natürlicher kubischer spline

11.08.2009, 22:01

s-mueller88

natürlicher kubischer spline

Hallo zusammen!
ich habe folgende fünf Punkte:
(-2/2)
(-1/3)
(0/9)
(1/4)
(2/3)
durch diese Punkte soll ein natürlicher kubischer spline gelegt werden.
die gleichungen sind über den ansatz
Sk(x)= ak + bk (x-xk) + ck (x-xk)² + dk(x-xk)³

zu bilden.

Das "k" steht hier für die "nummer" des jeweiligen Spline.

Die Gleichungen sollen alle gebildet werden und dann mit MATLAB ausgerechnet werden.
Ich weiß, dass ich 4 Spline bilden muss.
Mein Problem sind die Gleichungen die ich aufsstellen soll.
8 Gleichungen bekomme ich aus dem einfachen einsetzen
6 über die ableitung
und 2 über die 2. Ableitung

aber was muss ich jetzt wo einsetzen und wie muss ich ableiten? die Sk-Formel ableiten?

habe das mit dem einsetzen schon versucht aber ich bekomme für die "ak" jeweils sofort einen wert und die zweite spline formel bringt mir dann immer
z.b.: a1+b1+c1+1=9 (bei S1(0)) zum beispiel
Kann das sein?

11.08.2009, 22:10

tigerbine

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RE: natürlicher kubischer spline
[WS] Spline-Interpolation - Theorie

11.08.2009, 23:24

s-mueller88

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wenn ich ehrlich bin, werde ich daraus nicht richtig schlau.
meine ersten 8 Gleichungen habe ich mittlerweile aufgesstellt. müssten auch richtig sein.
aber wie gehe ich jetzt bei den Ableitungen vor?

$\begin{eqnarray*} 2. \quad R_{j-1}(t_j) = R_j(t_j)=:u_j \qquad \qquad j = 1,2,...,n-1 \quad \text{Stetigkeit in den S-Knoten} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3. \quad R'_{j-1}(t_j) = R_j'(t_j)=:s_j \qquad \qquad j = 1,2,...,n-1 \quad \text{1x stetig differenzierbar in den S-Knoten} \end{eqnarray*}$

Ich nehme an, das sind hieraus bekomme ich meine Gleichungen über die Ableitung.
aber ich kann mir da leider kein Bildungsgesetz rausziehen, bzw. erkenne es nicht.

Es wäre nett, wenn du mir ma ein beispiel für eine gleichung S' geben könntest
Herzlich Dank!

12.08.2009, 08:31

tigerbine

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Beispiele habe ich im WS Forum angegeben.

Algorithmus zur Spline Berechnung

Ähnlich wie beim quadratischen Spline hat man bei der Berechnung wie folgt vorzugehen:

Aufstellen der Hermite-Newton-Form der Restriktionen $\begin{eqnarray*} R_{j-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_{j} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_{j-1}(t)=f[t_{j-1}]+f[t_{j-1},t_{j-1}]\cdot(t-t_{j-1})+f[t_{j-1},t_{j-1},t_{j}]\cdot(t-t_{j-1})^2+f[t_{j-1},t_{j-1},t_{j},t_{j}]\cdot(t-t_{j-1})^2(t-t_{j}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_{j}(t)=f[t_{j}]+f[t_{j},t_{j}]\cdot(t-t_{j})+f[t_{j},t_{j},t_{j+1}]\cdot(t-t_{j})^2+f[t_{j},t_{j},t_{j+1},t_{j+1}]\cdot(t-t_{j})^2(t-t_{j+1}) \end{eqnarray*}$

Dabei bestimmt man die Koeffizienten (dividierte Differenzen) mit dem Neville-Hermite-Schema und setzt für die ersten Ableitungen die Variable $\begin{eqnarray*} s_j \end{eqnarray*}$ . Damit sind die Bedingungen (1)-(3) umgesetzt.

$\begin{eqnarray*} R_{j-1}'(t)=f[t_{j-1},t_{j-1}]+2\cdot f[t_{j-1},t_{j-1},t_{j}]\cdot(t-t_{j-1})+2\cdot f[t_{j-1},t_{j-1},t_{j},t_{j}]\cdot (t-t_{j-1})(t-t_{j}) +f[t_{j-1},t_{j-1},t_{j},t_{j}]\cdot (t-t_{j-1})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_{j}'(t)=f[t_{j},t_{j}]+2\cdot f[t_{j},t_{j},t_{j+1}]\cdot(t-t_{j})+2\cdot f[t_{j},t_{j},t_{j+1},t_{j+1}]\cdot (t-t_{j})(t-t_{j+1}) +f[t_{j},t_{j},t_{j+1},t_{j+1}]\cdot (t-t_{j})^2 \end{eqnarray*}$
Gleichsetzen von $\begin{eqnarray*} R_{j-1}''(t_j) = R_{j}''(t_j) \end{eqnarray*}$ (4) führt dann wieder auf ein LGS zur Bestimmung der Werte $\begin{eqnarray*} s_1,...,s_{n-1} \end{eqnarray*}$ . Dabei ist die erzeugte Matrix wieder tridiagonal, diesmal aber strikt Zeilen-diagonaldominant. Daher ist auch diese Matrix regulär und das LGS eindeutig lösbar.
Mit den vorgegebenen Werten $\begin{eqnarray*} s_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ können die Restriktionen eindeutig bestimmt werden.

Zitat:

Sk(x)= ak + bk (x-xk) + ck (x-xk)² + dk(x-xk)³

Was soll das sein? Spline ist das ganze. Die Einzelnen heißen Restriktionen. Und in welcher Form... die Newton-Darstellung sieht anders aus. verwirrt

12.08.2009, 14:34

s-mueller88

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