Kreislinie |
| 02.08.2009, 15:11 | dada | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kreislinie
Ich habe schon wieder etwas gefunden, was ich nicht begreife: Eine Kreislinie enthält den Punkt P (-1/1), berührt die Gerade mit der Gleichung y =9 und hat den Mittelpunkt M auf der Geraden mit der Gleichung x -y +1 = 0. (a) Bestimmen Sie die Gleichungen der beiden möglichen Kreislinien. (b) Wählen Sie nun diejenige Kreislinie mit dem kleineren Radius; diese schneidet die y-Achse in zwei Punkten. Bestimmen Sie denjenigen Punkt S mit y_s > 0. Betrachten Sie nun das Dreieck MPS und berechnen Sie dessen Innenwinkel. Nun habe ich die Geraden und den Punkt einmal gezeichnet. Mir ist leider in keiner Weise klar, was diese Menschen mit Kreislinie meinen. Zuerst dachte ich, es müsste der Radius sein, doch das macht keinen Sinn, wenn man die Erfordernisse der Aufgabe betrachtet. Auf Wikipedia sieht es so aus, als wäre damit eine (beliebige) Kreissehne gemeint, doch auch wenn es so ist, kann ich mir nicht ausmachen, wie ich konkret an diese Aufgabe herangehen soll. 
Wer weiss mehr? |
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| 02.08.2009, 16:12 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, ein Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte, die von einem gegebenen Mittelpunkt M den gleichen Abstand r haben. Und die Menge dieser Punkte bilden die Kreislinie. Die Länge der Kreislinie ist der Umfang des Kreises. Du hast ja schon in anderen Postings erfahren, dass man die Kreislinie in der Ebene analytisch beschreiben kann durch eine Kreisgleichung: (x - m1)² + (y - m2)² = r² Dabei ist M (m1 | m2) der Mittelpunkt des Kreises und r der Radius des Kreises. Ein Kreis kann also durch die Angabe von m1, m2 und r eindeutig beschrieben werden. Du weißt nun, dass der Punkt P (-1 | 1) auf der Kreislinie liegt. Also müssen seine Koordinaten die Kreisgleichung erfüllen: (-1 - m1)² + (1 - m2)² =r² Der Mittelpunkt des Kreises liegt auf der Geraden x - y + 1 = 0. Also müssen die Koordinaten des Mittelpunktes die Geradengleichung erfüllen: m1 - m2 + 1 = 0 Die Tatsache, dass die Kreislinie die Gerade mit der Gleichung y = 9 berührt, heißt doch, dass der Kreis entweder oberhalb oder unterhalb dieser Geraden liegt. Nehmen wir zunächst mal an, der Kreis liegt überhalb der Tangenten Dann ist doch m2 = r + 9 Damit haben wir drei Gleichungen mit drei Unbekannten erhalten. Und das sollte man lösen können. Es kommen zwar Quadrate der Unbekannten vor, aber das sollte für dich eigentlich auch kein unüberwindliches Hindernis darstellen, weil sich die meisten Quadrate gegenseitig aufheben! Damit haben wir den Fall gelöst, wenn der Kreis OBERHALB der Tangente liegt. Und nun machst du das gleiche Spielchen noch einmal für den Fall, dass der Kreis UNTERHALB der Tangente liegt ... Und schon ist die Aufgabe gelöst! 
Grüße |
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| 02.08.2009, 16:23 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
oder so ähnlich
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| 02.08.2009, 16:56 | dada | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, danke beiden für die Beiträge. Es braucht also ein Gleichungssystem. Wieso kann denn nun der Kreis plötzlich auch oberhalb dieser Geraden liegen??? Gemäss Aufgabe gibt es ja nur zwei Kreise und einer oberhalb der Geraden kann diese Gerade nicht berühren, sondern nur schneiden, wenn er tatsächlich durch den Punkt P geht. |
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| 02.08.2009, 17:00 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kann er eh nicht, wenn die gerade y = 9 gemeint ist, siehe mein bilderl 
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| 02.08.2009, 18:28 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das hat "riwe" sehr nett ausgedrückt. Mit anderen Worten, meinen Beitrag muss ich ein wenig korrigieren: Die nachfolgenden beiden Gleichungen waren korrekt: (-1 - m1)² + (1 - m2)² =r² m1 - m2 + 1 = 0 Aber die Sache mit der Tangente ist nicht richtig. Tatsächlich kann es OBERHALB der Tangente keine Lösungen geben. Es gibt es also nur Lösungen UNTERHALB der Tangente! Für den kleinen Kreis gilt beispielsweise: r + m2 = 9 Damit hat man wieder drei Gleichungen (von denen eine quadratisch ist) mit den drei Unbekannten m1, m2 und r. Und dieses Gleichungssystem kann man lösen. Grüße |
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| 02.08.2009, 19:53 | dada | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Hinweise. Habe jetzt dieses Gleichungssystem einmal aufgelöst und für v die Werte 8 und - 20 erhalten, das stimmt ja wohl kaum, oder? |
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| 02.08.2009, 20:34 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und was ist v 
schon eher
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| 02.08.2009, 23:17 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weil ich dich vorhin verwirrt habe, hier noch eine kleine Hilfestellung beim Auflösen des Gleichungssystems. Wir formen die drei Gleichungen wie folgt um: (1 + m1)² + (1 - m2)² = r² (wir haben -1 aus der ersten Klammer ausgeklammert und beachten, dass (-1)² = 1 ist) 1 + m1 = m2 r = 9 - m2 Wir setzen nun die rechte Seite der 2. und 3. Gleichung in die 1. Gleichung ein m2² + (1 - m2)² = (9 - m2)² Wenn man die Quadrate auflöst erhält man m2² + 1 - 2 * m2 + m2² = 81 - 18 * m2 + m2² Durch Zusammenfassen ergibt sich die einfach quadratische Gleichung m2² + 16 * m2 - 80 = 0 Und wenn du darauf nun die "Mitternachtsformel" anwendest, dann erhältst du ruck-zuck die beiden von "riwe" genannten Lösungen.
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| 03.08.2009, 13:29 | dada | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
v ist m_y, sorry, mein Formelbuch bezeichnet dies so in der Formel für Kreisgleichung..
dann erhält man ja grad die y-koordinate beider mittelpunkte, praktisch. mache mich mal an den rest der aufgabe.. |
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| 03.08.2009, 14:01 | dada | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Kreislinie
Die Kreislinie schneidet die y-Achse im Ursprung (0/0) und bei (0/8). Radius des Kreises wie immer r = 5. Die Innenwinkel sind Pw = YSw = 45 ° und der bei y_m 90°. Hoffe das stimmt jetzt?! |
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| 03.08.2009, 20:37 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Yip, jetzt ist alles richtig. Die Vektoren MP und MS stehen senkrecht aufeinander und sind gleichlang. Daraus folgt sofort dein Ergebnis.
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