1.1 A 8 [Bosch]

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Orbit Auf diesen Beitrag antworten »
1.1 A 8 [Bosch]
Die Aufgabe A8

Dann werde ich auch mal eine Aufgabe aus dem Bosch vorstellen, nachdem ich hier aufgefordert wurde. Augenzwinkern Korrigiert mich, wenn ich falsch liege.

Beweis:
Die Rückrichtung ist trivial. Angenommen und .
und .

Sowohl , als auch führen zum Widerspruch, denn




Also ist keine Untergruppe, weil sie nicht abgeschlossen ist.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 1.1 A 8 [Bosch]
Zitat:
Original von Orbit
Die Rückrichtung ist trivial.


Tatsächlich ist die Hinrichtung trivial. Anders ausgedrückt: das, was du als Rückrichtung bezeichnest, ist die Hinrichtung.
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 1.1 A 8 [Bosch]
Zitat:
Original von WebFritzi
Tatsächlich ist die Hinrichtung trivial.

Der Spruch eines Henkers? Augenzwinkern

Ist denn nicht die Rückrichtung und die ist hier einfach. verwirrt

Er führt doch dann den Beweis für . Da fehlt dann zunächst der einleitende Satz.Ferner ist es doch nicht wirklich ein Widerspruchsbeweis sondern Beweis durch Kontraposition.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Webfritzi hat sich geirrt. Die Rückrichtung ist trivial.

Zitat:
Original von tigerbine
Ferner ist es doch nicht wirklich ein Widerspruchsbeweis sondern Beweis durch Kontraposition.

Wer hat denn behauptet, dass es ein Widerspruchsbeweis wäre? Augenzwinkern

Zitat:
Original von Orbit

Hier würde ich gerne auf die Kausalität aufmerksam machen. Bekannt ist ja nicht, dass in liegt, sondern bekannt ist, dass die linke Seite in liegt. Deswegen würde ich es so schreiben:

.

Damit läge in und das ist dann der Widerspruch zur Voraussetzung.
Orbit Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Rückmeldung. Ich will den Beweis in einer besseren Ausführung nochmal zusammenfassend wiedergeben.




Beweis:





.




.
.














Edit: Rechtschreibfehler..
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Wer hat denn behauptet, dass es ein Widerspruchsbeweis wäre? Augenzwinkern


Naja, wenn ich einen Beweis mit den Worten "führen zum Widerspruch" einleite ... Daher mein Kommentar. Und er zeigt doch

Ich hätte es also formuliert:

Statt soll gezeigt werden: .

Es gibt also und . Es gilt offensichtlich .

Nun betrachtet man . Es soll geprüft werden, ob eine Untergruppe von G ist. Angenommen, das ist eine U-Gruppe, dann muss sie abgeschlossen bzgl. innerer Verknüpfung der Elemente sein.(Widerspruchsansatz) Das Element müsste hier mindestens in einer der beiden Untergruppen enthalten sein. Dies ist nicht der Fall (siehe Orbit), also ist dann keine Untergruppegruppe.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis der Aussage an sich ist meiner Meinung nach ein Beweis durch Kontraposition. Ob die Zwischenschritte per Widerspruchsbeweis bewiesen werden, darum ging es ja erstmal nicht (dachte ich zumindest). Es scheint aber tatsächlich so, als ließe sich der Widerspruchsbeweis als Zwischenschritt nicht vermeiden (d.h. insbesondere nicht in einen Beweis irgendeiner Kontraposition umformulieren).
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Der Beweis der Aussage an sich ist meiner Meinung nach ein Beweis durch Kontraposition.

Der Meinung bin ich auch.

Mit ging es darum, dass Orbit in seinem Beweis fasch einleitet, da er sagt: "angenommen es gibt und .... " Das ist ja die Voraussetzung in der Kontrapositionsrichtung.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja "Angenommen und " kann man ja auch so interpretieren, dass man von dieser Eigenschaft ausgeht und dann daraus folgert, ohne einen Widerspruchsbeweis machen zu wollen.

Und bitte, tigerbine gewöhne dir die Schreibweise ab, sie ist einfach falsch in diesem Zusammenhang!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, mache ich.
Orbit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, der Beweis wurde durch Kontraposition geführt. Ich hatte nie die Absicht ihn per Widerspruch (außer Zwischenschritt) zu beweisen. Vielleicht habe ich mich wirklich unglücklich ausgedrückt, aber es war so gemeint, wie MSS schon gesagt hat.
Ersetzen wir einfach "Angenommen" durch "Sei nun" und alle Zweifel sind beseitigt. Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Ja, Webfritzi hat sich geirrt. Die Rückrichtung ist trivial.


Dabei fragt sich, was bei einer Äquivalenzaussage Hin- und was Rückrichtung sein soll... So gesehen liegen wir beide falsch. Augenzwinkern Ich definiere für mich (im folgenden auch logisch begründet) die Bezeichnungen wie folgt:

Aussage: "Genau dann gilt A, wenn B gilt."

Hier macht das Wörtchen "wenn" für mich den entscheidenden Unterschied zwischen Hin- und Rückrichtung. Also wähle ich "B => A" als erste Aussage und damit als Hinrichtung und dann "A => B" als Rückrichtung. Für die obige Aussage würde ich in Zeichen folgendes schreiben:

B <=> A

und nicht A <=> B. Man kann es genauso andersherum sehen und das damit begründen, dass A ja zuerst dasteht.

Wie man es auch dreht und wendet... Keiner hat recht, solange nicht allgemeingültig definiert ist, was Hin- und was Rückrichtung ist. Und da dies eigentlich total überflüssig ist, sehe ich das auch nicht kommen. Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ok ich kannte bisher den recht allgemeingültigen Konsenz, dass die Rückrichtung die Richtung von der zuletzt genannten Aussage zur zuerst genannten Aussage ist. Aber ist auch tatsächlich nicht so wichtig. Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
ich kannte bisher den recht allgemeingültigen Konsenz


Wieso kannst du dir da so sicher sein? verwirrt
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Weil ich bis jetzt bei allen Leuten, bei denen ich so etwas entdeckt habe, diese Notation sah. Das heißt nur, dass ich schon einen relativ großen Erfahrungswert mit nur diese Konvention habe. Augenzwinkern
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