2 Fragen zu Gruppen

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19.07.2009, 18:04	Ripper1986	Auf diesen Beitrag antworten »
2 Fragen zu Gruppen Hallo, ich habe mir gerade nochmal ein paar aufgaben angeschaut und wollte fragen ob ich das richtig gemacht habe bzw. ob mir jemand einen tipp geben kann: 1.Frage: Es sei U eine Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \cup \left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ , die Untergruppe einer Gruppe G der Ordnung n+2 ist. Geben sie (bis auf Isomorphie) alle Gruppen U und G an, die möglich sind. Meine Lösung: Da $\begin{eqnarray} \|U\|~teilt~\|G\| \Rightarrow \|U\|\in \left\{ 0, 2\right\} \end{eqnarray}$ da n nur in diesen beiden Fällen n+2 teilt (wie kann man das schön zeigen???). Es gibt also die beiden Fälle: (i) $\begin{eqnarray} U = \mathbb Z_0~~=~~triviale~leere~Untergruppe mit G = \mathbb Z_2 \end{eqnarray}$ (ii) $\begin{eqnarray} U = \mathbb Z_2~mit~G = \mathbb Z_4 \end{eqnarray}$ Ist das so richtig??? 2. Frage: Es seinen G, H Gruppen und $\begin{eqnarray} \pi : G-->H \end{eqnarray}$ ein injektiver Homomorphismus. Zeigen sie $\begin{eqnarray} Z(\pi (G)) = \pi (Z(G)) \end{eqnarray}$ (Wobei Z(G) das Zentrum der Gruppe G ist.) bei dieser Aufgabe habe ich leider keine Idee!! LG F
19.07.2009, 18:15	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! 1. Aus $\begin{eqnarray} n\|(n+2) \end{eqnarray}$ folgt die Existenz eines $\begin{eqnarray} k\in\mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n+2=kn \end{eqnarray}$ . Offenbar muss $\begin{eqnarray} k\geq 2 \end{eqnarray}$ gelten, also folgt $\begin{eqnarray} n+2=kn\geq 2n \end{eqnarray}$ . Daraus ergibt sich $\begin{eqnarray} n\leq 2 \end{eqnarray}$ . Der Fall $\begin{eqnarray} n=0 \end{eqnarray}$ ist sinnlos, es gibt keine leeren Gruppen, also auch keine leeren Untergruppen! Dafür hast du aber $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ vergessen. Bei $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ ist stets $\begin{eqnarray} U=\mathbb Z_2 \end{eqnarray}$ , es kann aber $\begin{eqnarray} G=\mathbb Z_4 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} G=\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2 \end{eqnarray}$ gelten. 2. Du musst zwei Inklusionen zeigen: a) $\begin{eqnarray} g\in Z(G)\Rightarrow\pi(g)\in Z(\pi(G)) \end{eqnarray}$ . b) $\begin{eqnarray} h\in Z(\pi(G))\Rightarrow \pi^{-1}(h)\in Z(G) \end{eqnarray}$ . Hilft das?
19.07.2009, 18:35	Ripper1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für die schnelle Antwort! den ersten Teil habe ich verstanden aber ich bekomme es nicht hin die Inklusionen zu zeigen! ich versuch es noch ein bisschen und melde mich gleich nochmal wenn ich es habe bzw wenn ich es nicht schaffe ;-)
19.07.2009, 19:27	Ripper1986	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm.. ich bekomme es leider nicht hin..!!!
19.07.2009, 21:12	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Was musst du den zeigen damit ein Element im Zentrum ist? Was hast du bereits versucht?
19.07.2009, 21:32	Ripper1986	Auf diesen Beitrag antworten »
also, ich habe nicht ganz verstanden warum ich die sachen zeigen soll die er gesagt hat also habe ich es mal anders versucht: $\begin{eqnarray} (i)z.z.:~~\pi (h) \in Z(\pi (G))\Rightarrow \pi (h)\in \pi (Z(G)): \\ \pi (h) \in Z(\pi (G))\Rightarrow\pi (h)\pi (g)=\pi (g)\pi (h)\Rightarrow \pi (hg)=\pi (gh) \\ \Rightarrow (injektiv) hg=gh~~~also~ist~h\in Z(G)\Rightarrow \pi (h)\in \pi (Z(G)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (ii)z.z.:~~y\in \pi (Z(G))\Rightarrow y\in Z(\pi (G)) \\<br /> y\in \pi (Z(G)) \Rightarrow \exists y'~:~y=\pi (y')~~wobei~~y'\in Z(G) \\<br /> \Rightarrow gy'=y'g\Rightarrow \pi (y')\pi (g)=\pi (y'g)=\pi (gy')=\pi (g)\pi (y') \\<br /> \Rightarrow y\in Z(\pi (G)) \end{eqnarray}$ sorry dass es so unübersichtlich ist aber ich bekomme es nicht besser hin!! ich bin mir irgendwie total unsicher bei der lösung, ist das so korrekt?
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19.07.2009, 21:39	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis auf die Anmerkung dass es für alle g gilt, die fehlt, stimmt das. Warum sollst du die Aussagen zeigen? Es gilt $\begin{eqnarray} A \subset B \land B \subset A \Leftrightarrow A = B \end{eqnarray}$ . Und $\begin{eqnarray} A \subset B \Leftrightarrow \forall x: x\in A \Rightarrow x \in B \end{eqnarray}$ . Das sind elementare Grundlagen.
19.07.2009, 21:41	Ripper1986	Auf diesen Beitrag antworten »
ich bereite mich auf eine lausur vor und habe die aufgabe in einer altklausur gefunden, dachte mir dass es nicht schädlich wäre die mal gemacht zu haben! vielen dank für die hilfe :-) schönen abend noch LG F
19.07.2009, 21:43	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war eine rhetorische Frage weil du gefragt hast warum du die Sachen zeigen sollst Dir auch noch einen schönen Abend und viel Erfolg bei der Klausur
19.07.2009, 21:44	Ripper1986	Auf diesen Beitrag antworten »
das hatte ich gefragt weil ich das mit dem pi^-1 nicht verstanden hatte! aber ist jetzt ja erstmal auch egal!! es ging ja so auch LG

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