Gleichungen

10.08.2009, 08:45

Felix

Gleichungen

$\begin{eqnarray*} \frac {a}{x} = (1 - b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Nun soll ich $\begin{eqnarray*} a + bi \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ausdrücken. Wie mach ich das am geschikctesten ? Es ist peinlich aber bei solchen Sachen habe ich echt Probleme unglücklich

10.08.2009, 09:22

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Ich würde mir das ganze mal in der Gaußschen Ebene $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ aufzeichnen:

$\begin{eqnarray*} \frac {a}{x} = 1 - b \end{eqnarray*}$ ist eine Gerade, die den Kreis $\begin{eqnarray*} a^2+b^2=1 \end{eqnarray*}$ schneidet. Ein Schnittpunkt ist auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} (a_1,b_1) = (0,1) \end{eqnarray*}$ , aber wahrscheinlich geht es hier hauptsächlich um den anderen Schnittpunkt. Augenzwinkern

10.08.2009, 09:35

Leopold

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Im Moment, wo ich meinen Beitrag abschicken will, sehe ich, daß Arthur schon geantwortet hat. Damit meine Mühe nicht umsonst ist, hier dennoch meine Stellungnahme. Sie ist letztlich eine Präzisierung von Arthurs Gedanken.

Betrachte ein $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ -Koordinatensystem, die $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ -Achse als reelle und die $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ -Achse als imaginäre Achse. Die Punkte $\begin{eqnarray*} a + \operatorname{i}b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 = 1 \end{eqnarray*}$ sind die Punkte des Einheitskreises und die mit $\begin{eqnarray*} b = 1 - \frac{1}{x} \cdot a \end{eqnarray*}$ bestimmen eine Gerade durch $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ mit der Steigung $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ . Den Fall $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ kannst du als Grenzfall , wo die Gerade zur imaginären Achse wird, ansehen. Ebenso könnte man auch noch für $\begin{eqnarray*} x = \pm \infty \end{eqnarray*}$ die Gerade durch $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ , die zur reellen Achse parallel ist, einbinden. Da $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ansonsten jeden reellen Wert annehmen kann, stellt $\begin{eqnarray*} b = 1 - \frac{1}{x} \cdot a \end{eqnarray*}$ somit die Schar aller Geraden durch $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ dar. Am besten stellst du dir das als eine Gerade vor, die sich um den Punkt $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ dreht. Jede solche Gerade außer der waagerechten durch $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ schneidet den Einheitskreis in zwei Punkten. Der eine ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ selbst. Du siehst ja auch sofort, daß $\begin{eqnarray*} a=0, b=1 \end{eqnarray*}$ die beiden vorgegebenen Gleichungen löst. Mache dir eine Zeichnung.

Ich denke, es ist so gemeint, daß du nun den zweiten Schnittpunkt der Geraden mit dem Kreis berechnen sollst. Während $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die reellen Zahlen von $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ durchläuft, sich die Gerade also gegen den Uhrzeigersinn dreht, durchläuft dieser zweite Schnittpunkt den Kreis gegen den Uhrzeigersinn. Wenn du also $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ausdrückst, erhältst du eine rationale Parameterdarstellung des positiv orientierten Einheitskreises.
Nun ja, und wie man den Schnittpunkt eines Kreises und einer Geraden in kartesischen Koordinaten berechnet, sollte klar sein.

10.08.2009, 09:41

Felix

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Oh mein Gott, ich bring ja die einfachsten Dinge nicht mehr zusammen Hammer