Optimale QF für gegebene Stützstellen

28.07.2009, 19:30

Ch. P.

Optimale QF für gegebene Stützstellen

Hallo wertes Forum!

Folgende Problemstellung beschäftigt mich:

Gegeben seien das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ sowie die Quadraturformel $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}}=:I=b_{1}f(0)+b_{2}f(1) \end{eqnarray*}$ . Bestimmen sie die Gewichte $\begin{eqnarray*} b_{i} \end{eqnarray*}$ so, dass die Quadraturformel optimale Ordnung besitzt!

Wie wir ja wissen, ergibt sich für die Variante ohne Wurzel einfach, dass $\begin{eqnarray*} b_{1}=b_{2}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und die Quadraturformel von der Ordnung 2 ist, d. h. maximal Polynome vom Grad 1 exakt integrieren kann.

Nun wüsste ich aber gerne, wie sich die Wurzel da auf die Lösung niederschlägt!

Irgendwie habe ich da gar keine Idee, denn in den Berechnungen ohne der Wurzel wirkt sich f ja nirgends aus oder?

Ich danke schon mal für fruchtbare Anstöße.

28.07.2009, 19:48

tigerbine

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RE: Optimale QF für gegebene Stützstellen

Zitat:

Ich danke schon mal für fruchtbare Anstöße.

Was kann man denn maximal an Ordnung erwarten?

Welche Gleichungen müssen also erfüllt sein?

Bedenke, dass hier die Knoten/Punkte vorgegeben sind... wäre das nicht der Fall .... was muss man sich dann fragen ->

Allgemein:

Welche QF erzeugen denn die höchste Ordnung?

Wie würde man in dem Zusammenhang die "Wurzelfunktion" nennen?

28.07.2009, 20:10

Ch. P.

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Also die Maximale Ordnung wäre P=2*s mit s Anzahl der Stützstellen. Da die QF ja vorgegeben ist, haben wir s=2 und somit maximale Ordnung von 4.

Ordnung 4 heißt, es wird bis Grad 3 exakt integriert. Also müssen die Gleichungen

$\begin{eqnarray*} 1*b_{1}+1*b_{2}=\int_{0}^{1}1dx=1<br /> 0*b_{1}+1*b_{2}=\int_{0}^{1}xdx=\frac {1}{2}<br /> 0*b_{1}+1*b_{2}=\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}<br /> 0*b_{1}+1*b_{2}=\int_{0}^{1}x^3dx=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

erfüllt sein. Diese erzeugen jedoch Widersprüche, die nur gelöst werden, indem wir die Ordnung senken. Somit wäre die Ordnung hier 2.

Zunächst mal erzeugen die Gauß'schen QF die höchste Ordnung. Da sind die Stützstellen symmetrisch und nicht die Randpunkte.
Die Wurzelfunktion wäre wohl eine Gewichtsfunktion für das Integral. Aber wo wirkt sich das dann auf die QF aus? Wird das irgendwie in die Berechnung der Gewichte einfließen?

tigerbine: latex.

28.07.2009, 20:32

tigerbine

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Du kennst dich doch aus. Augenzwinkern

Nun müssen wir das nur noch richtig zusammensetzen. Wir haben hier ja eine QF mit Gewichtsfunktion. Eingesetzt wird die Funktion f. Du musst also zeigen, dass für die Polynome p=1,x,x² ... gilt:

$\begin{eqnarray*} I_2(p) = \int_0^1~\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot p(x)~dx \end{eqnarray*}$

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