3 Aufgaben, induktion etc.

21.09.2006, 17:32

beachboy

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3 Aufgaben, induktion etc.

Hallo,

kann mir jmd helfen und mir erklären wie ich diese Aufgaben lösen kann?

1. Beweise durch vollständige Induktion:

$\begin{eqnarray*} 2^n > n^2 \forall n\in \mathbb N n > 4 \end{eqnarray*}$

IA: A(5) -> $\begin{eqnarray*} 2^5 > 5^2 \end{eqnarray*}$

und nun?

2. Zeige, dass für alle $\begin{eqnarray*} n,k \in \mathbb N n > k \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} n \\ n-k \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wie rechne ich hier????

3. und das schlimmste am schluss, es gilt das selbe wie bei Aufgabe 2:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^m~\begin{pmatrix} n+i \\ i \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+m+1 \\ m \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

anscheinend geht das per induktion. wenn ich m=0 einsetze komme ich auf 1=1 scheint ja zu stimmen, aber wie gehts dann weiter??

hoffe mir kann jmd helfen !!! Danke!

lg
beach

UPDATE: BEI 3 statt einer 1 ein i SORRY

21.09.2006, 18:18

klarsoweit

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RE: 3 Aufgaben, induktion etc.
Machen wir erstmal die 1.

Welche Aussage mußt du nun beweisen und welche Aussage darfst du dabei verwenden?

Ist aber keine HöMa.

*** verschoben ***

21.09.2006, 18:31

system-agent

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zu 2.
das kannste ganz leicht prüfen, indem du die rechte seite nimmst und das per definition des binomialkoeffizienten schreibst und dann kannste das zur linken seite recht flott umformen

21.09.2006, 18:51

beachboy

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zu 1 ich muss beweisen, dass $\begin{eqnarray*} 2^n > n^2 \end{eqnarray*}$

zu 2. ich habe leider keine ahnung wie ich das umformen soll. Der Prof. hat das in n! fakultät und sowas umgeformt? unglücklich

unglücklich

21.09.2006, 18:59

system-agent

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dann fangen wir mal an mit der VI.
mach erstmal den anfang...

es gilt:
$\begin{eqnarray*} {n \choose k}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} \end{eqnarray*}$
jetzt schreib mal die linke seite so um

21.09.2006, 19:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von beachboy
zu 1 ich muss beweisen, dass $\begin{eqnarray*} 2^n > n^2 \end{eqnarray*}$

Das weiß ich wohl. Den Induktionsanfang hast du auch gemacht. Jetzt kommt der Induktionsschluß von n auf n+1. Und da solltest du das Prinzip kennen. Das heißt: was ist die Induktionsvoraussetzung, was ist die Induktionsbehauptung?

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21.09.2006, 19:14

AD

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RE: 3 Aufgaben, induktion etc.

Zitat:

Original von beachboy
3. und das schlimmste am schluss, es gilt das selbe wie bei Aufgabe 2:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^m~\begin{pmatrix} n+1 \\ i \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+m+1 \\ m \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So schlimm ist das gar nicht, denn es ist falsch. Also genügt die Angabe eines Gegenbeispiels, z.B. m=2,n=1 .

21.09.2006, 19:22

beachboy

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zu 1 also was ich jetzt machen würde wäre das:

$\begin{eqnarray*} 2^(n+1) > (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ oder?

zu 2 linke seite umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

nur wie jetzt die rechte seite? ist das nicht das gleiche ?

zu 3:

SORRY die richtige Aufgabe lautet so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^m~\begin{pmatrix} n+i \\ i \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+m+1 \\ m \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hab das i mit ner 1 verwechselt. unglücklich

unglücklich

21.09.2006, 19:25

system-agent

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1.)
jetzt mach die induktionsvoraussetzung:
für ein beliebiges, aber festes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gelte:
$\begin{eqnarray*} 2^n>n^2 \end{eqnarray*}$

es stimmt was du gemacht hast, jetzt form das um und denk dabei an die voraussetzung.

2.)
das was du hingeschrieben hast ist genau $\begin{eqnarray*} {n\choose k} \end{eqnarray*}$ .
falls du das jetzt aus umformungen der linken seite hast, dann haste deinen beweis

21.09.2006, 19:27

AD

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Zu 3) Das ist natürlich was anderes, jetzt stimmts. Zum Beweis:

Den Induktionsanfang m=0 hast du ja schon. Im Induktionsschluss $\begin{eqnarray*} m\to m+1 \end{eqnarray*}$ zerlegst du

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{m+1} ~ \binom{n+i}{i} = \left[ \sum_{i=0}^m ~ \binom{n+i}{i} \right] + \binom{n+m+1}{m+1} \end{eqnarray*}$ ,

setzt für die eckige Klammer die Induktionsvoraussetzung ein und denkst dann mal an das Bildungsgesetz des Pascalschen Dreiecks, wo ja die Binomialkoeffizienten alle drin stehen... smile

smile

21.09.2006, 19:40

beachboy

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zu 1

ich weiß, dass da jetz $\begin{eqnarray*} 2*2^n > 2n^2 \end{eqnarray*}$ sein muss, aber woher kommt die 2? unglücklich

unglücklich

zu 2 stimmt die linke seite so nicht? kannst du mir dann zeigen wie ich das umformen muss? unglücklich

unglücklich

zu 3 die ivorraussetzung hast du ja geschrieben oder? steh grad auf der palme unglücklich

unglücklich

muss ich das nun so erweitern?

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{m+1} ~ \binom{n+i}{i} = \left[ \sum_{i=0}^m ~ \binom{n+i}{i} \right] + \binom{n+m+1+1}{m+1+1} \end{eqnarray*}$

21.09.2006, 19:44

system-agent

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Zitat:

Original von beachboy
zu 1

ich weiß, dass da jetz $\begin{eqnarray*} 2*2^n > 2n^2 \end{eqnarray*}$ sein muss, aber woher kommt die 2? unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=2^n\cdot 2^1=2^n\cdot 2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von beachboy
zu 2 stimmt die linke seite so nicht? kannst du mir dann zeigen wie ich das umformen muss? unglücklich

unglücklich

es ist:
$\begin{eqnarray*} {n\choose n-k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot (n-(n-k))!} \end{eqnarray*}$

21.09.2006, 19:47

AD

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Zitat:

Original von beachboy
zu 3 die ivorraussetzung hast du ja geschrieben oder?

Nein, hab ich nicht: Ich hab nur die Summe links in der Induktionsbehauptung (also für m+1) zerlegt, indem ich den letzten Summanden abgetrennt habe - mehr nicht. Ziel ist natürlich, durch diese Umformungen zur rechten Seite der Induktionsbehauptung zu gelangen, also $\begin{eqnarray*} \binom{n+m+2}{m+1} \end{eqnarray*}$ .

21.09.2006, 19:52

beachboy

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zu 1 upsi stimmt ja... aber warum muss ich das überhaupt so abändern und kann nicht gleich schreiben $\begin{eqnarray*} 2(^n+1) > (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ ?? und was ist dann mein nächster schritt bei $\begin{eqnarray*} 2*2^n > 2n^2 \end{eqnarray*}$

zu 2. kannst du mir genau erklären wie ich darauf komme`?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} n! \\ k! (n-k)! \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ natürlich mit bruchstrich ...

aber wieso ist $\begin{eqnarray*} {n\choose n-k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot (n-(n-k))!} \end{eqnarray*}$ [/quote]

wie un was genau muss ich da einsetzen?

21.09.2006, 19:57

system-agent

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du musst ja erstmal ordentlich deine induktionsvoraussetzung hinschreiben, denn sonst könntest genauso voraussetzen, dass der himmel grün ist.

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=2\cdot 2^n>2\cdot n^2=n^2+n^2 \end{eqnarray*}$ (laut voraussetzung)

21.09.2006, 20:03

beachboy

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ok nun habe ich ja die iv nun der ischluss oder?

also $\begin{eqnarray*} 2^(n+1) > (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

zu 3

okay also hast du für m dort m+1 eingestzt ? und wie sieht das nun im ganzen aus??

so?

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{m+1} ~ \binom{n+i}{i} = \left[ \sum_{i=0}^m ~ \binom{n+i}{i} \right] + \binom{n+m+1+1}{m+1} = \begin{pmatrix} n+m+2 \\ m+1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ [/quote]

22.09.2006, 08:26

klarsoweit

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Es ist immer wieder erstaunlich, wie schwer sich Schüler (oder Studenten?) mit der vollständigen Induktion tun. ich fasse mal den bisherigen Stand in der Aufgabe 1 zusammen:

Behauptung: $\begin{eqnarray*} 2^n > n^2 \end{eqnarray*}$ für n >= 5

Induktionsanfang: n=5 eingesetzt liefert in der Tat eine wahre Aussage.

Induktionsschluß: die obige Behauptung wird für ein beliebiges n als wahr angenommen. Zu zeigen ist, daß die Behauptung dann auch für n+1 gilt. Also setzen wir erstmal n+1 in die Behauptung ein, damit man mal sieht, was überhaupt zu zeigen ist:

$\begin{eqnarray*} 2^{(n+1)} > (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

So. Jetzt greifen wir uns die linke Seite und formen um:
$\begin{eqnarray*} 2^{(n+1)} = 2 \cdot 2^n \end{eqnarray*}$

Da wir annehmen dürfen, daß $\begin{eqnarray*} 2^n > n^2 \end{eqnarray*}$ gilt, haben wir jetzt:
$\begin{eqnarray*} 2^{(n+1)} = 2 \cdot 2^n > 2 \cdot n^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du die rechte Seite so umformen und weiter nach unten abschätzen, daß da $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ rauskommt.

Tipp: zeige und verwende $\begin{eqnarray*} n^2 - 2n > 1 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

zu Aufgabe 2 (die trivialste von den dreien):
Laut Definition ist
$\begin{eqnarray*} {n\choose k}=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \end{eqnarray*}$

Jetzt wende die Definition auf $\begin{eqnarray*} {n\choose n-k} \end{eqnarray*}$ an. Was steht dann da?

Und zum guten Schluß die Aufgabe 3:
Da war zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^m~{n+i\choose i} = {n+m+1\choose m} \end{eqnarray*}$

Der Induktionsanfang war klar. Für den Induktionsschluß m nach m+1 schreiben wir erstmal die Behauptung für m+1 hin, damit man wieder sieht, wo die Reise hingeht:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{m+1}~{n+i\choose i} = {n+m+2\choose m+1} \end{eqnarray*}$

Wie ArthurDent schon zeigte, nehmen wir uns wieder die linke Seite, spalten den letzten Summanden ab und verwenden die Induktionsvoraussetzung. Das ergibt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{m+1}~{n+i\choose i} = {n+m+1\choose m} + {n+m+1\choose m+1} \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du die rechte Seite weiter umformen, damit du auf die rechte Seite der Induktionsbehauptung kommst. Da helfen Summenregeln für die Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).

22.09.2006, 16:58

beachboy

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zu 1

also soweit hab ich es verstanden, ich muss also beiweisen, dass $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} > (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ gilt und deshalb muss ich $\begin{eqnarray*} 2^n >n^2 \end{eqnarray*}$ so umformen damit das oben rauskommt?

ich dachte ich kann da jetzt für n einfach n+1 einsetzen und fertig?!

umformen:

$\begin{eqnarray*} 2n^2 = n^2+n^2 > n^2 + n(2+\frac{1}{n} ) \end{eqnarray*}$
kann mir jmd sagen wie ich auf $\begin{eqnarray*} n(2+\frac{1}{n} ) \end{eqnarray*}$ komme?

zu 2:

hm ist $\begin{eqnarray*} k=k!(n-k)! \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n= n1<br /> \end{eqnarray*}$ ich raff nicht was ich für was einsetzen muss unglücklich

unglücklich

ausserdem gilt ja auch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ n-k \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dann wäre ja $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ n-k \\ \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$ das selbe oder wie??

zu 3:

kannst du mir das abspalten der summanden mal zeigen bzw. warum steht da nun plötzlich 2mal $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+m+1 \\ m \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dankef+ür eure mühen!!!

lg

22.09.2006, 17:15

system-agent

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nein, genau andersherum. du musst zeigen, dass mithilfe der induktionsvoraussetzung aus $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ folgt:
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}>(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

du nimmst ja an, dass für ein beliebiges, aber festes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} 2^n>n^2 \end{eqnarray*}$
jetzt kommt der induktionsschluss:
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=2\cdot 2^n \end{eqnarray*}$
das ist nach der induktionsvoraussetzung:
$\begin{eqnarray*} 2\cdot 2^n>2n^2=n^2+n^2 \end{eqnarray*}$
nur du wolltest ja nicht zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ stets größer als $\begin{eqnarray*} 2n^2 \end{eqnarray*}$ ist, sonst wärst du fertig.
also rollen wir das von hinten auf:
$\begin{eqnarray*} (n+1)^2=n^2+2n+1 \end{eqnarray*}$
das eine $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ steht schon da, bleibt zu zeigen, dass für das"andre" gilt:
$\begin{eqnarray*} n^2>2n+1 \end{eqnarray*}$
das kannste nun ebenfalls durch VI zeigen oder du betrachtest
$\begin{eqnarray*} n^2-2n-1>0 \end{eqnarray*}$ und schaust für welche $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ dieses gilt, wie du magst Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.09.2006, 17:34

beachboy

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zu 1

kannst du mir mal bitte ganz klar hinschreiben, was ich beweisen muss, was schon gilt und was der IA, IV, und Ischluss sind? verwirrt

verwirrt

und wie komme ich, von $\begin{eqnarray*} n^2 + n^2 auf (1+n)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^2-2n-1> 0 \end{eqnarray*}$ gilt doch für alle n >2 ? traurig

traurig

22.09.2006, 17:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von beachboy
zu 1

kannst du mir mal bitte ganz klar hinschreiben, was ich beweisen muss, was schon gilt und was der IA, IV, und Ischluss sind? verwirrt

verwirrt

Das habe ich in meinem Beitrag ausführlichst getan. Ausführlicher geht es nicht. Falls du da etwas nicht verstanden hast, dann zitiere das.

Zitat:

Original von beachboy
$\begin{eqnarray*} n^2-2n-1> 0 \end{eqnarray*}$ gilt doch für alle n >2 ? traurig

traurig

Ja. Aber das fällt nicht so einfach vom Himmel. Also eine plausible nachvollziehbare Begründung solltest du schon liefern.

Also wenn ich deinem Alter (20) glauben darf, dann darf man von dir auch etwas Eigeninitiative erwarten, und da solltest du nicht darauf warten, daß dir alles vorgekaut wird. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und zu den anderen Aufgaben äußere ich mich erst, wenn die 1. Aufgabe komplett fertig gerechnet und von dir verstanden ist.

23.09.2006, 06:30

system-agent

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von beachboy
$\begin{eqnarray*} n^2-2n-1> 0 \end{eqnarray*}$ gilt doch für alle n >2 ? traurig

traurig

Ja. Aber das fällt nicht so einfach vom Himmel. Also eine plausible nachvollziehbare Begründung solltest du schon liefern.

Also wenn ich deinem Alter (20) glauben darf, dann darf man von dir auch etwas Eigeninitiative erwarten, und da solltest du nicht darauf warten, daß dir alles vorgekaut wird. Augenzwinkern

Augenzwinkern

dazu nur noch ein tipp:
der linke teil ist was wunderbar quadratisches, also quasi eine parabel. eine parabel kann oberhalb und unterhalb der n-achse liegen bzw. teils teils. hier soll sie aber immer oben liegen Big Laugh

Big Laugh

23.09.2006, 13:03

beachboy

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zu 1

also mit dem tipp kann ich leider nichts anfangen?! Muss ich das weiterumformen oder Betrag setzen, damit das immer pos. bleibt? oder wie beweise ich, dass $\begin{eqnarray*} n^2-2n-1 > O \end{eqnarray*}$

ich muss doch zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} n^2 >2n+1 \end{eqnarray*}$ gilt?

=> $\begin{eqnarray*} n^2=n*n >2n+1 =n(2+1/n) \end{eqnarray*}$

womit ich probleme habe, ist dass ich nicht weiß wie man z.b. von dem schritt $\begin{eqnarray*} n^2+n^2 \end{eqnarray*}$ sieht das, dass größer ist wie $\begin{eqnarray*} n^2+2n+1 \end{eqnarray*}$ oder warum man beweisen muss, dass $\begin{eqnarray*} n^2>2n+1 \end{eqnarray*}$ das sieht man doch mit einem blick? unglücklich

unglücklich

weil für n ja gilt n>5

danke für eure Hilfen! ich weiß ich bin ein schwieriger Fall :-D

23.09.2006, 13:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von beachboy
ich muss doch zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} n^2 >2k+1 \end{eqnarray*}$ gilt?

Nein. Du mußt zeigen, daß $\begin{eqnarray*} n^2 >2n+1 \end{eqnarray*}$ gilt. Das solltest du mit 20 Jahren schaffen.

Zitat:

Original von beachboy
warum man beweisen muss, dass $\begin{eqnarray*} n^2>2n+1 \end{eqnarray*}$ das sieht man doch mit einem blick? unglücklich

unglücklich

weil für n ja gilt n>5

Erstmal haben wir für n, daß n >= 5 ist, und zweitens sagt man in der Mathematik gerne "wie man leicht sieht", aber bei genauem Hinschauen ist es dann doch nicht so leicht. Und hier stimmt die Ungleichung für n=1 oder n=2 nicht. Und daß es ab n>=3 für ein paar Stichproben stimmt, ist ja noch kein Beweis, daß es für alle n>=3 stimmt.

EDIT: von mir aus dividiere die Ungleichung durch n.

23.09.2006, 16:47

beachboy

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stimmt das denn soweit:

ich muss doch zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} n^2 >2n+1 \end{eqnarray*}$ gilt

=> $\begin{eqnarray*} n^2=n*n >2n+1 =n(2+1/n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^2 >2n+1 \end{eqnarray*}$ /:n

$\begin{eqnarray*} n>2+1/n \end{eqnarray*}$ für n>3

reicht das so als beweis?nein oder?

23.09.2006, 17:46

system-agent

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wenn du richtig argumentierst reicht das. du forderst ja selbst, dass $\begin{eqnarray*} n>3 \end{eqnarray*}$ gelte, sprich die rechte seite deiner ungleichung stets größer als 3 ist. nun gib mir mal ein gutes argument, wieso
$\begin{eqnarray*} 2+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ nicht größer als 4 wird für $\begin{eqnarray*} n>3 \end{eqnarray*}$ , dann haste es gezeigt Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.09.2006, 10:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von beachboy
$\begin{eqnarray*} n>2+1/n \end{eqnarray*}$ für n>3

reicht das so als beweis?nein oder?

Ja, wenn du erwähnen würdest, daß der Kehrwert einer natürlichen Zahl immer <= 1 ist. Somit ist die rechte Seite der Ungleichung immer <= 3. Also muß das n > 3 sein und das ist wegen der Bedingung n >= 5 immer gegeben.

Jetzt wieder zurück zum eigentlichen Beweis:
Wir hatten irgendwann mal da stehen:
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n > 2 \cdot n^2 = n^2 + n^2 \end{eqnarray*}$
Jetzt läßt du das linke n² stehen und schätzst das rechte n² durch die mühsam bewiesene Ungleichung nach unten ab.

24.09.2006, 12:46

system-agent

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von beachboy
$\begin{eqnarray*} n>2+1/n \end{eqnarray*}$ für n>3

reicht das so als beweis?nein oder?

Ja, wenn du erwähnen würdest, daß der Kehrwert einer natürlichen Zahl immer <= 1 ist. Somit ist die rechte Seite der Ungleichung immer <= 3. Also muß das n > 3 sein und das ist wegen der Bedingung n >= 5 immer gegeben.

das meinte ich mit einem guten argument Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.09.2006, 19:16

beachboy

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$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n > 2 \cdot n^2 = n^2 + n^2 >n^2+n(2+1/n)=n^2+2n+1=(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

so?

26.09.2006, 09:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von beachboy
=> $\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

so?

Nee. Es folgt:
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} > (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schließlich war das keine Gleichungskette, sondern eine Ungleichungskette.
Und das ist die im Induktionsschluß zu beweisende Aussage. Und hurra, das war's dann!

Jetzt können wir zur 2. Aufgabe kommen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} n \\ n-k \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
War die jetzt klar oder wie sieht es damit aus? Falls nicht, fangen wir am besten nochmal von vorne an.
Links und rechts stehen Binomialkoeffizienten. Diese sind irgendwie über Fakultäten definiert. Da wäre also der erste Schritt, diese Terme erstmal durch ihre Definition zu ersetzen.

26.09.2006, 12:01

AD

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Zitat:

Original von beachboy
stimmt das denn soweit:

ich muss doch zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} n^2 >2n+1 \end{eqnarray*}$ gilt

Ich greif das nochmal auf: Macht es doch nicht so kompliziert: Es ist

$\begin{eqnarray*} n^2-2n-1 = (n-1)^2-2 \geq (3-1)^2-2 = 2 > 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$

einfach aufgrund der Monotonie des Quadrates im positiven Argumentbereich. Da brauch man keine Induktion o.ä., man muss die Kirche auch mal im Dorf lassen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.09.2006, 19:02

beachboy

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Zitat:

Original von klarsoweit

Jetzt können wir zur 2. Aufgabe kommen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} n \\ n-k \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
War die jetzt klar oder wie sieht es damit aus? Falls nicht, fangen wir am besten nochmal von vorne an.
Links und rechts stehen Binomialkoeffizienten. Diese sind irgendwie über Fakultäten definiert. Da wäre also der erste Schritt, diese Terme erstmal durch ihre Definition zu ersetzen.

also das $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$ weiß ich, nur wie und was ich jetzt für $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ n-k \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einsetzen muss ist mir unklar :-(

26.09.2006, 20:48

system-agent

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ersetze lieber die andre seite der gleichung durch die definition, also
$\begin{eqnarray*} {n \choose n-k} \end{eqnarray*}$

28.09.2006, 17:22

beachboy

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ja aber genau das versteh ich nicht, was ich da reinsetzen muss?!

28.09.2006, 17:45

klarsoweit

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Wieso ist das bloß so schwer? verwirrt

verwirrt

Nochmal die Definition:
$\begin{eqnarray*} {n \choose hugo} = \frac{n!}{hugo! \cdot (n - hugo)!} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} {n \choose n-k} \end{eqnarray*}$ ersetzst du das hugo na durch was wohl?

28.09.2006, 21:10

beachboy

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jetzt hab ichs gerafft Big Laugh

Big Laugh

so oder?

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k)!\cdot ( n-n+k)!} \end{eqnarray*}$

danke!
lg
beach

28.09.2006, 21:34

system-agent

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ganz genau, und das musst du nun so umformen, dass du deine erstgenannte version bekommst, und schon haste es gezeigt

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