eigenvektor / eigenwert

Neue Frage »

Tom1337 Auf diesen Beitrag antworten »
eigenvektor / eigenwert
hi, ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe
und zwar gegeben ist eine Matrix un 2 Eigenvektoren

Matrix A =

Eigenvektoren c1 und c2

c1 = und c2=

so nun soll zu den Eigenvektoren noch die Eigenwerte bestimmt werden...
für die Eigenwerte nehme ich die Formel:

dann halt bissen rechnen bis ich zu folgender Form komm



da lös ich nach auf =>

wenn ich das nun ausrechne, hab ich einen Eigenwert ?

diesen Eigenwert dann einsetzen in
(wobei x hier jeweils einen der beiden vorgegebenen Eigenvektoren darstellt Augenzwinkern

soll das die Lösung zur Aufgabe dann sein ?
und dann noch den teil mit dem ich gar nicht anfangen kann:
man soll eine Orthonormalbasis mit Hilfe der Eigenvektoren darstellen :S
gibt's da vielleicht ein Tipp von euch wie ich das machen muss ??

danke schon mal im Voraus
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: eigenvektor / eigenwert
Was ist ein Eigenvektor/Eigenwert... Denke an



Was ist schwer? Wenn man weder EW noch EV kennt. Nun kennst du doch aber schon die EV. Warum machst du dir dann das leben so schwer... Idee!
 
 
Tom1337 Auf diesen Beitrag antworten »

ja ist halt das was ich über das thema EW/EV weiß...
EW berechnen muss ich ja eh, hab ich auch schon gemacht...
und mir fällt halt dann nur das ein was ich hier gepostet hab...wollt eigentlich nur fragen ob ich damit auf dem richtigen weg bin

ja und halt das problem mit der orthonormalbais...


dank dir trotzdem smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ist nicht wirklich die Antwort auf meine Frage. Waren die EV schon gegeben? Warum setzt du sie dann nicht einfach in die Gleichung ein und bestimmt so die EW?
Tom1337 Auf diesen Beitrag antworten »

nur mal zur Nachfrage



in meinem Beispiel wäre dann für den EV c1 der Eigenwert = 3 und für c2 = 0 ?
Tom1337 Auf diesen Beitrag antworten »

sry sry

ja die Matrix sowie die beiden Eigenvektoren waren bereits gegeben
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt. Was bedeutet es denn, dass es nur 2 EV gibt?

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
A=[2,1,-1;1,2,1;-1,1,2]
A =
     2     1    -1
     1     2     1
    -1     1     2
>> c1=[1;1;0]
c1 =
     1
     1
     0
>> c2=[1;-1;1]
c2 =
     1
    -1
     1
>> A*c1
ans =
     3
     3
     0
>> A*c2
ans =
     0
     0
     0
Tom1337 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm...wenn es nur 2 eigenvektoren gibt, das wird dann wohl einen Einfluss auf die Eigenwerte haben ?!
muss aber leider gestehen, dass ich nicht wirklich weiß was es bedeutet :S

nur mein Problem, wie kann man nun mit diesen beiden Eigenvektoren eine Orthonormalbasis bilden ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

So noch gar nicht. Wiederhole meine Frage: woher stammen c1 und c2.
Tom1337 Auf diesen Beitrag antworten »

weiß nicht genau worauf du hinaus willst...
also in meinem Fall, waren c1 und c2 ja bereits in der angabe gegeben...

nun da ich die eigenwerte hab, könnt man diese natürlich auch berechnen, was nur hier nix bringt ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. In der Angabe. Die zugehörigen Eigenwerte sind geschenkt. Nächste Verständnisfrage:

* Wie viele Eigenvektoren kann es hier denn maximal geben? (unabhängig was dir angegeben wurde)
Tom1337 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm...gute frage
denk mal die 2 die ich schon hab, und (0 0 0) müsste auch noch ein EV sein...

wie ich das aber sicher rausfinde, weiß ich net
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte mal ganz schnell im Buch nachlesen, welcher Vektor nie Eigenvektor sein kann.

Und dann erwarte ich eine konkrete Zahl, bzgl. der möglichen EV.

Da du das Buch nun zur Hand hast, bitte die Begriffe geometrische und algebraische Vielfachheit nachschlagen.

Keine Sorge, deine Frage nach ONB habe ich nicht vergessen.
Tom1337 Auf diesen Beitrag antworten »

geometrische vielfachheit eines eigenwertes = maximale Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren

algebraische vielfachheit eines eigenwertes ist groesser oder gleich der geometrischen vielfachheit

??

für linear unabhängige Eigenvektoren ist meiner meinung nach dann die geometrische vielfachheit ausschlaggebend

sry aber wie ich rausfinden kann wieviele eigenvektoren eine matrix hat versteh ich nicht
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Die angegebene 3x3-Matrix ist symmetrisch, ist daher diagonalisierbar und besitzt somit 3 linear unabhängige Eigenvektoren. Den dritten musst du also noch finden.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

1,2 stimmt. Aber was genau ist die algebraische Vielfachheit? Hat was mit dem charakteristischen Polynom zu tun.

Damit kommst du dann auch auf die Zahl. Ich gebe zu, ich habe unsauber formuliert. Denn so hätte man auch "unendlich" viele sagen können. Wenn ich aber "linear unabhängig" noch fordere, wie muss dann die Antwort lauten?

Was folgt also bzgl. deiner Angabe? Gerade wenn du mal A mit dem Vektor [-1; 0; 1] multiplizierst.
Tom1337 Auf diesen Beitrag antworten »

symmetrisch will heissen, dass A = A^t ?
somit existiert dann auch eine orthonormalbasis ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Der WebFritzi hat dir nun schon einen wichtigen Satz für diesen Spezialfall geliefert. Dennoch bitte mal über meine Rückfragen nachdenken. Ferner würde mich mal der OT dieser Aufgabe interessieren.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »