Volumen eines Kegelabschnitts

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Mathegreis Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen eines Kegelabschnitts
3 Fragen dazu:

Wenn ich einen senkrechten Kreiskegel parallel zu seiner Höhe schneide, erhalte ich zwei Teilfiguren, nach deren Namen ich gesucht, aber nicht gefunden habe.

Kann man diese beiden Teile als "Kegelabschnitte" bezeichnen?

In sämtlichen mir zugänglichen Formelsammlungen habe ich nach einer Berechnungsformel für so einen "Kegelabschnitt" gesucht - und wieder nicht gefunden. Kennt jemand eine Berechnungsformel, die er mitteilen könnte, oder lässt sich das Volumen nur mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen?

Wenn ich den halben Kreiskegel (Schnitt entlang der Höhe) wieder durch einen senkrechten Schnitt in zwei Teile zerlege, und zwar in der Mitte des Radius, erhalte ich dann als Volumen die Hälfte des halben Kreiskegels, also ein Viertel des Gesamtkegelvolumens, oder liegen da andere Verhältnisse zu Grunde?

Vielleicht kennt sich ja jemand damit aus.

Gruß
Mathegreis
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der Kegel habe als Grundkreisradius und als Höhe. Ferner sei der Abstand der Schnittebene von der Höhe. Dann hat - mit allem Vorbehalt hinsichtlich Rechenfehlern - das Volumen des Kegelabschnitts den Wert



Den Wert habe ich durch die folgende Integration erhalten:



Nach einer Substitution kann man das auch folgendermaßen schreiben:



Vielleicht hat ja jemand Lust, Ansatz und Ergebnis zu überprüfen.
Mathegreis Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für Deine umfangreichen Bemühungen!

Ich habe schon befürchtet, dass sich keine einfache Formel für die Volumenbestimmung des Kegelabschnitts finden lässt, dass dann allerdings so ein "Monster" erforderlich wird, hätte ich nicht gedacht.

Wenn ich Dein Ergebnis richtig interpretiere, dann ist die Bestimmung des Volumens nur über die Integralrechnung möglich, mit deren Hilfe Du die Formel entwickelt hast. (Solche Gebilde sind natürlich in gängigen Formelsammlungen fehl am Platze.)

Dann will ich mal - trotz des Angst einflößenden Aussehens - versuchen zu ermitteln, ob meine Annahmen richtig waren.

Nochmals herzlichen Dank!

Viele Grüße
Mathegreis
Alex-Peter Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold: Deine Definition in deinem Text für a ist mir unklar. Meinst Du, a ist kleiner oder gleich r, also horizontal gesehen ?
das heißt a ist der horizontale Abstand von der Mittellinie und kann nur maximal r sein. Anders hätte das keinen Sinn, da sonst die Wurzeln der Quadratzahlen schnell imaginär wären.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]10996[/attach]

Die Figur darf nicht als rotationssymmetrisch angesehen werden, die gestrichelte Linie symbolisiert also eine Ebene, keinen Zylinder.


EDIT (30.7.2009)

Für erhält man als Volumen des Kegelabschnitts



Setzt man das ins Verhältnis zum Volumen des halben Kegels, so findet man



Damit erhält man den vierten Teil des gesamten Kegels, wenn die Entfernung der Schnittebene von der Kegelhöhe 28,3 % des Grundkreisradius ausmacht.

Ich habe mir einmal den Graphen der Funktion zeichnen lassen (in der Zeichnung rot). Er hat parabelähnliche Gestalt. Durch Versuch und Irrtum mit einem rein optischen Vergleich habe ich Folgendes gefunden:



Der Graph von ist blau gezeichnet.

[attach]10997[/attach]

Damit hätten wir die viel einfachere Näherungsformel für das Volumen des Kegelabschnitts:

Alex-Peter Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenvergleich
hier mal den Vergleich der Volumenberechnung nach Leopold
genauer- und Näherungs- Formel.

Radius r = 5; h = 12 Zum vergrößern bitte anklicken
 
 
Mathegreis Auf diesen Beitrag antworten »

Herzlichen Dank für diesen zusätzlichen Service mit der Annäherungsformel - und natürlich auch für die Überprüfung derselben.

Das ist natürlich ein gravierender Unterschied, ob ich mit der kleinen Näherungsformel oder mit der "Monster-Formel' rechne, zumal die Differenz zwischen exaktem und angenähertem Ergebnis nur minimal ist.

Nochmals vielen Dank für die Bemühungen!

Gruß
Mathegreis
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