Geometrie: Orthogonalprojektion

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sauza Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrie: Orthogonalprojektion
Ich habe Probleme mit der Darstellungsweise der Orthogonalprojektion.

Wir haben bewiesen, dass es zu jedem affinen Unterraum L im R^n und jedem w in R^n genau ein v_0 in R^n gibt, so dass w aus dem orthogonalen affinen Unterraum, also mit w in L(orthogonal) (v_0 ) = v_0 + U(orthogonal).

Ich hoffe, die Schreibweisen sind soweit klar. Meine affinen Räume nenne ich immer L = Stützvektor + Untervektorraum. Der zu L orthogonale affine Unterraum ist also Stützvektor + orthogonaler Unterraum.

Der Beweis lief folgendermaßen: sei L = U + t.
Man kann sich das aufzeichnen. Wenn man sich im R^3 einfach eine Verschiebung einer Geraden (U) um den Vektor t vorstellt.
Man wählt sich nun also ein u aus U so, dass
w - t = u - v, mit u aus U und v aus U(orthogonal).

Dann ist w = (t + u ) + v. Nennen wir t + u = v_0, dann ist
w = v_0 + v aus v_0 + U(orthogonal), was genau L(orthog) (v_0) ist.

die Zuordnung w auf v_0 ist die Orthogonalprojektion.
was ist nicht verstehe ist, dass nun

????

Auch später habe ich nochmal eine Gleichung:


wobei n mein Normalenvektor also n = w - v_0 und mein u ist orthogonal zu meinem n. Wie löst man das auf, dass nur noch w - t dasteht??

Kann jemande helfen? Ich hoffe, ich hab nichts vergessen, was zum Verständnis nötig ist. Wenn ja, dann bitte nachfragen. Wink
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geometrie: Orthogonalprojektion
Hi sauza,

Ich habe nicht wirklich verstanden, was da gemacht wird. verwirrt

Zitat:
Man wählt sich nun also ein u aus U so, dass w - t = u - v, mit u aus U und v aus U(orthogonal).

Wenn ist, dann ist und somit kann nur und sein. (Es ist .)
Damit wäre dann .


Auch so ist die Aussage nicht sonderlich interessant, da sowieso immer im orthogonalen affinen UR liegt. Dazu muss man keine komplizierten Berechnungen angeben.

Gruß,
Reksilat.

Edit:
Fällt mir jetzt erst auf:

[attach]10983[/attach]
Prost
sauza Auf diesen Beitrag antworten »

Ob die Aussage interessant ist oder nicht, sei mal dahingestellt, ich will einfach nur wissen, warum die Orthogonalprojektion definietist als

t + <w-t/u> (u/||u||^2)

Oder wenn man sich nicht in L= U+t befindet, also keinen Stützvektor hat, dann einfach nur, warum

P_g = <p/x> x

ist.

In dem Fall hab ein einfach nur eine Gerade g, einen Punkt p (nicht auf der Geraden). Mein Vektor x (auf der Geraden) ist schon normiert und P_g ist das gefällte Lot von P auf die Gerade g.

Für oben bedeutet das also t ist 0 und u müsste schon normiert sein.

ich will einfach nur wissen, wie ich auf die Formel
P_g = <p/x> x

komme Augenzwinkern
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Formel kann ich mir noch immer nicht erklären, da ja, wie oben geschrieben, sowieso ist.

Für die zweite Formel kann man nun verwenden, dass ist.

Schauen wir uns nun die Projektion von auf {an:
[attach]10994[/attach]
Hier ist der Winkel zwischen und .

Damit lässt sich die Formel schnell herleiten.

Gruß,
Reksilat.
sauza Auf diesen Beitrag antworten »

Ich steh auf dem schlauch, so hab ich es nämlich versucht und ich bekomme

cos (x,p) = An/Hyp = P(p)/ p

und eingesetzt:

P(p) = <p, x> p / (||x|| ||p||)

???
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Du musst zunächst mit Längen arbeiten! Es gilt

.

Daraus ergibt sich

.

Damit weißt du die Länge. Jetzt musst du noch einen Einheitsvektor in die Richtung von finden und diesen mit dieser Länge multiplizieren ...
 
 
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