Beweis per Differenzialrechnung

08.08.2009, 10:26

Tarsuinn

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Beweis per Differenzialrechnung

Habe folgende Aufgabe und wüsste gerne wie man da ran gehen kann, Beweisaufgaben sind leider nicht meine Stärke, würde bei der Aufgabe spontan an der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung denken.

Die Funktionen f und g sind auf (a,b) differenzierbar und es gelte:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=g(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(x)=-f(x) \end{eqnarray*}$

ferner gilt:

$\begin{eqnarray*} f\left(\frac{a+b}{2}\right)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g\left(\frac{a+b}{2}\right)=0 \end{eqnarray*}$

Man beweise $\begin{eqnarray*} x\in (a,b) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} f²(x)=1-g^2(x) \end{eqnarray*}$

MfG

08.08.2009, 11:20

Ungewiss

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Untersuche die Funktion

$\begin{eqnarray*} h:x\mapsto f^2(x)+g^2(x) \end{eqnarray*}$

08.08.2009, 11:21

tmo

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Definiere:

$\begin{eqnarray*} h(x)=f^2(x)+g^2(x) \end{eqnarray*}$

und berechne $\begin{eqnarray*} h'(x) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} h\left(\frac{a+b}{2}\right) \end{eqnarray*}$

08.08.2009, 14:25

Tarsuinn

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Zitat:

Original von Ungewiss
Untersuche die Funktion

$\begin{eqnarray*} h:x\mapsto f^2(x)+g^2(x) \end{eqnarray*}$

Danke schonmal für die Antworten, für $\begin{eqnarray*} f²(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g²(x) \end{eqnarray*}$
setzt man aber nix ein oder? Die Funktion ansich hat man ja auch nicht gegeben. Die Ableitung wäre ja:

$\begin{eqnarray*} h'(x)=2f(x)+2g(x) \end{eqnarray*}$

War das so gemeint?

08.08.2009, 14:44

Ungewiss

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Du hast die Kettenregel vergessen.

08.08.2009, 15:59

Tarsuinn

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Zitat:

Original von Ungewiss
Du hast die Kettenregel vergessen.

Ah stimmt, da kann man doch dann das erste gegebene verwenden, also so:

$\begin{eqnarray*} h'(x)=2f(x)*g(x)+2g(x)*(-f(x)) \end{eqnarray*}$

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08.08.2009, 17:54

Airblader

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Ja. Und das wirst du ja wohl ausrechnen können! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was folgt daraus?

air

09.08.2009, 12:46

Tarsuinn

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Zitat:

Original von Airblader
Ja. Und das wirst du ja wohl ausrechnen können! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was folgt daraus?

air

Habs gerade mal ausgerechnet, komme auf:

$\begin{eqnarray*} h'(x)=2f(x)g(x)-2g(x)f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h'(x)=0 \end{eqnarray*}$

Somit wäre:

$\begin{eqnarray*} h\left(\frac{a+b}{2}\right)=0 \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?

Im Moment verstehe ich die Zusammenhänge der gegeben Werte/Funktionen nicht wirklich. traurig

traurig

09.08.2009, 13:35

AD

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Zitat:

Original von Tarsuinn
Somit wäre:

$\begin{eqnarray*} h\left(\frac{a+b}{2}\right)=0 \end{eqnarray*}$

Nein. Aus $\begin{eqnarray*} h'(x)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ folgt nicht $\begin{eqnarray*} h(x)=0 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} h(x)=c \end{eqnarray*}$ mit irgendeiner, anderweitig noch zu bestimmenden Konstante $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ .

09.08.2009, 15:03

Tarsuinn

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Irgendwie komm ich hier nicht weiter, was genau muss man denn hier zeigen? habe jetzt die ABleitung einer Funktion h(x) die es vorher nicht gab, also definiert ist als Hilfsfunktion aber für was? Gott

Gott

09.08.2009, 16:06

AD

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Zeigen musst du das

Zitat:

Original von Tarsuinn
Man beweise $\begin{eqnarray*} x\in (a,b) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} f²(x)=1-g^2(x) \end{eqnarray*}$

umgeformt $\begin{eqnarray*} f^2(x)+g^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ , und das sollte nach all den oben gemachten 99% an Vorarbeiten auch langsam möglich sein.

09.08.2009, 17:08

Tarsuinn

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Zeigen musst du das

Zitat:

Original von Tarsuinn
Man beweise $\begin{eqnarray*} x\in (a,b) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} f²(x)=1-g^2(x) \end{eqnarray*}$

umgeformt $\begin{eqnarray*} f^2(x)+g^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ , und das sollte nach all den oben gemachten 99% an Vorarbeiten auch langsam möglich sein.

Das mag jetzt vielleicht dumm klingen, aber ich glaub ich lass das lieber, sitze jetzt 2 Std da und versuche da einen Zusammenhang zu sehen und seh keinen. Werde mir das später nochmal ansehen... unglücklich

unglücklich

09.08.2009, 17:19

Leopold

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Du mußt dein Wissen nur zusammenfassen.

1. Du hast eine differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} h(x) = \left( f(x) \right)^2 + \left( g(x) \right)^2 \, , \ x \in (a,b) \end{eqnarray*}$ definiert.

2. Du hast von dieser Funktion die Ableitung berechnet: $\begin{eqnarray*} h'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ . Wenn die Steigung überall 0 ist, heißt das aber, daß die Funktion konstant ist. Noch einmal: $\begin{eqnarray*} h(x) \end{eqnarray*}$ ist eine konstante Funktion!

3. Jetzt denke an die Definition von $\begin{eqnarray*} h(x) \end{eqnarray*}$ . Dann hast du doch gezeigt: $\begin{eqnarray*} \left( f(x) \right)^2 + \left( g(x) \right)^2 \end{eqnarray*}$ ist eine konstante Funktion, etwa $\begin{eqnarray*} \left( f(x) \right)^2 + \left( g(x) \right)^2 = c \end{eqnarray*}$ .

4. Egal, welchen Wert $\begin{eqnarray*} x \in (a,b) \end{eqnarray*}$ du in $\begin{eqnarray*} \left( f(x) \right)^2 + \left( g(x) \right)^2 \end{eqnarray*}$ einsetzt, es muß sich immer dasselbe $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ergeben. Um nun $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, setze das einzige $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein, von dem du die Werte von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ kennst, nämlich den Mittelwert von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

09.08.2009, 17:57

Tarsuinn

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Ok das klingt alles logisch, verstehe ich auch. Hatte vor 1 Std mal die Idee für die Gleichung

$\begin{eqnarray*} (f(x))^2+(g(x))^2 \end{eqnarray*}$ die Werte für $\begin{eqnarray*} f,g\left(\frac{a+b}{2}\right) \end{eqnarray*}$ einzusetzen. Würde ja bedeuten:

$\begin{eqnarray*} (f(1))^2+(g(0))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1^2+0^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$

Somit wäre die Konstante 1, aber das schien mir zu einfach und ich habs verworfen, sollte das etwa die Lösung gewesen sein? verwirrt

verwirrt

09.08.2009, 18:26

Leopold

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Das ist ein bißchen durcheinander. Unterscheide Eingabe und Ausgabe einer Funktion.

$\begin{eqnarray*} x = \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ ist die Eingabe.

$\begin{eqnarray*} f \left( \frac{a+b}{2} \right) = 1 \end{eqnarray*}$ ist die Ausgabe.

Dagegen ist etwas wie $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$ in diesem Zusammenhang sinnlos. Du weißt ja nicht einmal, ob $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ im Definitionsintervall liegt. Dagegen ist sicher, daß der Mittelwert von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ liegt.

Ersetze in der folgenden Gleichung $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ stur durch $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ und verwende die Voraussetzung.

$\begin{eqnarray*} \left( f(x) \right)^2 + \left( g(x) \right)^2 = c \end{eqnarray*}$

09.08.2009, 18:41

Tarsuinn

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Ok werde mir das nochmal zurecht schreiben, denke aber da ich es so verstanden habe. Danke für die Mühen!

Schönen Sonntag noch!

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