[Lin. Alg. I] Determinanten (Induktionsanwendung)

07.08.2009, 18:32

Patriot

[Lin. Alg. I] Determinanten (Induktionsanwendung)

Ich schreibe am Montag meine LA I Klausur und löse Übungsaufgaben.
Ich habe noch Probleme mit Determinanten, insbesondere Induktionsbeweise.
Folgende Determinate soll ich berechnen mit Induktionsbeweis:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ... & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ... & 0 \\ 0 & x & 1+x^2 & ... & 0 \\ ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1+x^2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Für den Ind.-Anfang habe ich bis n=3 ausgerechnet
$\begin{eqnarray*} n=1: \begin{vmatrix} 1+x^2\end{vmatrix} = 1 + x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=2: \begin{vmatrix} 1+x^2 & x \\ x & 1+x^2 \end{vmatrix}=1 + x^2 + x^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=3: \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 \\ x & 1+x^2 & x \\ 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix} = 1+x^2 +x^4 +x^6 \end{eqnarray*}$
Folglich schliesse ich für allgemeines n auf $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~x^{2k} \end{eqnarray*}$ (das 2k will einfach nicht in den Exponenten)
Ind.-Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~x^{2k} \end{eqnarray*}$

Ind.-Schritt (n -> n+1):

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ... & 0 & 0 & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ... & 0 & 0 & 0 \\ 0 & x & 1+x^2 & ... & 0 & 0 & 0\\ ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1+x^2 & x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ... & x & 1+x^2 & x \\ 0 & 0 & 0 & ... & 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich überlegt, nach der letzten Zeile zu entwicklen, dann bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} - x * \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ... & 0 & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ... & 0 & 0 \\ 0 & x & 1+x^2 & ... & 0 & 0 \\ ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1+x^2 & x \\ 0 & 0 & 0 & ... & x & x \end{vmatrix} + (1+x^2) * \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ... & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ... & 0 \\ 0 & x & 1+x^2 & ... & 0 \\ ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1+x^2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Beim 2. Summanden kann ich die Induktionsvoraussetzung einsetzen, aber was mach ich mit dem 1. ?
Wenn es so nicht weitergeht, welcher Ansatz ist besser?
Für Hilfe bin ich dankbar.

07.08.2009, 19:14

Leopold

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Nach der Entwicklung die erste Determinante, vorletzte Zeile, letztes Element: da ist ein Fehler. Korrigiere diesen und entwickle diese Determinante noch nach der letzten Zeile. Dann bist du am Ziel.

07.08.2009, 19:42

Patriot

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danke - Konzentrationsfehler. Der Eintrag muss 0 sein.

Nach der 1. Enwticklung ergibt sich, also nach der Korrektur:

$\begin{eqnarray*} - x * \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ... & 0 & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ... & 0 & 0 \\ 0 & x & 1+x^2 & ... & 0 & 0 \\ ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1+x^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ... & x & x \end{vmatrix} + (1+x^2) * \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ... & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ... & 0 \\ 0 & x & 1+x^2 & ... & 0 \\ ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1+x^2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Nochmaliges Enwtickeln nach der letzten Zeile ergibt:

$\begin{eqnarray*} - x *( (-x)* \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ... & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ... & 0 \\ 0 & x & 1+x^2 & ... & 0 \\ ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} + x * \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ... & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ... & 0 \\ 0 & x & 1+x^2 & ... & 0 \\ ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1+x^2 \end{vmatrix}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} + (1+x^2) * \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ... & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ... & 0 \\ 0 & x & 1+x^2 & ... & 0 \\ ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1+x^2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Wobei die ersten beiden Determinanten (n-1)x(n-1) und die letzte nxn ist.
Die letzte Spalte ist 0, somit ist die 1. die Determinante Null, dann ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} -x^2 * \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ... & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ... & 0 \\ 0 & x & 1+x^2 & ... & 0 \\ ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1+x^2 \end{vmatrix}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} + (1+x^2) * \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ... & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ... & 0 \\ 0 & x & 1+x^2 & ... & 0 \\ ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1+x^2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Einsetzen der Ind.-Voraussetzung ergibt:

$\begin{eqnarray*} -x^2 * \sum_{k=0}^(n-1)~x^(2k) + (1+x^2) * \sum_{k=0}^n~x^(2k) \end{eqnarray*}$ Irgendwie hat Latex probleme mit summen.. das soll heißen bis n-1.
das ist gleich
$\begin{eqnarray*} -\sum_{k=0}^(n-1)~x^(2k+2) + \sum_{k=0}^n~x^(2k) + \sum_{k=0}^n~x^(2k+2) = \sum_{k=0}^n~x^(2k) + x^(2n+2) = \sum_{k=0}^(n+1)~x^(2k) \end{eqnarray*}$
q.e.d.
Freude

Vielen Dank

07.08.2009, 20:07

Patriot

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Neue Aufgabe
Ich habe noch eine Aufgabe, und zwar soll ich diese Determinante allgemein (mit Induktion) berechnen.

$\begin{eqnarray*} A(n):=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & .. & 1 \\ 1 & 0 & 1 & ... & 1 \\ 1 & 1 & 0 & ... & 1 \\ ... \\ 1 & 1 & 1 & ... & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
Also, alles Einsen außer die Hauptdiagonale, die nur aus Nullen besteht.

Ind.-anfang: für die ersten paar n ausgerechnet ergibt:
n=1 => A(1) = 0
n=2 => A(2) = -1
n=3 => A(3) = 2
n=4 => A(4) = -3

Ind.-Vor.: A(n) = (-1)^(n+1) * (n-1)

Ind.-Schritt (n->n+1):

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & .. & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & ... & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & ... & 1 & 1 \\ ... \\ 1 & 1 & 1 & ... & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & ... & 1 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Ziehe ich von der letzten Zeile die vorletzte ab ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & .. & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & ... & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & ... & 1 & 1 \\ ... \\ 1 & 1 & 1 & ... & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1 & -1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Entwicklung nach der letzten Zeile:

$\begin{eqnarray*} -1 * \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & .. & 1 \\ 1 & 0 & 1 & ... & 1 \\ 1 & 1 & 0 & ... & 1 \\ ... \\ 1 & 1 & 1 & ... & 1 \end{vmatrix} -1 * \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & .. & 1 \\ 1 & 0 & 1 & ... & 1 \\ 1 & 1 & 0 & ... & 1 \\ ... \\ 1 & 1 & 1 & ... & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
Jetzt habe ich wieder daselbe Problem wie bei der vorherigen Aufgabe, die 2. Determinante ist die Ind.-Voraussetzung, aber die erste..entwickelt bringt mir da nichts, vllt irgendwo wieder eine zeile abziehen und dann entwickeln?

07.08.2009, 20:28

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Patriot
$\begin{eqnarray*} - x * \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ... & 0 & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ... & 0 & 0 \\ 0 & x & 1+x^2 & ... & 0 & 0 \\ ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1+x^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ... & x & x \end{vmatrix} + (1+x^2) * \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ... & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ... & 0 \\ 0 & x & 1+x^2 & ... & 0 \\ ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1+x^2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Nochmaliges Enwtickeln nach der letzten Zeile ergibt:

Hier hättest du auch nach der letzten Spalte entwickeln können und dir einen Schritt gespart! Vielleicht meinte Leopold das auch.

Zitat:

Original von Patriot
Irgendwie hat Latex probleme mit summen.. das soll heißen bis n-1.

Du musst geschweifte Klammern verwenden! Das hättest du im Formeleditor auch gefunden!

Zitat:

Original von Patriot
$\begin{eqnarray*} -1 * \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & .. & 1 \\ 1 & 0 & 1 & ... & 1 \\ 1 & 1 & 0 & ... & 1 \\ ... \\ 1 & 1 & 1 & ... & 1 \end{vmatrix} -1 * \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & .. & 1 \\ 1 & 0 & 1 & ... & 1 \\ 1 & 1 & 0 & ... & 1 \\ ... \\ 1 & 1 & 1 & ... & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Ziehe bei der ersten Matrix die letzte Zeile von allen anderen Zeilen ab, dann kannst du die Determinante leicht berechnen.

07.08.2009, 21:00

Patriot

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Nach der letzten Spalte zu entwickeln wäre eleganter gewesen stimmt, nur ein Eintrag Big Laugh

.
Ichwäre nicht so schnell darauf gekommen, die letzte Zeile von allen abzuziehen, das muss ich öfters üben um einen besseren Blick dafür zu bekommen Hammer

.

Ich danke euch beiden.

08.08.2009, 12:37

Leopold

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Hier hättest du auch nach der letzten Spalte entwickeln können und dir einen Schritt gespart! Vielleicht meinte Leopold das auch.

Oh ja - das meinte Leopold!
Aber gesagt hat er es anders. Gott

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