Integral lösen / Rechenweg und korrekte Syntax beim "aufschreiben"

10.08.2009, 12:55

Eva-S

Integral lösen / Rechenweg und korrekte Syntax beim "aufschreiben"

Folgende Aufgabe habe ich eben in einem anderen Thread gelesen und würde diese nun gerne exemplarisch lösen (u.a. auch um die "korrekte mathematische Syntax" beim aufschreiben zu erlernen):

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x \cdot e^{-x^2}~dx \end{eqnarray*}$

Ich substituiere als erstes
$\begin{eqnarray*} u = x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u = x^2 \Rightarrow u' = \frac{du}{dx} = 2x \Rightarrow dx = \frac{du}{2x} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich als neues Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x \cdot e^{-u}~du \end{eqnarray*}$

Wie würde es jetzt hier weitergehen?
Für Eure Hilfe wäre ich sehr dankbar!

10.08.2009, 12:59

kiste

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Du hast zwar dx richtig berechnet, allerdings hast du es dann nicht eingesetzt...

10.08.2009, 13:08

jester.

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RE: Integral lösen / Rechenweg und korrekte Syntax beim "aufschreiben"

Zitat:

Original von Eva-S
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x \cdot e^{-u}~du \end{eqnarray*}$

Syntaktisch ist das auch nicht schön. Was ist denn nun deine Variable? x oder u? Substituiere vollständig.

10.08.2009, 13:43

Eva-S

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RE: Integral lösen / Rechenweg und korrekte Syntax beim "aufschreiben"

Zitat:

Original von jester.
Syntaktisch ist das auch nicht schön. Was ist denn nun deine Variable? x oder u? Substituiere vollständig.

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sqrt{u} \cdot e^{-u}~du \end{eqnarray*}$

Wäre das richtig?

Was müsste ich machen, wenn die Ursprungsaufgabe z.B.
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x^3 \cdot e^{-u}~du \end{eqnarray*}$

lautet? Was machen ich dann mit $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ ?

10.08.2009, 13:50

kiste

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RE: Integral lösen / Rechenweg und korrekte Syntax beim "aufschreiben"
Schade dass du meinen Kommentar gänzlich übergehst. Folglich ist dein nächste Ergebnis natürlich auch nicht richtig

Zitat:

Original von Eva-S Was machen ich dann mit $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ ?

Naja nach richtig vollzogener Substitution eben jedes x mit wurzel u ersetzen.

10.08.2009, 14:09

Eva-S

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RE: Integral lösen / Rechenweg und korrekte Syntax beim "aufschreiben"

Zitat:

Original von kiste
Schade dass du meinen Kommentar gänzlich übergehst. Folglich ist dein nächste Ergebnis natürlich auch nicht richtig

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x \cdot e^{-u}~\frac{du}{2x} = \int_{}^{}~ e^{-u}~\frac{du}{2} = \frac{1}{2} \cdot \int_{}^{}~e^{-u}~du \end{eqnarray*}$

Könnte es so richtig sein?

10.08.2009, 14:10

kiste

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Jap stimmt. Jetzt ausrechnen und rücksubstituieren

10.08.2009, 14:28

Eva-S

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RE: Integral lösen / Rechenweg und korrekte Syntax beim "aufschreiben"
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x \cdot e^{-x^2}~dx = \int_{}^{}~x \cdot e^{-u}~\frac{du}{2x} = \int_{}^{}~ e^{-u}~\frac{du}{2} = \frac{1}{2} \cdot \int_{}^{}~e^{-u}~du = \frac{1}{2} \cdot e^{-u} \end{eqnarray*}$

und nach Rücksubstitution ist das dann gleich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot e^{-x^2} \end{eqnarray*}$

Richtig?

10.08.2009, 14:31

Ungewiss

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Nein.

Was ist $\begin{eqnarray*} \int e^{-u}~\dd u \end{eqnarray*}$ ?

10.08.2009, 14:34

Eva-S

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Zitat:

Original von Ungewiss
Nein.

Was ist $\begin{eqnarray*} \int e^{-u}~\dd u \end{eqnarray*}$ ?

Oh ja, ich hatte immer noch
$\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$
ist abgeleitet
$\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$
im Kopf.

Es müsste aber in diesem Falle
$\begin{eqnarray*} (-1) \cdot e^{-u} \end{eqnarray*}$
lauten, oder?

10.08.2009, 14:48

Ungewiss

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Jup.

(wenn man die Integrationskonstante mal vernachlässigt)

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