Fläche: Wie groß ist der Umfang eines Kreises bei x kleinen Kreisen in ihm |
| 28.07.2009, 23:03 | hellmachine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Fläche: Wie groß ist der Umfang eines Kreises bei x kleinen Kreisen in ihm Ich würde gerne eine Anzahl an kleinen Kreisen kreisförmig um eine freie Fläche so anordnen, dass sie sich möglichst berühren, also so wenig Raum wie möglich einnehmen. Sie dürfen sich nicht überschneiden, nur berühren. Mein Mathe-Leistungskurs liegt schon ewige Jahre zurück...und ich glaube auch damals wäre mir keine Lösung eingefallen. Zunächst mal zu den Maßen: In der Mitte soll ein 10 Einheiten (Meter) großer kreisförmiger Platz bleiben. Um cm streiten wir uns jetzt nicht, es reicht, wenn also die erste Reihe an kleinen Kreisen auf diesem liegt. Der Umfang wäre also 31,415 Einheiten (Meter). Die kleinen Kreise haben eine Durchmesser von 0,5 Einheiten. Also passen auf den Kreis 62 kleine Kreise. Und nu? Also...die Innenfläche, die frei bleiben soll hat 10 Einheiten im Durchmesser. Die Anzahl kleiner Kreise, die sich um diese freie Fläche "scharen" sollen beträgt (festhalten) 107.000.000.000 (am besten einfach nicht fragen warum). So, wie groß wird denn nun der Außenkreis, damit die Fläche gerade groß genug ist, um diese Anzahl kleiner Kreise aufzunehmen? Grüße Patrick |
||||||
| 28.07.2009, 23:30 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn es wirklich so viele Kreise sind, dann ist das von dir beschriebene Verhalten in der Mitte nahezu venachlässigbar: Der Kreis vom Durchmesser 10 entspricht ja flächenmäßig deiner kleinen Kreise, was angesichts von 107.000.000.000 Kreisen insgesamt dann vernachlässigbar ist. Also: Pack die kleinen Kreise in die bekanntermaßen optimale Hexagonalstruktur, schätze den dazu nötigen Flächeninhalt ab, und berechne einen zugehörigen Umfangradius dazu. |
||||||
| 29.07.2009, 11:42 | hellmachine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
HAllo Artur, danke für die Antwort...ich muss da mal eben was zitieren:
Aber ich versuchs trotzdem mal...ich bin ja immerhin in der Lage Google, einen Kugelschreiber, ein Blatt Papier und einen Taschenrechner zu bedienen 
Nun zum Gedankenansatz... Ich würde aus dem Bauch heraus die Fläche des Hexagons mit meiner genannten Anzahl multiplizieren, daraus würde sich eine entsprechende Fläche ergeben. Diese Fläche setz ich dann mit dem Flächeinhalt eines Kreises mit Radius r gleich und löse nach r auf ... -Ein Hexagon besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge a -Die Fläche des Hexagon wäre dann 3 * a² * sqrt(3) / 2 -Bei einem Radius des Hexagon von 0,25 wäre die Fläche ca. 0,162 -Die Anzahl meiner Hexagon ist x -Die Resultierende Fläche daraus wäre also x * 3 * a² * sqrt(3) / 2 -Bei einer Anzahl von 107.000.000.000 Hexagon wäre die Fläche also ca. 17374634663,425 -Jetzt muss ich trotz alledem die Fläche der Mitte noch dazuaddieren...so bleibts flexibel, falls sich der Raum mal ändert -den Radius des Mittelraums nenne ich einfach m somit die Fläche der Mitte m² * PI -Macht also m² * PI + x * 3 * a² * sqrt(3) / 2 -Bei einem Durchmesser des freibleibenden Kreises von 10 Einheiten (also m=5) ergibt sich ein Fläche von ca. 17374634741,965 -Diese Zahl setze ich dann mit der Fläche eines Kreises mit dem Radius r gleich 17374634741,965 = r² * PI -Das entspricht dann r = sqrt(17374634741,965 / PI) -Bleibt also r = 74367,452 So, alles nochmal zusammengefügt: r = sqrt(m² * PI + x * 3 * a² * sqrt(3) / 2 / PI) Supi...bleibt nur noch die Frage, wie ich den halbierten, geviertelten und was weiß ich nicht noch Hexagon des äußersten Bereichs entgegenwirke. Bei der Anzahl dürfte es nicht zu vernachlässigen sein. Vielleicht als Gedankenansatz (es kommt mir im Durchmesser nun nicht auf 1 oder 2 Einheiten an)...wenn ich den Radius anschließend einfach um eine Einheit erhöhe...Demnach sollte sogar die Hexagon auf der äußersten "Linie" komplett reinpassen, die nur noch zu einem Bruchteil bestehen. Dann hätte ich also r = sqrt(m² * PI + x * 3 * a² * sqrt(3) / 2 / PI) + 1 Hm...damit könnte ich leben...gibts noch was genaueres? Grüße Patrick |
||||||
| 29.07.2009, 11:46 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt zum größten Teil, aber hier ist ein Denkfehler:
Was du da hier berechnest, ist ein dem Kreis einbeschriebenes Hexagon. Was du aber brauchst, ist ein dem Kreis umbeschriebenes Hexagon!
Das bewegt sich alles im Bereich plus/minus ein Durchmesser des kleinen Kreises. Brauchst du es wirklich so genau? Das ist ein relativer Fehler kleiner als für den Durchmesser des äußeren Kreises, man muss die Kirche auch mal im Dorf lassen. 
Zum Vergleich: Dein Denkfehler oben bewirkt einen relativen Fehler von mehr als , das wäre wirklich böse. |
||||||
| 29.07.2009, 14:27 | hellmachine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja...es geht mir hier um relative Zahlen... Aus einer Diskussion entstand die Frage, wieviele Menschen wohl um das Jahr 2100 herum auf der Erde gelebt haben (absolut). Nach Recherchen bin ich bis heute zu der Zahl 100.000.000.000 Menschen gekommen...also Menschen unserer Gattung (Homo Sapiens). Da ich davon ausgehe, dass alle derzeit lebenden Menschen um 2100 gestorben sein werden (mit der Ausnahme von mir, weil ich mir fest vorgenommen habe, 400 zu werden...aber das ist eine andere Geschichte), kommen nochmal knapp 7.000.000.000 Menschen dazu. Stellte sich die Frage, wieviel das eigentlich ist. Also wollte ich die mal kreisförmig aufstellen, wobei der Platz in der Mitte für ein Objekt zum Größenvergleich oder ähnliches herhalten soll. Daher auch variabel gehalten. Ich gehe einfach mal davon aus, dass ein Mensch im Durchschnitt in einem Kreis mit 0,5 Meter durchmesser stehen kann. Das ist ein ca-Wert...daher kann ich auch das dem Kreis einbeschriebene Hexagon nehmen. Die Vorstellung, dass alle Menschen, die jemals gelebt haben in einen Kreis passen, der knapp 150 Kilometer durchmesser hat...irgendwie hätte ich da auf wesentlich mehr getippt... |
||||||
| 29.07.2009, 14:30 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit deiner gewählten Zeitform hast du dich als Zeitreisender aus der fernen Zukunft geoutet. Willkommen im Jahr 2009. 
Das heißt also, diese 15% Fehler sind dir egal, aber um die um Größenordnungen kleineren der "Randeffektfehler" machst du dir große Sorgen? Ich glaube, du musst mal deine Verhältnis-Maßstäbe etwas justieren.
|
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
| 29.07.2009, 14:33 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn noch drei Leute in den Zug steigen ist er leer. 
|
||||||
| 29.07.2009, 14:36 | hellmachine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Natürlich nicht...aber die derzeitig gerechneten Menschen sind dann tot...Stand heute knapp 100.000.000.000. So...da ich aber nicht davon ausgehe, dass die Erde um 2100 leer sein wird, wird es neue 7.000.000.000 Menschen geben. Neue Generationen, die es jetzt noch nicht gibt. Die fallen ebenfalls unter "bis jetzt gelebt haben"...auch wenn sie noch leben. |
||||||
| 29.07.2009, 14:42 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Alle, die im Jahre 2100 älter als 91 Jahre sind, müssen bereits heute auf der Welt sein. Das müssten schätzungsweise zig, wenn nicht gar Hunderte Millionen Menschen sein - je nachdem, wie sich die Lebenserwartung vor allem in den Entwicklungs- und Schwellenländern entwickeln wird.
|
||||||
| 29.07.2009, 14:44 | hellmachine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja...hätte jetzt gedacht, dass die äußeren Bereiche wesentlich mehr ausmachen. Naja...dann wirds halt ein wenig enger für alle... Ausserdem waren die Menschen früher eh kleiner, da kommen die auch mit weniger Platz aus. Aber nichtsdestotrotz ist die Sache mal recht interessatn. Anfangs hatte ich keine Ahnung, wie man da auf nen Wert kommen soll... |
||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
