Körpererweiterung über F_p

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Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »
Körpererweiterung über F_p
Hallo!

Ich habe gerade angefangen, mich mit endlichen Körpern zu befassen. Bevor ich über den Anfang rausgehe, möchte ich die Grundlagen richtig intus haben. Aber zwei, drei Dinge sind mir noch nicht klar. Ich versuche mal, es zusammenzufassen:

- Primkörper mit Primzahl p sind endliche Körper

- diese Primkörper lassen sich zu anderen endlichen Körpern erweitern

- jeder endliche Körper hat die Charakteristik

Soweit ist mir das eigentlich klar. Dann habe ich versucht, mir das mit dem Beispiel eines vier-elementigen Körpers zu illustrieren.

In Wikipedia hat es dazu auch ein Beispiel. Da steht, man müsse das Polynom nehmen, das über irreduzibel ist. Erste Frage: Wie bestimmt man das Polynom, das man als Grundlage nehmen will

Dann wird (wieder in Wikipedia) als Nullstelle von bezeichnet. Hier ist mein Problem: Woher weiss ich, dass t eine Nullstelle in ist, bevor ich diesen Körper überhaupt beschrieben habe?

Ich glaube, das wär's fürs erste... Danke für eure Tipps/Erklärungen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Die Charakteristik eines Körpers ist immer eine Primzahl , insbesondere also nicht eine Potenz mit davon. Aber jeder endliche Körper der Charakteristik hat Elemente für ein geeignetes .

Zitat:
Original von Philipp Imhof
In Wikipedia hat es dazu auch ein Beispiel. Da steht, man müsse das Polynom nehmen, das über irreduzibel ist. Erste Frage: Wie bestimmt man das Polynom, das man als Grundlage nehmen will

Ich weiß nicht, ob man das so allgemein beantworten kann. Ein Körper der Ordnung ist ein Zerfällungskörper des Polynoms über . Die Erweiterung ist seperabel und wird somit von einem Element erzeugt (Satz vom primitiven Element). Man könnte nun solch ein Element finden und dessen Minimalpolynom bestimmen. Dieses ist das gesuchte Polynom.

Zitat:
Original von Philipp Imhof
Dann wird (wieder in Wikipedia) als Nullstelle von bezeichnet. Hier ist mein Problem: Woher weiss ich, dass t eine Nullstelle in ist, bevor ich diesen Körper überhaupt beschrieben habe?

Man hat den Körper schon beschrieben. Das Polynom ist irreduzibel, also ist ein Maximalideal im Polynomring . Der Faktorring ist dann ein Erweiterungskörper von mit dem Erweiterungsgrad . Dies ist der gesuchte Körper, denn er muss vier Elemente enthalten. Außerdem hat in diesem Körper nun eine Nullstelle, und zwar ist das die Äquivalenzklasse von . Da es aber unangenehm ist, jetzt nur noch mit Äquivalenzklassen rumzurechnen und immer in diesem Faktorring arbeiten zu müssen, nennt man die Nullstelle einfach und sieht dann halt ein, dass gilt. Dabei erfüllt die Gleichung , da es ja eine Nullstelle von ist.

Das ist übrigens eine sehr übliche Methode: Rationale Zahlen sind eigentlich auch Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen, aber beim Rechnen mit rationalen Zahlen vergisst man das schon einmal. Reelle Zahlen sind z.B. Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen rationaler Zahlen, aber wir rechnen mit reellen Zahlen natürlich in ganz anderen Darstellungen, jedenfalls nie mit Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen.
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Präzisierung (der Charakteristik) und Erklärung.

Ich habe in der Zwischenzeit als Erweiterung von hinbekommen. Eigentlich nicht schwierig, aber halt gewöhnungsbedürftig.

Andere Frage: Wenn ich zu erweitern will, dann brauche ich ja ein in irreduzibles Polynom mit Grad 3. Da stehen mir zwei zur Verfügung, entweder oder . Mit beiden erhalte ich einen endlichen Körper mit 8 Elementen und kann die Verknüpfungstabelle für die Multiplikation machen.

Wenn ich das richtig verstanden habe, sind endliche Körper mit Elementen bis auf Isomorphie eindeutig. Mit der obigen Methode habe ich also einen Körper und einen , die isomorph zueinander sind. Darf man jetzt beide oder keinen als bezeichnen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Philipp Imhof
Darf man jetzt beide oder keinen als bezeichnen


Beide. Oder sagen wir es präziser: Beide Körper sind Inkarnationen (Modelle, Realisierungen) von .

Auch von etwa gibt es vierschiedene Modellierungen:

als die Menge der rationalen Cauchyfolgen modulo Nullfolgen
als die Menge der Dedekindschen Schnitte über
als die Menge der Folgen natürlicher Zahlen (Baireraum)
als die Menge der vorzeichenbehafteten unendlichen Dezimalbrüche (mit der bekannten Identifikation bezüglich der Periode 9)

Welche Modellierung man nimmt, ist lediglich von Gründen der Zweckmäßigkeit bestimmt. Fürs praktische Rechnen wird man wohl immer das vierte Modell heranziehen. So ist man es seit der Schule gewohnt. Für gewisse theoretische Untersuchungen können aber auch die ersten drei Modelle nützlich sein. Letztlich kommt es nur darauf an, daß die Axiome eines vollständig geordneten archimedischen Körpers erfüllt sind.
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, Leopold. Das mit R war mir so nicht bewusst; ich nehme an, das wird nächstes Semester in Analysis drankommen bzw. zumindest eingeführt.

Dann lese ich mal weiter und melde mich mit dem nächsten Problem wieder.... smile
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