Ein paar Zahlentheoretische Aufgaben-Faktorisieren

02.08.2009, 18:59

mathe760

Ein paar Zahlentheoretische Aufgaben-Faktorisieren

Hallo,

ich mache gerade wieder ein paar Zahlentheoretische Aufgaben, aber bei diesen komme ich nicht weiter und benötige Ansätze:

A1: Bestimme alle Paare von ganzen Zahlen (x,y), die die Gleichung $\begin{eqnarray*} y^2\cdot (x^2+1)+x^2\cdot (y^2+16)=448 \end{eqnarray*}$ erfüllen.

A2: Bestimme alle Paare von natürlichen Zahlen (x,y) für die die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2+2x-xy-3y=1997 \end{eqnarray*}$

Ich denke diese beiden Aufgaben kann man mit einer geeigneten Faktorisierung lösen, jedoch komme ich in beiden Fällen nicht auf die zugehörigen Faktoren.

A3: Sei n eine natürliche Zahl. Seien weiter d1<d2<d3<d4 de vier kleinsten Teiler von n. Bestimme sämtliche ganzen Zahlen n, die

$\begin{eqnarray*} n=d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2 \end{eqnarray*}$ erfüllen.

Das wars erst mal, für Ansätze wäre ich sehr dankbar.

Bis denn mathe760 Wink

02.08.2009, 20:17

sqrt4

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Bei der ersten kommt man weiter, wenn man mehrmals verwendet, dass eine der Variablen durch 2 teilbar sein muss.

02.08.2009, 21:36

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RE: Ein paar Zahlentheoretische Aufgaben-Faktorisieren

Zitat:

Original von mathe760
Ich denke diese beiden Aufgaben kann man mit einer geeigneten Faktorisierung lösen, jedoch komme ich in beiden Fällen nicht auf die zugehörigen Faktoren.

Das ist die richtige Idee. Schau dir doch die Strukturen genau an, dann solltest du eigentlich sehen, dass hier Faktorisierungen

A1: $\begin{eqnarray*} (2x^2+a)(y^2+b) = c \end{eqnarray*}$

A2: $\begin{eqnarray*} (x-y+d)(x+e) = f \end{eqnarray*}$

mit zu bestimmenden ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} a,\ldots,f \end{eqnarray*}$ möglich sind.

04.08.2009, 22:13

mathe760

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Hallo,

Danke Arthur Dent für den Hinweis. Die Faktorisierungen wären dann jeweils:

$\begin{eqnarray*} A1: (2x²+1)\cdot (y²+8)=456=2^3\cdot3 \cdot19 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} A2: (x-y-1)\cdot (x+3)=1994=2\cdot 997 \end{eqnarray*}$

Die Lösungen wären dann

$\begin{eqnarray*} A1: (x,y)=(\pm 3,\pm 4) und (x,y)=(\pm 1, \pm 12) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A2: (x,y)=(1991,1989) und (x,y)=(994,991) \end{eqnarray*}$

Aber bei der 3. Aufgabe komme ich überhaupt nicht weiter, wäre schön wenn ich da noch einen kleinen Schubs in die richtige Richtung bekäme. smile

Bis denn mathe760 Wink

04.08.2009, 22:39

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Zitat:

Original von mathe760
A3: Sei n eine natürliche Zahl. Seien weiter d1<d2<d3<d4 die vier kleinsten Teiler von n. Bestimme sämtliche ganzen Zahlen n, die

$\begin{eqnarray*} n=d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2 \end{eqnarray*}$ erfüllen.

Da ist wohl vier kleinsten positiven Teiler gemeint? Schließlich können auch negative Zahlen Teiler sein... Augenzwinkern

Naja, $\begin{eqnarray*} d_1=1 \end{eqnarray*}$ ist ja dann wohl klar. Als zweites überleg dir, dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade sein muss - dann folgt auch $\begin{eqnarray*} d_2=2 \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt dann, dass unter $\begin{eqnarray*} d_3,d_4 \end{eqnarray*}$ genau eine gerade und genau eine ungerade Zahl sein muss ... und dann ist man schon fast fertig. smile

05.08.2009, 23:24

Arcanis

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Mal ne Frage,

Wenn ich jetzt so ein Problem wie bei A1 und A2 hab, und ich hab absolut keine Ahnung wie ich des Faktorisieren soll, wo soll ich dann anfangen?? Bzw. Wie erkenne ich denn so ne Struktur??

05.08.2009, 23:55

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Wenn du "absolut keine Ahnung" hast, dann solltest du dir erstmal eine Reihe ähnlicher Aufgaben mit Lösung anschauen, dann bekommst du hoffentlich nach und nach ein Gefühl dafür, was möglich ist und was nicht.

Das sind hier keine Problemstellungen für stures automatisiertes Vorgehen bei der Lösung, das sollte dir bewusst sein.

06.08.2009, 15:50

mathe760

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Vielen Dank Arthur Dent, werde das gleich mal nachher umsetzen, dass Problem sollte damit beseitigt sein. smile

(Die Teiler sind natürlich positive Zahlen, habe ich vergessen aufzuschreiben...)

Wegen A1 nochmal: Da wird ja nach allen ganzzahligen Lösungspaare gefragt, also gibt es insgesamt 8 verschiedene Paare, die die Gleichung erfüllen. Dies habe ich aber noch nicht deutlich genug hingeschrieben mit dem +- oder? Sollte ich dann zum Beispiel noch dazu schreiben: Insgesamt gibt es demnach 8 verschiedene Lösungen und dann weiß man das damit die folgenden Lösungspaare gemeint sind:

$\begin{eqnarray*} \L=\left\{(x,y) fuer die gilt (x,y)=(3,-4) ; (-3,4) ; (-3,-4) ; (1,12) ; (1,-12) ; (-1,12) ; (-1,-12)\right\} \end{eqnarray*}$

Bis denn mathe760 Wink

06.08.2009, 16:02

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Ist auf alle Fäller sicherer. Mehrfaches Vorkommen von $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ kann nämlich auf verschiedene Arten gedeutet werden:

So könnte man $\begin{eqnarray*} (\pm 3,\pm 4) \end{eqnarray*}$ auch nur als die zwei Paare $\begin{eqnarray*} (3,4) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-3,-4) \end{eqnarray*}$ deuten, in diesem Sinne wird nämlich $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ auch manchmal gebraucht. In diesem letzteren Sinne kennzeichnet dann $\begin{eqnarray*} (\pm 3,\mp 4) \end{eqnarray*}$ die beiden Paare $\begin{eqnarray*} (3,-4) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-3,4) \end{eqnarray*}$

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