Orthonormalbasis des R^3

21.07.2009, 10:22

congo.hoango

Orthonormalbasis des R^3

Hab hier grad ne Aufgabe, bei der ich glaube ich irgendnen Denkfehler habe....

Ich soll bezüglich des Skalarproduktes $\begin{eqnarray*} <x,y>=xAy^t \end{eqnarray*}$ eine Orthonormalbasis des $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ berechnen. A sei gegeben mit $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Aber die kanonische Basis ist doch schon eine ONB des $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ , oder nicht!? Da müsste ich doch nix mehr rechnen....kann aber eigentlich nich sein, weil das eine alte Klausuraufgabe ist.

Danke schonmal und Gruß vom congo

21.07.2009, 10:28

kiste

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Prüfe doch einmal ob die kanonische Basis wirklich orthonormal bezüglich dieses Skalarproduktes ist.

Wenn nicht muss eben etwas wie Gram-Schmidt her

21.07.2009, 10:38

congo.hoango

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Ja bin da ja mit Gram-Schmidt erstmal rangegangen...und komme wieder auf die kanonische Basis...aber hab halt das Gefühl, dass das nicht sein kann.

Also geht doch so, dass ich erstmal die kanon. Basis nehme und die dann mit G-Schmidt versuche in eine ONB zu überführen oder?

21.07.2009, 10:54

Dual Space

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Dass es die kanonische Basis nicht sein kann sollte folgende Überlegung belegen (hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet):

$\begin{eqnarray*} xAy^T=x(I+1)y^T \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} 1:=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Damit ist dann aber auch

$\begin{eqnarray*} xAy^T&=&xy^T+x1y^T\\ &=& xy^T+(x_1+x_2+x_3)(y_1+y_2+y_3) \end{eqnarray*}$ .

Nun ist ersichtlich, dass (wegen dem zweiten Summanden) keine zwei der kanonischen Basisvektoren unter dem gegebenen Skalarprodukt orthogonal sein können.

21.07.2009, 11:08

klarsoweit

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@DualSpace: dummerweise ist nicht A = I + 1 . Augenzwinkern

21.07.2009, 12:21

congo.hoango

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Also ich schreib einfach mal, wie ich da ran gegangen bin.

Also sei $\begin{eqnarray*} \{e_1,e_2,e_3\} \end{eqnarray*}$ kanon. Basis des $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ .

So gilt es mit dem Gram-Schidt-Verfahren diese in eine ONB zu überführen: $\begin{eqnarray*} \{e_1,e_2,e_3\} \rightarrow \{o_1,_2,o_3\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} o_1=\frac{1}{||e_1||} e_1=(1,0,0) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} o_2'=e_2-<e_2,o_1>o_1=(0,1,0-((0,1,0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} )(1,0,0)=(0,1,0)-(0,1,0)(1,0,0)=(0,1,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} o_2= \frac{1}{||o_2'||} o_2=(0,1,0) \end{eqnarray*}$

und so weiter...wo liegt der Fehler?

21.07.2009, 12:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von congo.hoango
$\begin{eqnarray*} o_1=\frac{1}{||e_1||} e_1=(1,0,0) \end{eqnarray*}$ .

Was ist denn jetzt die Norm ||...|| ?

21.07.2009, 12:47

congo.hoango

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Naja ausführlich:

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{||e_1||}e_1=\frac {1}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}e_1=e_1=(1,0,0) \end{eqnarray*}$

21.07.2009, 13:19

Dual Space

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Zitat:

Original von klarsoweit
@DualSpace: dummerweise ist nicht A = I + 1 . Augenzwinkern

Huch ...

... oben rechts steht ja gar keine 2. geschockt

21.07.2009, 13:44

klarsoweit

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Zitat:

Original von congo.hoango
$\begin{eqnarray*} \frac {1}{||e_1||}e_1=\frac {1}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}e_1=e_1=(1,0,0) \end{eqnarray*}$

Ich hatte zwar gedacht, daß mit dem Skalarprodukt auch die Norm induziert wird. Muß aber wohl nicht sein.

Zitat:

Original von congo.hoango
$\begin{eqnarray*} o_2'=e_2-<e_2,o_1>o_1=(0,1,0-((0,1,0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} )(1,0,0)=(0,1,0)-(0,1,0)(1,0,0)=(0,1,0) \end{eqnarray*}$

Hier stimmt was nicht.

21.07.2009, 14:05

congo.hoango

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Oh mann, klar....danke. Einfachste Matrizenmultiplikation verkackt. smile

Dann ist alles klar.

21.07.2009, 14:08

WebFritzi

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@congo: Dein Weg führt ins Nichts, da du die falsche Norm verwendest. Die Norm, die du verwenden musst, ist

$\begin{eqnarray*} \|x\| = \sqrt{xAx^T}. \end{eqnarray*}$

Also, Gram-Schmidt ist ein Verfahren, um dein Ziel zu erreichen. Ein anderer Weg wäre, die Matrix A zu diagonalisieren und so Eigenwerte und -vektoren dazu zu finden. Du weißt ja, dass es für symmetrische Matrizen eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren gibt, nicht wahr? Die Vektoren aus einer solchen Orthonormalbasis stehen auch im neuen Skalarprodukt senkrecht aufeinander, denn

$\begin{eqnarray*} v_i Av_j^T = \lambda_j v_iv_j^T = 0\;\;\text{ für }\,i\neq j. \end{eqnarray*}$

21.07.2009, 14:28

congo.hoango

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Echt? Ok, kommt mir neu vor, aber dann mach ich das mal so, danke. Dachte die Norm wird immer gleich gebildet.

21.07.2009, 14:35

Dual Space

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Zitat:

Original von congo.hoango
Dachte die Norm wird immer gleich gebildet.

Den Gedanken solltest du tief vergraben und nie wieder ausbuddeln! Big Laugh

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Orthonormalbasis des R^3

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