Konvergenzradius

08.08.2009, 20:17

helft mir bitte

Konvergenzradius

Hi, wie kann ich bei folgender Potenzreihe den Konvergenzradius bestimmen

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~{(-1)^n x^{2n}} \end{eqnarray*}$

mich verwirrt das hoch 2n irgendwie

08.08.2009, 20:21

löw

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das kannst du meiner Meinung nach ignorieren!!

einfach normal den Limes von $\begin{eqnarray*} (-1)^n / (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ berechnen

08.08.2009, 20:24

oerny

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wie wärs damit, aber ohne Garantie!

ersetze 2n durch u, dann erhälst du:

$\begin{eqnarray*} c_n = (-1)^u/2 \end{eqnarray*}$
dann nimmst das Wurzelkriterium
$\begin{eqnarray*} c=\lim_{u \to \infty } \sqrt[u]{|c_n|} =\lim_{u \to \infty } \sqrt[u]{|(-1)^{u/2}|} \rightarrow 1^{\frac{1}{2}} =1 \end{eqnarray*}$
damit ist dein Radius
$\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{c}=1 \end{eqnarray*}$

passt das so?

08.08.2009, 20:39

Ungewiss

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RE: Konvergenzradius
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~{(-1)^n x^{2n}}=\sum_{n=0}^\infty ~{(-x^2)^n } \end{eqnarray*}$

Das ist eine geometrische Reihe, die genau dann konvergiert, wenn
$\begin{eqnarray*} x^2<1 \Leftrightarrow x\in(-1,1) \end{eqnarray*}$

08.08.2009, 20:42

oerny

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auch wenn ich jetzt scheller bin als der Aufgabensteller, was sagt das über den Konvergenzradius aus? jetzt steh ich auch auf dem schlauch.
Oder kann ich sagen:
Der Entwicklungspunkt hier dürfte 0 sein, demnach ist der Konvergenzradius |x| und aus dem Bereich für den die Potenzreihe konvergiert folgt r=1?

und was macht man wenn man nicht erkennt, dass es eine geom. Reihe ist?

08.08.2009, 21:46

system-agent

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@löw:
Das was du geschrieben hast ist Unsinn, man darf nichts einfach ignorieren.

Zitat:

Original von oerny
und was macht man wenn man nicht erkennt, dass es eine geom. Reihe ist?

Man nutzt die Formel von Cauchy-Hadamard.

08.08.2009, 21:49

oerny

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naja dann müsste ja mein lösungsvorschlag passen, da Cauchy-Hadamard eben auch nur ein hoch n drin hat, und die frage des aufgabenstellers war doch wie mit dem 2n umzugehen ist oder?

08.08.2009, 22:19

system-agent

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Die Formel von Cauchy-Hadamard sagt, dass für den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ einer Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n \end{eqnarray*}$ mit Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} z_0\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} R=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} \end{eqnarray*}$

[Beachte den Limes Superior !!]

Im Gegensatz zum Quotientenkriterium ist diese Formel immer anwendbar, da der Limes Superior immer existiert [gegebenenfalls uneigentlich].

In dem Fall könnte man so vorgehen:
Es ist
$\begin{eqnarray*} a_{2n}=\left\{\begin{array}{cc} 0 & n\text{ ungerade} \\ (-1)^n & n\text{ gerade}\end{array}\right. \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} R=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[2n]{|a_{2n}|}}=\frac{1}{1}=1 \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} 0<|-1|=1 \end{eqnarray*}$ .

08.08.2009, 22:25

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Zitat:

Original von system-agent
Es ist
$\begin{eqnarray*} a_{2n}=\left\{\begin{array}{cc} 0 & n\text{ ungerade} \\ (-1)^n & n\text{ gerade}\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Im Eifer des Gefechts hast du dich da etwas verhaspelt - sicher meinst du

$\begin{eqnarray*} a_n=\left\{\begin{array}{cc} 0 & n\text{ ungerade} \\ (-1)^{\frac{n}{2}} & n\text{ gerade}\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

09.08.2009, 11:00

oerny

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$\begin{eqnarray*} a_n=\left\{\begin{array}{cc} 0 & n\text{ ungerade} \\ (-1)^{\frac{n}{2}} & n\text{ gerade}\end{array}\right. \end{eqnarray*}$ [/quote]

woher kommt denn da die erste Zeile?
un dmuss ich dann das 2n als n setzen oder nich?

09.08.2009, 11:06

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~(-1)^nx^{2n}=1\cdot x^0+0\cdot x+(-1)\cdot x^2+0\cdot x^3+1\cdot x^4+0\cdot x^5+(-1)\cdot x^6+\ldots \end{eqnarray*}$ .

Jetzt klar? Augenzwinkern

Was du mit " $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ setzen" meinst, verstehe ich leider nicht.

09.08.2009, 11:27

oerny

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~(-1)^nx^{2n}=1\cdot x^0+0\cdot x+(-1)\cdot x^2+0\cdot x^3+1\cdot x^4+0\cdot x^5+(-1)\cdot x^6+\ldots \end{eqnarray*}$ .

Jetzt klar? Augenzwinkern

ähm nö, müsste doch so sein:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~(-1)^nx^{2n}=1\cdot x^0+(-1)\cdot x^2+1\cdot x^4+\dots \end{eqnarray*}$
soweit ist mir das klar, das ist die Reihe aufgeschreiben, aber für $\begin{eqnarray*} n=1 \rightarrow -x^2 \end{eqnarray*}$ oder?

oder hängt das damit zusammen, das ich dann hier nicht $\begin{eqnarray*} a_2n \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nehme

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} a_n=\left\{\begin{array}{cc} 0 & n\text{ ungerade} \\ (-1)^{\frac{n}{2}} & n\text{ gerade}\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

dann erhalte ich für gerade n, ganze Zahlen und damit die Reihe.

würde es auch gehen ohne das ich $\begin{eqnarray*} a_2n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ersetze?

09.08.2009, 11:43

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von oerny

Zitat:

ähm nö, müsste doch so sein:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~(-1)^nx^{2n}=1\cdot x^0+(-1)\cdot x^2+1\cdot x^4+\dots \end{eqnarray*}$

Doch! Es stimmt, was du hingeschrieben hast, aber auch, was ich hingeschrieben habe, ist richtig. Ich habe halt ein paar Nullen eingefügt und das darf ich ja wohl. Augenzwinkern

Du sollst hier den Konvergenzradius einer Potenzreihe in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bestimmen. Eine Potenzreihe in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist eine Reihe der Form

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n \end{eqnarray*}$ .

Deine Reihe ist aber noch nicht in dieser Form gegeben, also musst du sie erst dorthin überführen. Und das gelingt durch Einfügen der Nullen. Dann ist eben

$\begin{eqnarray*} (a_n)=(1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,\ldots) \end{eqnarray*}$

und das lässt sich explizit beschreiben durch

$\begin{eqnarray*} a_n=\begin{cases} 0 & n\text{ ungerade} \\ (-1)^{\frac{n}{2}} & n\text{ gerade}\end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

wie Arthur bereits richtig sagte.

09.08.2009, 11:45

oerny

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ok, das ist mir jetzt klar!

nur noch eine frage, warum darf ich mien version von oben nicht nehmen?

09.08.2009, 18:29

Mathespezialschüler

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Bei deiner Version ist irgendwie überhaupt nicht klar, was du eigentlich tust und was für einen Grenzwert du bestimmst. Vielleicht kannst du das ja nochmal etwas aufarbeiten, sodass man deine Begründung für die Richtigkeit der Berechnung versteht.

09.08.2009, 18:38

oerny

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also nochmal das ganze:
ich ersteze in der Aufgabe 2n durch u, damit erhalte ich dann für die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~{(-1)^{u/2} x^{u}} \end{eqnarray*}$
da gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } 2n = \lim_{u \to \infty } u \end{eqnarray*}$
nutze ich nun das Wurzelkriterium
$\begin{eqnarray*} c=\lim_{u \to \infty } \sqrt[u]{|c_n|} =\lim_{u \to \infty } \sqrt[u]{|(-1)^{u/2}|} \rightarrow 1^{\frac{1}{2}} =1 \end{eqnarray*}$
damit ist dein Radius
$\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{c}=1 \end{eqnarray*}$

hoff jetzt ist mein idee klarer

09.08.2009, 18:57

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Zitat:

Original von oerny
damit erhalte ich dann für die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~{(-1)^{u/2} x^{u}} \end{eqnarray*}$

Schreiben wir mal die ersten paar Glieder ausführlich auf:

$\begin{eqnarray*} \sum_{u=0}^\infty ~ (-1)^{u/2} x^u = 1 + (-1)^{1/2} x - x^2 + (-1)^{3/2} x^3 + x^4 + (-1)^{5/2} x^5 + \cdots \end{eqnarray*}$

Ich habe leider Schwierigkeiten, die reellen Koeffizienten $\begin{eqnarray*} (-1)^{1/2}, (-1)^{3/2}, (-1)^{5/2} \end{eqnarray*}$ zu berechnen - kannst du mir da mal auf die Sprünge helfen? Zumal ich wie MSS der Meinung bin, dass da eigentlich jeweils Null stehen müsste. Augenzwinkern

09.08.2009, 19:04

oerny

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ok, jetzt ists mir klar!

Danke, zumindest für meien Teil!

09.08.2009, 23:04

Mathespezialschüler

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Was man aber bei solchen Aufgaben machen könnte: Ersetze $\begin{eqnarray*} z=x^2 \end{eqnarray*}$ ! Dann erhältst du eine Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~(-1)^nz^n \end{eqnarray*}$ ,

deren Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ du ganz normal berechnen kannst. Die ursprüngliche Reihe konvergiert dann genau für $\begin{eqnarray*} x^2<r \end{eqnarray*}$ , also für $\begin{eqnarray*} |x|<\sqrt{r} \end{eqnarray*}$ . Dies ist der gesuchte Konvergenzradius.

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