Vektorraum ohne Skalarprodukt

17.08.2009, 12:20	HANShans	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum ohne Skalarprodukt Hallo zusammen, könnte mir jemand nen VR nennen, auf dem es kein Skalarprodukt gibt also auf dem ein Skalarprodukt nicht einmal definierbar ist? Und wie zeigt man das dann?
17.08.2009, 12:27	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst zum Beispiel $\begin{eqnarray} \ell^1(\mathbb N) \end{eqnarray}$ nehmen und mit der Parallelogrammgleichung nachrechnen, dass es kein Skalarprodukt gibt. Cordovan
17.08.2009, 12:45	HANShans	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Cordovan! Kannst du mir noch sagen, was du mit l^1(IN) meinst? Den Raum der 1-integrablen Funktionen über IN (oder ist das jetzt völlig daneben)?
17.08.2009, 12:51	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit meine ich die diskrete Version, also $\begin{eqnarray} \ell^1(\mathbb N):=\{(a_n)_{n\in\mathbb N}\ \|\ \\|(a_n)_{n\in\mathbb N}\\|_1<\infty\} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \\|(a_n)_{n\in\mathbb N}\\|_1:=\sum_{k=1}^\infty \|a_k\| \end{eqnarray}$ . Cordovan
17.08.2009, 12:59	HANShans	Auf diesen Beitrag antworten »
super, danke. Das Nachrechnen wird wohl kein Problem sein..., falls doch melde ich mich nochmal
17.08.2009, 13:03	HANShans	Auf diesen Beitrag antworten »
kann man den genannten Raum als den Raum der absolut konvergenten Reihen auffassen?
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17.08.2009, 13:19	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Cordovan
17.08.2009, 17:58	HANShans	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt habe ich noch ne ziemlich seltsame Frage: woher weiß ich denn, dass ich es kein Skalarprodukt auf diesem Raum gibt, wenn ich nur zeige, dass es mit der vorgegebenen Norm (und dem entsprechenden Skalarprodukt) nicht klappt. Könnte es nicht sein, dass es ein Skalarprodukt gibt, das nicht in direkter Verbindung mit der von dir def. Norm gibt? Oder ist es vielleicht klar, dass die def. Norm die einzig mögliche Norm auf dem Raum ist (dann würde die Nicht-Existenz eines Sk.pr. natürlich folgen)?
19.08.2009, 13:42	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Hans, Es gibt zu dieser Norm kein Skalarprodukt, das die Norm induziert, aber letzten Endes kann man genügend andere Normen auf diesem VR definieren und natürlich auch Skalarprodukte. Zum Beispiel ist ja auch die $\begin{eqnarray} \ell^2 \end{eqnarray}$ -Norm $\begin{eqnarray} \\|(a_n)\\|_2=\sqrt{\sum_{k=1}^\infty\|a_k\|^2} \end{eqnarray}$ auf diesem Raum definiert und zu der gibt es auch ein passendes Skalarprodukt. Ohne eine Norm ist dieser Vektorraum nichts besonderes mehr, sondern eben einfach nur ein unendlichdimensionaler K-Vektorraum mit einer Basis. Dazu lässt sich dann auch allgemein ein Skalaprodukt definieren. Gruß, Reksilat.

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