große charakteristische Polynome

06.08.2009, 22:05

blade22

große charakteristische Polynome

Hallo zusammen,
ich beschäftige mich das erstemal mit charakteristischen Polynomen dieser größe.
Für diese Matrix sollen die Eigenwerte sowie Eigenräume bestimmt werden.

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3-\lambda & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3-\lambda & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 3-\lambda & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 3-\lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Man könnte natürlich jetzt einfach quasie Determinanten entwickeln und so auf das Polynom kommen, ist aber sehr aufwendig und sehr sehr Fehlerträchtig.
Eine andere Methode wäre wohl erst durch Zeilen und Spalten umformungen. möglichst viele Nullen zu erzeugen und damit sich die Determinanten entwicklung erheblich verkürzen, mal ganz abgesehen von dem schnellen bestimmen der Nullstellen.

Leider tuhe ich mich sehr schwer mit geschickten Umformungen so das das leider für mich kaum zum Ziel führt.
Hat jemand eine bessere Vorgehensweise bzw. eine Ansatzhilfe wie man in diesen Matrizen, die besagten Nullen schneller oder einfacher erzeugen kann?

Mit den ersten Umformungen würde man dann hier hin gelangen (Entwicklung nach Zeile 4):

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4-\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3-\lambda & 1 & -2 \\ 1 & 3-\lambda & 2 \\ -1 & 1 & 4-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Danke schon mal.

07.08.2009, 02:11

Mathespezialschüler

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Da hilft Raten und ein gutes Auge zum Ausprobieren. Bei der Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gilt

$\begin{eqnarray*} \text{1. Zeile}-\text{2. Zeile}+\text{3. Zeile}-\text{4. Zeile}=0 \end{eqnarray*}$ .

Also ist die Matrix nicht invertierbar und besitzt schon einmal den Eigenwert Null. Als nächstes habe ich Zwei als Eigenwert getestet und festgestellt, dass

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

invertierbar ist. Zwei ist also kein Eigenwert. Die nächste naheliegende Möglichkeit ist mMn Vier als Eigenwert. Tatsächlich ist die Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nicht invertierbar. Sie hat sogar nur Rang Eins! Was kannst du nun für Schlüsse ziehen?

07.08.2009, 16:23

blade22

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Nun das leuchte mir soweit ja alles ein führt aber an meinen Problem dran vorbei.
Bei manchen Matrizen kann man sich durchaus eine gewissen Symetrie zunutze machen, aber leider bei den meisten nicht. Hier mal ein anderes Bsp:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & -1 \\ -2 & 5-\lambda & -1 \\ -3 & 4 & 1-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich sowas lösen muss, stehe ich dermasen aufm Schlauch das ich zwar einiges umgestellt bekomme, ich aber anscheind zu blöd bin es so umzustellen das ich mehr als eine Null pro Zeile und Spalte erzeugen kann. Forum Kloppe

Grüße Blade

07.08.2009, 16:38

WebFritzi

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Warum werden hier eigenntlich immer die gleichen Fragen gefragt. Im Allgemeinen kommst du um Raten nicht herum. Dabei kannst du dir folgendes zunutze machen: "Ist p ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, dann ist jede ganzzahlige Nullstelle von p ein Teiler des absoluten Gliedes von p."

07.08.2009, 16:43

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@blade22

Erstens ist das eine 3x3-Determinante, die du gut mit der Sarrusschen Regel berechnen kannst.

Zweitens ist es nicht unbedingt nötig, alle Spalten- oder Zeilenelemente bis auf eins zu Null zu machen - man kann den Laplaceschen Entwicklungssatz auch noch einigermaßen erträglich anwenden, wenn ein paar mehr (z.B. zwei) Nichtnullelemente vorhanden sind.

Wichtig ist nur, überhaupt was zu tun, statt nur zu klagen - das ist nämlich die allerschlechteste Variante.

07.08.2009, 16:57

blade22

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Möglich das ich mich nicht wirklich gut ausdrücke, aber es ging hierbei nicht um die Polynomdivision und das erraten der ersten Nullstelle sondern um Matrizen entwicklungen, sprich Determinantenbildung.

Mein Problem ist das ich es nicht schaffe in diesen Matrizen (wenn es eineCharakteristische Matrize ist) in einer Zeile oder Spalte so viele Nullen zu erzeugen das nur noch ein Wert in der besagten Zeile bzw Spalte steht.

Wenn man nur noch einen Wert in einer Zeile bzw. Spalte hat kann man nach diesen Wert (der dann auch Linearfaktor des Polynoms ist) sehr leicht entwickeln und verkleinert die Matrize so um eine Dimension.

Der lange Weg wäre natürlich die ganze Matrize vollständig zu entwickeln und diese dann langwierigerweise Auszumultiplizieren. Danach würde man dann Nullstellen raten und Polynomdivision durchführen um dann iwann nur noch Linearfaktoren stehen zu haben.

Der lange Weg wäre bei einer 3x3 noch gangbar wenn auch fehleranfällig, bei größeren Matrizen wie z.B. 5x5 ist das aber kaum mehr möglich, daher habe ich noch ein paar Ideen oder Hilfen gefragt um mein vernagelten Kopf auf die Sprünge zu helfen um einfacher diese von mir benötigten Nullen zu erzeugen .

Grüße Blade Wink

Edit: Es geht mir ja insbesondere um die Linearfaktoren, wenn man die vollständige Entwicklung macht hat man ja ne Funktion n-ten Grades wodran man die Nullstellen nicht ablesen kann. Daher die vielen Nullen um Linearfaktoren ablesen zu können.

Grüße

07.08.2009, 17:12

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Schöner langer Vortrag - aber bin ich nicht gerade auf den wichtigsten deiner Einwände eingegangen?

Zitat:

Original von Arthur Dent
Zweitens ist es nicht unbedingt nötig, alle Spalten- oder Zeilenelemente bis auf eins zu Null zu machen - man kann den Laplaceschen Entwicklungssatz auch noch einigermaßen erträglich anwenden, wenn ein paar mehr (z.B. zwei) Nichtnullelemente vorhanden sind.

Besser der Spatz in der Hand (zwei Nichtnullen) als die Taube auf dem Dach (eine Nichtnull).

07.08.2009, 17:22

WebFritzi

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RE: große charakteristische Polynome

Zitat:

Original von blade22
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3-\lambda & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3-\lambda & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 3-\lambda & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 3-\lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Zum Beispiel hier kannst du in der ersten Spalte alle Einsen bis auf eine zu Null machen, aber eine wird stehen bleiben, sagen wir, die in der zweiten Zeile. Jetzt könntest du erste und zweite Zeile vertauschen und dann die 3-\lambda wegmachen.

08.08.2009, 14:43

blade22

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Cool die letzte Info hats schon gebracht, kaum zu glauben is aber so LOL Hammer

.
Ich hab einfach ein paar Grundregeln nicht angewand...

Am Ende bekommt man somit auf die Linearfaktoren (4-\lambda) und \lambda selbst.
Um nun die Eigenräume zu bilden werden wird 4 bzw 0 in die Matrize eingesetzt und wieder umgeformt.

Für \lambda = 0 ist das nach vereinfachung aus der Matrize abzulesen:

$\begin{eqnarray*} Matrize: \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 4 \end{pmatrix} Eigenraum: \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für (4-\lambda)^3 ist das für mich noch nicht zu verstehen:

Matize: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Raum: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ; \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} ; \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Frage nach langer Vorrede ist, wie man aus dieser Matrize die drei Eigenvektoren ablesen kann. Ich meine mich dran zu erinneren das es sowas wie ein "-1 Ergänzungstrick" gab, habe dazu aber nicht in meinen Büchern oder im Internet gefunden.

Grüße Blade

08.08.2009, 16:23

Mathespezialschüler

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Es geht um das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} x_1-x_2+x_3-x_4=0 \end{eqnarray*}$ ,

von dem du drei linear unabhängige Lösungen finden sollst.

12.08.2009, 18:29

blade22

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Nun das konnte ich mir schon denken, aber das würde ja heißen das jede Werte für w,x,y,z, die die Gleichung erfüllen einen Eigenvektor bzw Eigenraum ergeben?
Mich irietert das in soweit das in der Musterlösung explizt 3 Vektoren angegeben sind, zumal ohne ein Vermerk auf die beliebigkeit.

Aber nicht des do trotz, danke für die vielen Antworten.

Grüße Blade

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