch steht.

22.07.2009, 12:57

Sly

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Zitat:

Es ist nämlich $\begin{eqnarray*} \|x_n-x_m\|^* \geq \|x_n'-x_m'\|_\infty \end{eqnarray*}$

Wieso willst du das zeigen, wir haben doch schon den Grenzwert

Ich zeige da nichts, das war eine Trivialität.

Wovon redest du, wenn du sagst, "wir haben doch schon den Grenzwert". Nein, den haben wir nicht. Ich habe dir doch gerade erklärt, dass die Folge bzgl $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|^* \end{eqnarray*}$ nicht konvergiert!

Zitat:

...und wissen, dass $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen, bzgl. der Betragsfunktion ist. Wäre es nicht klüger die Lemmas zu benutzen? (s.h. Anfang)

Drück dich doch mal bitte verständlicher aus unglücklich

Was soll bitte "abgeschlossen bzgl. der Betragsfunktion" heißen?

Nein, die Lemmata kannst du nicht benutzen. Wovon sollte denn $\begin{eqnarray*} (C^1[a,b],\|\cdot\|^*) \end{eqnarray*}$ in sinnvoller Weise ein echter Unterraum sein?

Zitat:

Du hast es offenbar immer noch nicht verstanden...Deine Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ konvergiert zwar gleichmäßig gegen die Betragsfunktion, aber die Folge der Ableitungen konvergiert nicht gleichmäßig! Mache dir das bitte klar!
Obige Posts von Webfritzi und MSS bezogen sich auf den Vertauschungssatz, in welchem zweiteres vorausgesetzt wird.
Und erst aus dem folgt, dass $\begin{eqnarray*} (C^1[a,b],\|\cdot\|^*) \end{eqnarray*}$ wirklich vollständig ist. Mit deinen Lemmata alleine kommst du erstmal nicht weit.

22.07.2009, 13:50

BanachraumK_5

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Zitat:

Drück dich doch mal bitte verständlicher aus unglücklich Was soll bitte "abgeschlossen bzgl. der Betragsfunktion" heißen?

Offensichtlich gilt $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \subset C[a,b] \end{eqnarray*}$ somit folgt aus der gleichmäßigen Konvergenz und der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen ist mit den Lemmas sehr wohl, dass $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert_\infty \end{eqnarray*}$ kein Banachraum ist. ( $\begin{eqnarray*} C[a,b] \end{eqnarray*}$ ist in der Tat vollständig!). Ich glaube es lohnt sich doch die Lemmas genauer unter die Lupe zu nehmen. Wink

Zitat:

Wovon redest du, wenn du sagst, "wir haben doch schon den Grenzwert". Nein, den haben wir nicht. Ich habe dir doch gerade erklärt, dass die Folge bzgl $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|^* \end{eqnarray*}$ nicht konvergiert!

Sie konvergiert aber bzgl. $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Mir ist jetzt klar warum:

$\begin{eqnarray*} C[a,b] \end{eqnarray*}$ ist vollständig. Somit besitzt eine $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert^* \end{eqnarray*}$ - Cauchy Folge jeweils einen Limes. Betrachte nun die Folgen mit ihrem Limes: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}x_n = x\ \lim_{n \to \infty}x'_n = y \end{eqnarray*}$ .
Es folgt $\begin{eqnarray*} x = y' \end{eqnarray*}$ (Analysis I). Weiter folgt also $\begin{eqnarray*} x \in C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Vert x_n - x \Vert \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

Kannst du entsprechend auch in der einschlägigen Literatur nachlesen.

Diese Betrachtung wirft dann doch wieder die Frage auf wieso $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n(t) \rightarrow x(t) \end{eqnarray*}$ also in diesem Fall differenzierbar sein soll mit $\begin{eqnarray*} x'(t) = y \end{eqnarray*}$

22.07.2009, 14:27

BanachraumK_5

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edit: konvergiert bzgl. $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert_\infty \end{eqnarray*}$

22.07.2009, 14:33

Mathespezialschüler

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Das wird mir grad alles ein bisschen zu bunt. Augenzwinkern

1. Die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n(t)=\sqrt{t^2+\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ ist eine Folge stetiger Funktionen auf $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ , die gleichmäßig gegen die stetige Funktion $\begin{eqnarray*} x:[-1,1]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x(t)=|t| \end{eqnarray*}$ konvergiert. Insbesondere ist sie in $\begin{eqnarray*} \left(C^1[a,b],\|\cdot\|_{\infty}\right) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge. Würde $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \left(C^1[a,b],\|\cdot\|_{\infty}\right) \end{eqnarray*}$ konvergieren, so müsste $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ also der Grenzwert sein. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist aber nicht differenzierbar und liegt deswegen nicht in $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ , also kann die Folge dort nicht konvergieren.

Im Übrigen konvergiert die Folge, entgegen deiner Behauptung, weder bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ noch bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|^* \end{eqnarray*}$ und sie ist bzgl. beider Normen keine Cauchyfolge. edit: Nach deinem Edit wolltest du das gar nicht behaupten, sorry.

2. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|^* \end{eqnarray*}$ sind äquivalent: Konvergiert $\begin{eqnarray*} \|f_n-f\| \end{eqnarray*}$ gegen Null für $\begin{eqnarray*} f_n,f\in C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ , so bedeutet dies insbesondere, dass $\begin{eqnarray*} \|f_n-f\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left\|f_n'-f'\right\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergieren (Definition des Maximums!), also konvergiert auch

$\begin{eqnarray*} \|f_n-f\|^*=\|f_n-f\|_{\infty}+\left\|f_n'-f'\right\|_{\infty} \end{eqnarray*}$

gegen Null. Konvergiert umgekehrt $\begin{eqnarray*} \|f_n-f\|^* \end{eqnarray*}$ gegen Null, so auch $\begin{eqnarray*} \|f_n-f\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left\|f_n'-f'\right\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ , also auch

$\begin{eqnarray*} \|f_n-f\|=\max\left\{\|f_n-f\|_{\infty},\left\|f_n'-f'\right\|_{\infty}\right\} \end{eqnarray*}$ .

3. Sei $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge stetig differenzierbarer Funktionen bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|^* \end{eqnarray*}$ . Dann konvergiert $\begin{eqnarray*} \left(f_n'\right) \end{eqnarray*}$ in der Supremumsnorm gegen eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ ebenfalls gleichmäßig gegen eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Nach dem oben zitierten Satz folgt dann aber die Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'=g \end{eqnarray*}$ (also $\begin{eqnarray*} f\in C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ ) und infolgedessen konvergiert

$\begin{eqnarray*} \|f_n-f\|^*=\|f_n-f\|_{\infty}+\left\|f_n'-f'\right\|_{\infty} \end{eqnarray*}$

gegen Null! Also ist $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ mit diesen beiden Normen jeweils vollständig.

22.07.2009, 15:27

WebFritzi

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Zitat:

Original von BanachraumK_5

Zitat:

Das kann ich nicht nachvollziehen.

Das ist nicht klar genug ausgedrückt. Die Folge ist außerdem nicht $\begin{eqnarray*} x_n(t), \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} (x_n). \end{eqnarray*}$ Und es ist wichtig, wie diese Folge konvergiert. Das hast du auch nicht gesagt. Sie konvergiert nämlich gleichmäßig, und das ist hier der Punkt.

Zitat:

Original von BanachraumK_5

Zitat:

Das hast du richtig erkannt. Ich war mir eigentlich sicher, dass du diese Transferleistung selber erbringen kannst. Augenzwinkern

Nach der obigen Rechnung haben wir

$\begin{eqnarray*} |x_n(t) - x(t)| = \sqrt{t^2 + \frac 1 n} - \sqrt{t^2} \le \frac 1 {\sqrt n}\;\,\text{ für alle }\,t\in [-1,1]. \end{eqnarray*}$

Also folgt

$\begin{eqnarray*} \|x_n - x\| = \max_{t\in [-1,1]}\,|x_n(t) - x(t)| \le \frac 1 {\sqrt n}, \end{eqnarray*}$

und daraus die gleichmäßige Konvergenz von $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ gegen x.

Zitat:

Original von BanachraumK_5

Zitat:

Sry aber hier sehe ich nicht wie du von Schritt 1 auf Schritt 2 kommst. Woher komm denn auf einmal das +??

Dritte binomische Formel?

EDIT: Es wäre von Vorteil, wenn du beim Zitieren das "Original von ..." stehenlassen würdest, damit man auch weiß, wen du zitierst.

22.07.2009, 16:39

BanachraumK_5

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|^* \end{eqnarray*}$ sind äquivalent: Konvergiert $\begin{eqnarray*} \|f_n-f\| \end{eqnarray*}$ gegen Null für $\begin{eqnarray*} f_n,f\in C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ , so bedeutet dies insbesondere, dass $\begin{eqnarray*} \|f_n-f\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left\|f_n'-f'\right\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergieren (Definition des Maximums!), also konvergiert auch $\begin{eqnarray*} \|f_n-f\|^*=\|f_n-f\|_{\infty}+\left\|f_n'-f'\right\|_{\infty} \end{eqnarray*}$

O.K. soweit alles klar.

Aber was wäre denn wenn ich die Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x_n(t) = (t^2 + (1/n))^{(1/2)} \end{eqnarray*}$ in die Norm einsetze??

$\begin{eqnarray*} \Vert x_n - x \Vert^* = ?? \end{eqnarray*}$ Wir reden hier von einer Folge die gegen die Betragsfunktion konvergiert $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Cauchy Folge ist. Mein Verständnisproblem ist, dass wir eine Folge $\begin{eqnarray*} x_n \in C^1[a.b] \end{eqnarray*}$ haben, deren Grenzwert nicht differenzierbar ist. Und dann kommt jemand und definiert eine Norm wo die Ableitung drinsteht.

22.07.2009, 16:55

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ ist eine Cauchyfolge bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ . Es ist aber keine Cauchyfolge bzgl. den beiden Normen $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|^* \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \|x_n-x\|^* \end{eqnarray*}$ kannst du nicht bilden, denn $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|^* \end{eqnarray*}$ ist nur auf dem Raum $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ definiert, in welchem $\begin{eqnarray*} x_n-x \end{eqnarray*}$ nicht drin liegt!

22.07.2009, 17:14

BanachraumK_5

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Zitat:

Normen $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|^* \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \|x_n-x\|^* \end{eqnarray*}$ kannst du nicht bilden, denn $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|^* \end{eqnarray*}$ ist nur auf dem Raum $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ definiert, in welchem $\begin{eqnarray*} x_n-x \end{eqnarray*}$ nicht drin liegt!

Ja klar denn $\begin{eqnarray*} x \notin C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ aber das heißt dann auch, das $\begin{eqnarray*} x_n - x \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ bzgl. der Supremumsnorm liegt oder etwa nicht?

22.07.2009, 17:22

BanachraumK_5

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edit: Also weil die Sup.Norm beispielsweise auch für $\begin{eqnarray*} l^\infty(T) := \end{eqnarray*}$ VR aller beschränkten Funktionen $\begin{eqnarray*} T\rightarrow \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} l^\infty, \Vert \cdot \Vert_{\infty} \end{eqnarray*}$ definiert ist.

22.07.2009, 17:44

WebFritzi

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Man kann dir nicht folgen. Warum drückst du dich nicht endlich mal verständlich aus? unglücklich

$\begin{eqnarray*} x_n - x \end{eqnarray*}$ liegt nicht in $\begin{eqnarray*} C^1, \end{eqnarray*}$ weil x nicht drin liegt - egal, mit was für einer Norm du $\begin{eqnarray*} C^1 \end{eqnarray*}$ versiehst.

22.07.2009, 17:51

Mathespezialschüler

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Es liegt nicht in diesem Raum, unabhängig davon, mit welcher Norm er ausgestattet ist.

22.07.2009, 17:57

WebFritzi

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Wie ich schon schrieb. Augenzwinkern

23.07.2009, 09:45

BanachraumK_5

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Zitat:

st eine Cauchyfolge bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ . Es ist aber keine Cauchyfolge bzgl. den beiden Normen $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|^* \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \|x_n-x\|^* \end{eqnarray*}$ kannst du nicht bilden, denn $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|^* \end{eqnarray*}$ ist nur auf dem Raum $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ definiert, in welchem $\begin{eqnarray*} x_n-x \end{eqnarray*}$ nicht drin liegt!

Wie soll ich denn dann bitteschön $\begin{eqnarray*} \Vert x_n - x \Vert_\infty \end{eqnarray*}$ bilden wenn auch hier gilt, dass $\begin{eqnarray*} x_n - x \notin C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ ??

23.07.2009, 09:55

BanachraumK_5

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Antwort: Kann man nicht bilden!

Frage: Wieso gebt ihr mir das Beispiel $\begin{eqnarray*} x_n - x \notin C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ wenn man das sowieso in keine Norm ( $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert_\infty, \Vert \cdot \Vert, \Vert \cdot \Vert^* \end{eqnarray*}$ ) einsetzen darf?

23.07.2009, 12:37

Sly

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...du weißt aber schon, was man unter einer "Cauchy-Folge" versteht?

Ob $\begin{eqnarray*} x_n-x\in C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ ist, hat erst einmal rein überhaupt nichts damit zu tun, ob die x_n eine Cauchy-Folge bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|^* \end{eqnarray*}$ bilden.

Und warum du nun behauptest, man könne $\begin{eqnarray*} \|x_n-x\|_\infty \end{eqnarray*}$ nicht bilden, bleibt mir schleierhaft. Bezüglich der Supremumsnorm ist $\begin{eqnarray*} C[a,b] \end{eqnarray*}$ der entscheidende Raum, in dem ist dieses Element ja auch enthalten.

23.07.2009, 13:34

BanachraumK_5

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Naja eine Cauchy folge ist

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0\ \exists N(\varepsilon)\ \in \mathbb{N}\ \forall m,n\ge N(\varepsilon)\ \Vert x_n - x_m \Vert < \varepsilon \end{eqnarray*}$

d.h. eine Folge in einem normierten Raum ist eine Cauchy Folge wenn obige Definition erfüllt ist.

$\begin{eqnarray*} x_n - x \end{eqnarray*}$ ist erstmal ganz platt gesagt ein Vektor.

Zitat:

Und warum du nun behauptest, man könne $\begin{eqnarray*} \|x_n-x\|_\infty \end{eqnarray*}$ nicht bilden, bleibt mir schleierhaft. Bezüglich der Supremumsnorm ist $\begin{eqnarray*} C[a,b] \end{eqnarray*}$ der entscheidende Raum, in dem ist dieses Element ja auch enthalten.

Habe nur behauptet dass man $\begin{eqnarray*} \|x_n-x\|_\infty \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ nicht bilden kann, was ja wohl richtig ist. Und wieso sage ich das? Naja aus der Tatsache, dass man $\begin{eqnarray*} \|x_n-x\|_\infty\ \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ bilden kann, kann man sehen, dass $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ bezgl. der Sup. Norm nicht abgeschlossen ist mit $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \subset C[a,b] \end{eqnarray*}$

Achso C[a,b] ist doch der Raum aller stetig. Fkt. auf [a,b] oder?

Edit noch eine Trivialfrage:

Woher kommt eigentlich die schreibweise $\begin{eqnarray*} \Vert x_n - x \Vert \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ . Diese Schreibweise kenne ich auch nicht aus ANA II.

23.07.2009, 13:39

Dual Space

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Zitat:

Original von BanachraumK_5
Habe nur behauptet dass man $\begin{eqnarray*} \|x_n-x\|_\infty \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ nicht bilden kann, was ja wohl richtig ist.

Nö - eben nicht. unglücklich

23.07.2009, 14:04

Mathespezialschüler

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Ok, also nochmal. $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ ist eine Cauchyfolge bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ , egal ob du das in $\begin{eqnarray*} C[a,b] \end{eqnarray*}$ oder in $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ betrachtest, denn dafür ist nur wichtig, wo die Folgenglieder liegen und die liegen in beiden Räumen. Es ist aber keine Cauchyfolge bzgl $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|^* \end{eqnarray*}$ . Punkt.

$\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert in $\begin{eqnarray*} (C[a,b],\|\cdot\|_{\infty}) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . In $\begin{eqnarray*} \left(C^1[a,b],\|\cdot\|_{\infty}\right) \end{eqnarray*}$ konvergiert die Folge nicht. In $\begin{eqnarray*} \left(C^1[a,b],\|\cdot\|\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(C^1[a,b],\|\cdot\|^*\right) \end{eqnarray*}$ konvergiert sie ebenfalls nicht, da sie dort ja nicht einmal eine Cauchyfolge ist.

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hat also nur eine Bedeutung in $\begin{eqnarray*} (C[a,b],\|\cdot\|_{\infty}) \end{eqnarray*}$ . In allen anderen Räumen hat dies keine Bedeutung und man betrachtet nur die Folge an sich. Diese konvergiert in keinem dieser Räume.

Zitat:

Original von BanachraumK_5
Naja eine Cauchy folge ist

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0\ \exists N(\varepsilon)\ \in \mathbb{N}\ \forall m,n\ge N(\varepsilon)\ \Vert x_n - x_m \Vert < \varepsilon \end{eqnarray*}$

d.h. eine Folge in einem normierten Raum ist eine Cauchy Folge wenn obige Definition erfüllt ist.

Richtig, dafür braucht man also kein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und keinen potentiellen Grenzwert. Man muss also auch nirgendwo $\begin{eqnarray*} x_n-x \end{eqnarray*}$ einsetzen können. Cauchyfolge zu sein ist eine intrinsische Eigenschaft der Folge.

Zitat:

Ja, das ist richtig. Man kann von $\begin{eqnarray*} x_n-x \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \left(C^1[a,b],\|\cdot\|_{\infty}\right) \end{eqnarray*}$ keine Norm bilden, einfach weil es gar kein Element dieses normierten Raumes ist.

Zitat:

Original von BanachraumK_5
Naja aus der Tatsache, dass man $\begin{eqnarray*} \|x_n-x\|_\infty\ \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ bilden kann, kann man sehen, dass $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ bezgl. der Sup. Norm nicht abgeschlossen ist mit $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \subset C[a,b] \end{eqnarray*}$

Naja das ist etwas ungenau. $\begin{eqnarray*} \left(C^1[a,b],\|\cdot\|_{\infty}\right) \end{eqnarray*}$ ist nicht abgeschlossen, weil die in $\begin{eqnarray*} (C[a,b],\|\cdot\|_{\infty}) \end{eqnarray*}$ konvergente Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ , die in $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ liegt, nicht gegen ein Element von $\begin{eqnarray*} C^1[a,b] \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Zitat:

Original von BanachraumK_5
Achso C[a,b] ist doch der Raum aller stetig. Fkt. auf [a,b] oder?

Ja.

Zitat:

Original von BanachraumK_5
Woher kommt eigentlich die schreibweise $\begin{eqnarray*} \Vert x_n - x \Vert \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ . Diese Schreibweise kenne ich auch nicht aus ANA II.

Eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert in einem normierten Raum genau dann gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , wenn die reelle Zahlenfolge $\begin{eqnarray*} (\|x_n-x\|) \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergiert. Letzteres wird durch obige Schreibweise dargestellt.

Ich hoffe, ich habe jetzt ein bisschen Klarheit verschafft. Wenn nicht, dann frag ruhig weiter. Augenzwinkern

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Banachräume [Funktionalanalysis]

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