Gleichungssysteme in Z lösen

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vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssysteme in Z lösen
Hallo ihr,

ich habe drei Gleichungssysteme gegeben, die ich bezüglich ihrer Lösbarkeit in den ganzen Zahlen Z untersuchen soll:

a)


Das ist relativ einfach: das Gleichungssystem ist unlösbar in Z. Betrachtet man das System modulo 3, so kommt man auf einen Widerspruch!

b)


c)



Wie könnte man nun generell rangehen, wenn ich konkret nach Lösungen in Z frage. Einfach für z eine ganzzahlige Lösung wählen und dann das Gleichungssystem lösen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

bei b) sieht man relativ schnell, dass gilt.

Das könnte man in eine der beiden Gleichungen einsetzen, die entstehende Gleichung in 2 ganzzahligen Unbekannten lösen.

Siehe auch hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Diophantische_Gleichung
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, aber was tun, wenn man die Beziehung in b) nicht so schnell sieht.

Sollte man hier genauso rangehen wie an normale Gleichungssysteme - erst die homogenen Gleichungen ansehen und dann eine spezielle Lösung auffinden?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Systematisches Verfahren: Du kannst ja erstmal das GLS in lösen, mit den üblichen Methoden.

In all den Fällen, die du hier aufgelistet hast (2 Gleichungen, 3 Variablen) wirst du dann ein oder mehrere Parameter in der Lösungsdarstellung haben. Dann bleibt lediglich noch zu untersuchen, ob es dann Parameterwerte gibt, so dass sämtliche Lösungskomponenten ganzzahlig sind, und falls ja, welche das sind (in der Regel dann wiederum parametriert durch eine andere, ganzzahlige Parametervariable).
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

OK, danke für den Hinweis, Arthur!

Für b) erhalte ich dann



für .

Damit wäre das wohl erledigt.

Nur bei c) kommt man nicht ganz so schnell auf eine sinnvolle Lösung, denn es ist



und nun müsste ich mir ja ansehen, wann 700-t durch 12 teilbar ist, stimmts?

Da die Aufgabe aus einem Anwendungsbezug kommt, muss man darauf achten, dass .

Soweit korrekt?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vektorraum
Nur bei c) kommt man nicht ganz so schnell auf eine sinnvolle Lösung, denn es ist



und nun müsste ich mir ja ansehen, wann 700-t durch 12 teilbar ist, stimmts?

Genau das ist es, was ich oben mit der angesprochenen Reparametrierung gemeint habe: Hier muss schon erstmal gelten, also o.ä. Jetzt kommt es natürlich auch noch drauf an, wie x,y von (bzw. dann ) abhängen, ob man das noch weiter reduzieren muss.
 
 
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das hatte ich mir auch überlegt. Ich habe nun für



d.h. ich habe die beiden linearen Kongruenzen



Die jetzt noch entsprechend lösen und Lösungen im Definitionsbereich finden.

Weitere Rechnung so richtig?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Genau - wobei das in dem Fall hier zweimal dieselbe Kongruenz ist, bei genauerem Hinschauen. Augenzwinkern
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich gemerkt. Dann ist es ja nicht schlimm, die Lösungen zu bestimmen. Problem ist jetzt nur, wie ich an meine Lösung komme: wenn ich t=16 nehme, dann erhalte ich

x=27, y=57 und z=16.

Aber die müsste doch eindeutig bestimmt sein verwirrt
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will nun nochmal zu b) kommen, da ich nun herausgefunden habe, wie man sich das ganze überlegen kann, auch ohne über Gauß zu gehen.

Wir addieren einfach beide Zeilen und erhalten dadurch

.

Nun suchen wir die ganzzahligen Lösungen für . Dazu berechnen wir und schreiben somit



Damit erhält man dann durch Multiplikation (da ) mit 3000 die ganzzahligen Lösungen



als spezielle Lösung für die inhomogene Gleichung. Nun brauchen wir noch eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung:



Das können wir auch schreiben als und diese Gleichung ist lösbar, wenn ein Vielfaches von ist. Dann muss sein, also suchen wir die Lösungen von

.

Eine spezielle Lösung ist nach oben gegeben durch .

Nun brauchen wir noch eine Lösung der homogenen Gleichung



die gegeben ist durch .

Damit hat die homogene Gleichung die Lösung .

Nach dem Superpoistionsprinzip ergibt sich damit die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung.

Ist das so in Ordnung??? Jetzt braucht man natürlich noch eine Lösung des Systems...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst dir jetzt also die Lösungen der Gleichungen einzeln bzw. sukzessive nacheinander vornehmen? Ja, geht natürlich auch, wenn auch in der Regel aufwändiger.

Geometrisch schneidest du ja bei deinen Beispielen zwei Ebenen im dreidimensionalen Raum und willst dann die Gitterpunkte auf der Schnittgeraden erfassen.

Mein Vorschlag war, erst die Schnittgerade bestimmen und dann schauen, welche Gitterpunkte drauf sind.

Dein jetzt gewählter Weg bestimmt erst alle Gitterspunkte der ersten Ebene, und dann musst du versuchen zu erfassen, welche davon nach dem Schnitt mit der zweiten Ebene übrig bleiben.

Welchen Weg man nun wählt, ist letztendlich Geschmackssache.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Gut ist, dass man jetzt mehrere Lösungswege hat.

Wie transformiere ich denn aber jetzt meine allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung auf das System verwirrt

Es ist zwar gut, dass ich die Gleichung gelöst habe, aber das System löst es ja nun noch lange nicht...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte, das wäre klar: Du setzt deine Lösungsdarstellung der ersten Gleichung (also parametriert mit ) in die zweite Gleichung ein und hast damit eine entsprechende Diophantische Gleichung mit den Variablen , die du wiederum zu lösen hast.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Ich dachte, das wäre klar: Du setzt deine Lösungsdarstellung der ersten Gleichung (also parametriert mit ) in die zweite Gleichung ein und hast damit eine entsprechende Diophantische Gleichung mit den Variablen , die du wiederum zu lösen hast.


Ja, das wäre klar, wenn ich eine der beiden Ausgangsgleichungen genommen hätte. Ich habe aber beide Gleichungen addiert und dann die Lösung bestimmt.

Aber klar, ich könnte auch gleich mit meiner Methode bei einer der obigen Gleichungen anfangen und dann einsetzen. Da spare ich mir die Addition.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Hilfe Arthur! Jetzt müsste alles klar sein Freude
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