Partielle Integration sinh*cosh Problem

12.08.2009, 18:51

blade22

Partielle Integration sinh*cosh Problem

Hört sich dumm an ist aber so:

Habe eine größere Integration durchgeführt und habe diese Integralle aufgeteilt, alle Teilintegralle sind soweit richtig bis auf dieses:

int( sinh(t)*cos(t) dt)

Wenn ich das partiell Integriere, wobei sinh die Ableitung ist kommt das raus:

0,5*cosh^2

Wenn ich das partiell Integriere, wobei cosh die Ableitung ist kommt das raus:

0,5*sinh^2

Laut Musterlösung und Maple ist nur die zweite Variante richtig.

Also wo liegt den da mein Fehler? Ich vermutte das ich iein Themorem übersehen habe, an einen Rechenfehler bei Auf und Ableitung ist weniger zu denken schließlich ist
f' sinh(t)=cosh(t) sowie f' cosh(t)=sinh und damit eben die Aufleitungen genau gegenteilig.

Grüße und Danke
Blade

Edit: Sorry hab grad gesehen das ich im falschen Bereich bin, bitte verschieben! Forum Kloppe

12.08.2009, 18:53

Ungewiss

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$\begin{eqnarray*} \cosh^2(t)-\sinh^2(t)=1 \end{eqnarray*}$

Schonmal was davon gehört, dass Stammfunktionen sich um eine Konstante unterscheiden können?

12.08.2009, 22:45

blade22

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Nun das Additionstheorem kenne ich natürlich.
Aber bei dieser partiellen Ableitung von sinh(t)*cosh(t) kommt das nicht zur Anwendung bzw ich sehe es dort nicht.
Hoffe ihr versteht was ich meine , aber schreibts euch selbst hin, da kommt nie ein cosh(t)^2-sinh(t)^2 vor.

Grüße Blade

12.08.2009, 23:10

WebFritzi

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Zitat:

Original von Ungewiss
$\begin{eqnarray*} \cosh^2(t)-\sinh^2(t)=1 \end{eqnarray*}$

Schonmal was davon gehört, dass Stammfunktionen sich um eine Konstante unterscheiden können?

@blade22: Denk da nochmal genauer drüber nach...

Was hat das übrigens mit Numerik zu tun?

13.08.2009, 09:30

blade22

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Guten Morgen Leute,

Auch wenn es so aussehen mag, aber ich habe diesen Beitrag nicht nach 10 Minuten überlegen geschrieben sondern nach dem ich mich zwei Stunden mit der gesammten Aufgabe beschäftigt habe.

Also hier meine genauen Rechenschritte:

Gegeben ist ein Kurvenintegral das man in Teilintegrale zerlegen konnte
(+-Zeichen haben die Teilintegralle von einander abgetrennt)
Die Integralle waren alles so weit richtig bis auf dieses Teilintegrall:
#1 $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{ln(2)}~sinh(t)*cosh(t)~dt \end{eqnarray*}$

Ich habe nun partiel integriert, wobei ich sinh(t) als Ableitung gesehen habe
(Man kann natürlich auch cosh(t) als Ableitung sehen, ihr sind beide Funktionen gleich leicht auf/abzuleiten.)

Hier nochmal die Formel:
#2 $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~u'*v~dt=u*v- \int_{}^{}~u*v'~dt \end{eqnarray*}$

Und hier die Anwendung auf den in #1 genannten Fall:
#3 $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{ln(2)}~sinh(t)*cosh(t)~dt= \left[cosh(t)*cosh(t)\right]_{0}^{ln(2)} - \int_{0}^{ln(2)}~cosh(t)*sinh(t)~dx \end{eqnarray*}$
Man sieht in #3 nun das Restintegral dem Startintegral entspricht, somit kann man diese Gleichung umstellen und erhällt:
#4 $\begin{eqnarray*} 2*\int_{0}^{ln(2)}~sinh(t)*cosh(t)~dt=\left[cosh(t)*cosh(t)\right]_{0}^{ln(2)} \end{eqnarray*}$
Die Gleichung in #4 wird nun noch durch zwei geteilt weil wir ja eine Aussage über unser Startintegral haben wollen und nicht über 2*Startintegral, also:
#5 $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{ln(2)}~sinh(t)*cosh(t)~dt=\frac{1}{2}* \left[cosh(t)\right]_{}^{2} \end{eqnarray*}$

Aber, wenn man ab #3 statt sinh(t), cosh(t) als Ableitung ansieht bekommt man in den eckigen Klammern sinh(t) quadrat und damit auch die Lösung:
#6 $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}* \left[sinh(t)\right]_{}^{2} \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist nun wo liegt hier der Fehler?
Rein Formal müsste das alles richtig sein.

Was einfach verwundert ist das man eigentlich die Ableitung beliebig wählen kann und auf das gleiche Ergebniss kommen sollte, hier aber wird ja nach Wahl der Ableitung auch das Ergebniss beeinflusst.

Ich darf auch noch mal drauf hinweisen das wenn man cosh(t) als Ableitung sieht, man ohne das Additionstheorem auf die richtige Lösung kommt.

Außerdem sehe ich nach wie vor dieses Theorem, wie von WebFritzi und Ungewiss behauptet, nicht in dieser Aufgabe.
Ich lasse mich aber gern eines besseren belehren Forum Kloppe

@WebFritzi:
Wenn du meinen ersten Beitrag bis zum ende gelesen hättest, hättest du meine Entschuldigung für den Fehler gefunden.
Ich bin beim schreiben des ersten Beitrags abgemeldet worden und bin dann beim zweiten Anlauf eine Zeile zu tief mit der Maus gerutscht.
Habe das aber erst bemerkt als der Beitrag schon fertig war.
Daher habe ich in der letzten Zeile des ersten Beitrages um eine Verschiebung gebeten.

Grüße Blade

13.08.2009, 09:50

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Beide Stammfunktionen sind richtig, denn sie unterscheiden sich nur durch eine Konstante - das ist es, was dir Ungewiss, WebFritzi und jetzt auch noch ich vermitteln wollen, aber du musst auch mal zuhören! Für das bestimmte Integral bedeutet das dann, dass

$\begin{eqnarray*} \left[ \frac{1}{2}\cosh^2(t) \right]_{t=0}^{\ln(2)} = \left[ \frac{1}{2}\sinh^2(t) \right]_{t=0}^{\ln(2)} = \frac{9}{32} \end{eqnarray*}$

gilt. Wenn du es nicht glaubst, dann rechne doch mal nach - dauert nur wenige Minuten statt ein paar Stunden.

13.08.2009, 10:39

blade22

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Nun ich lese all eure Beiträge sehr genau, aber wenn sich mir etwas noch nicht erschließt und das kann manchmal etwas länger dauern, frage ich lieber nochmal.

Ich habe auch die Grenzen gar nicht eingesetzt sondern an der Stelle wo ich zwei Verschiedene Lösungen hatte nach dem Fehler in den Integrallen gesucht, also da wo keiner war traurig

.

Mit dem Additionstheorem ist das dann wohl so gemeint gewesen:
$\begin{eqnarray*} cosh(t)^2=1+sinh(t)^2 \end{eqnarray*}$

Wobei die 1 die Konstante ist die man vernachlässigen muss?

Grüße Blade

13.08.2009, 11:14

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Zitat:

Original von blade22
Ich habe auch die Grenzen gar nicht eingesetzt sondern an der Stelle wo ich zwei Verschiedene Lösungen hatte nach dem Fehler in den Integrallen gesucht, also da wo keiner war

So ist es.

Zitat:

Original von blade22
Wobei die 1 die Konstante ist die man vernachlässigen muss?

Nein, nicht "vernachlässigen". Sondern akzeptieren, dass es verschiedene Stammfunktionen gibt, die sich durch eine Konstante unterscheiden. Was sich dann beim bestimmten Integral in der Differenzbildung der Stammfunktionswerte allerdings weghebt.

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