Unterraum

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Havin307 Auf diesen Beitrag antworten »
Unterraum
Hallo liebe Leute, ich verstehe einfach nicht was ein Unterraum ist... Ich habe hier in mehreren Büchern und in der Vorlesung LA1 alles durchgeschaut nur werde ich einfach nicht schlau. Bsp. aus der Übung:
Gegeben ist Menge U = Teilmenge von R^3 der Vektoren der Form:
x+y
3x+4y
x-2y
mit x,y Element R.
Zeigen Sie das U ein Unterraum des R^3 ist!

Lösung: U ist Unterraum des R^3!

Aber wie bestimme ich sowas? Soweit ich verstanden habe heißt das das man mit dem Unterraum mathematische Operationen ausführen kann ohne die Menge vom Vektor zu verlassen...
Würde mich sehr freuen wenn mir da wer helfen könnte verwirrt
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Gehe streng nach Definition vor!

Wie heißt den die Definition von Unterraum?
Havin307 Auf diesen Beitrag antworten »

Also in der VL ist es so definiert:
U Teilmenge von V heißt Unterraum wenn U ein K-Vektorraum ist.
U Teilmenge von V ist Unterraum von v genau dann, wenn:
0 Element U
v-w Element U
k * v Element U

Und mehr haben wir in der Vorlesung nicht dazu behandelt. Ich habe in einigen Büchern nachgeschaut und die Beispiele leider auch nicht verstanden... Algebra finde ich irgendwie sehr schwer, wobei ich Analysis I, II, Differentialgleichungen alles schon hinter mich gebracht habe verstehe ich einfach diese Dinge in Algebra nicht.
Ich verstehe nicht wann man sagen kann es ist einer oder nicht. D.h. ich habe die Bedingungen dafür nicht richtig verstanden Forum Kloppe
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Wir können sagen dass es ein Unterraum ist wenn deine Bedingungen gelten und nur dann!
(Die Bedingungen sind nicht ganz vollständig da nicht klar ist was v,w,k ist, aber ich nehme mal an die wurden kanonisch bezeichnet)

Fangen wir an mit den ersten beiden Bedingungen:
Ist dein U Teilmenge von V? Dazu überlege was hier U und was V ist.

Enthält U den Nullvektor? Dazu prüfe ob es x und y gibt so dass deine Vektoren der beschriebenen Form den Nullvektor ergeben
Havin307 Auf diesen Beitrag antworten »

Also von den Definitionen abgeleitet würde ich sagen, dass mein U das was gegeben ist ist und, dass mein V = R^3 ist. Oder habe ich das auch falsch verstanden?
Um den Nullvektor zu erzeugen wäre das einfachste wenn ich x und y z.B. = 0 setze. D.h. ich kann ihn auf jeden Fall erzeugen.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Okay bisher alles richtig. Ist jetzt mit deinen U und V?

Nehme jetzt eine reelle Zahl und einen beliebigen Vektor . Wie sieht dieser Vektor v aus? Wie sieht das Produkt k*v aus? Ist dieses in U?
 
 
Havin307 Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du ob mein Nullvektor auch Teilmenge von R^3 ist? Wenn ja, dann ja da 0 ja auch eine Reelle Zahl ist.
Daraufhin weiß ich nicht genau wie ich vorgehen sollte.
Wieder vom einfachen Bsp. ausgehend würde ich jetzt k = 0 setzen und dies mit dem vorgegebenen U multiplizieren. Weil U ist doch auch ein v von U.
Mit Null multipliziert würde dies ja den Nullvektor ergeben und dieser ist ja in U.
So würde ich sagen, dass dies ein Unterraum ist.
Oder darf ich das mit 0 gar nicht machen oder habe ich das falsch verstanden`?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Havin307
Meinst du ob mein Nullvektor auch Teilmenge von R^3 ist? Wenn ja, dann ja da 0 ja auch eine Reelle Zahl ist.

Nein! Der Nullvektor ist ein Element, kann also keine Teilmenge sein. Und der Nullvektor 0 und die reelle Zahl 0 sind etwas anderes, auch wenn sie mit demselben Symbol versehen sind!

Die Frage war ob der potentielle Unterraum, deine Menge U, eine Teilmenge von V ist?

Zitat:

Wieder vom einfachen Bsp. ausgehend würde ich jetzt k = 0 setzen und dies mit dem vorgegebenen U multiplizieren.

k ist eine beliebige Zahl! Da man es für alle Zahlen zeigen will nimmt man eben eine Variable die eine beliebige Zahl aus den reellen Zahlen bezeichnet.

Unterscheide zwischen den Elementen von U und U selbst. Du multiplizierst nicht mit U sondern du multiplizierst k mit einem Element aus U!

Zitat:
Weil U ist doch auch ein v von U.

Wie bitte? unglücklich

Lese dir meinen letzten Beitrag noch einmal gründlich durch und beantworte Schritt für Schritt die dort gestellten Fragen.
Havin307 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich tue mich da ganz schwer das zu verstehen.
In der Übung habe ich aufgeschrieben das wir folgenden Schritt gemacht haben:

x + y

Daraufhin konnten wir direkt sagen ob es ein Unterraum ist oder nicht. Ich verstehe es irgendwie trotzdem nicht. Heißt das, dass wir einfach mit der "gefundenen Gleichung" das selbe Ausdrücken können sowie mit der vorgegebenen Gleichung? Aber wann wäre es denn dann kein Unterraum?

Es tut mir leid, ich habe den Beitrag nicht verstanden! Ich hatte es so verstanden wie ich es beantwortet habe und anders wüsst ich jetzt gar nichts dazu unglücklich
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist die schnelle Lösung. Aber dazu muss man schon ein wenig von der Theorie verstanden haben. Das hast du leider noch nicht.

Kurz zur Erklärung der Lösung aus eurer Übung:
Die Form zeigt dass U das Erzeugnis(oder auch die lineare Hülle) von (1 3 1) und (1 4 -2) ist. Dieses ist automatisch ein Unterraum.


Zu meinem Beitrag: Ok wir haben k aus den reellen Zahlen und ein v aus U. Da v aus U ist gibt es x und y aus den reellen Zahlen so dass . Was ist nun k*v? Gibt es Koeffizienten so dass ? Gibt es diese so ist ansonsten nicht(Definition von U!)

Ich bin gleich offline, vllt. hilft dir jemand anderes ansonsten musst du bis heute Abend auf eine weitere Antwort warten.
Havin307 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Kiste! Du hast mir auf jedenfall schon viel geholfen! In der Uni haben wir das einfach so gemacht wie ich es geschrieben habe nur habe ich da wie du auch bemerkt hast den Sinn nicht verstanden. Das haben wir auch bei den anderen Aufgaben so gemacht. Wir hatten immer raus, dass es ein Unterraum ist, deswegen war es für mich überhaupt nicht verständlich wann es denn dann keiner wäre.
Ich versuche mich nocheinmal an den Büchern und probier dann nochmal deinen Beitrag zu verstehen. Vielen Dank noch einmal!
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

und wie sieht es aus? Bist du weiter gekommen?

Ein Beispiel für eine Teilmenge die kein Unterraum ist könnte man sich mal die Polynome anschauen.

Der Polynomring ist ein -Vektorraum. Die Teilmenge ist kein Unterraum!
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