Automorphismengruppe

24.08.2009, 11:45	karo123	Auf diesen Beitrag antworten »
Automorphismengruppe Hi, ich stehe gerade vor folgender Aufgabe: Wir haben eine Gruppe der Form $\begin{eqnarray} S_1 \times S_2 \times \dots \times S_n \end{eqnarray}$ gegeben mit lauter einfachen, nicht-abelschen, nicht-isomorphen, endlichen Gruppen $\begin{eqnarray} S_i \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} Aut(S_1 \times S_2 \times \dots \times S_n) \cong Aut(S_1) \times Aut(S_2) \times \dots \times Aut(S_n) \end{eqnarray}$ Ich habe versucht, mich mit der Isomorphie $\begin{eqnarray} Out(G) \cong Aut(G) / Inn(G) \end{eqnarray}$ voranzuhangeln, aber gilt dann auch automatisch $\begin{eqnarray} Aut(G) \cong Out(G) \times Inn(G) \end{eqnarray}$ ? Ich kenne jetzt kein Gegenbeispiel, vermute aber mal, dass es nicht immer gilt. Hat vielleicht jemand einen Tipp für mich, wie ich das besser angehen könnte? LG, Karo
24.08.2009, 12:36	karo123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich habe mir nun folgendes gedacht: Für Automorphismen $\begin{eqnarray} \alpha_i \in Aut(S_i) \end{eqnarray}$ erhält man ja für jede mögliche Kombination der $\begin{eqnarray} \alpha_i \end{eqnarray}$ einen Automorphismus des direkten Produktes. Also gilt z.B. für $\begin{eqnarray} s_i \in S_i, \alpha \in Aut(S_1 \times S_2 \times \dots \times S_n) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \alpha(s_1,s_2, \dots, s_n) = (\alpha_1(s_1), \alpha_2(s_2),\dots,\alpha_n(s_n)) \end{eqnarray}$ Und da die $\begin{eqnarray} S_i \end{eqnarray}$ ja nicht-isomorph sind, sind das alle Automorphismen des direkten Produktes. Warum die $\begin{eqnarray} S_i \end{eqnarray}$ aber auch noch nicht-abelsch und einfach sein sollen, weiß ich noch nicht. Benötigt man das noch, oder war die obige Erkenntnis im Grund schon der Beweis? LG, Karo
24.08.2009, 13:22	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe mich schon länger nicht mehr damit beschäftigt deswegen fällt mir spontan kein Lösungsansatz ein. Deiner ist aber leider falsch, bzw. benutzt genau das was du beweisen sollst. Die Forderung einfach zum Beispiel ist aber wichtig. Sind zum Beispiel S_1 und S_2 zwei verschiedene direkte Produkte mit einem gleichen Faktor so kann ein Automorphismus durch Permutation gewonnen werden.
24.08.2009, 13:54	karo123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, stimmt, da war ich zu voreilig. Also man müsste zeigen, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} &&\alpha: Aut(S_1) \times Aut(S_2) \times \dots \times Aut(S_n) \to Aut(S_1 \times S_2 \times \dots \times S_n),\\&&\alpha_{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n}(s_1,s_2,\dots,s_n) \mapsto (\alpha_1(s_1),\alpha_2(s_2),\dots,\alpha_n(s_n)) \end{eqnarray}$ auch bijektiv ist. Injektiv ist sie ja in jedem Fall. Über die Surjektivität muss ich mir dann mal Gedanken machen. LG, Karo
24.08.2009, 14:24	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke das Ziel sollte es sein zu zeigen dass eine einfache nicht-abelsche Gruppe nicht "quer" im direkten Produkt liegen kann. Betrachten wir einen Automorphismus $\begin{eqnarray} \varphi \in \mathrm{Aut}(G) \end{eqnarray}$ wobei G unsere Gruppe bezeichne. Es ist $\begin{eqnarray} \varphi(S_1) \cong S_1 \end{eqnarray}$ (Ich identifiziere hier S_1 mit S_1x{0}x...x{0}) und $\begin{eqnarray} \varphi(S_1) \leq G \end{eqnarray}$ . Da die S_i paarweise nicht isomorph sind muss $\begin{eqnarray} \varphi(S_1) = S_1 \end{eqnarray}$ oder "quer" im direkten Produkt liegen. Da $\begin{eqnarray} S_1 \end{eqnarray}$ normal in G ist muss auch $\begin{eqnarray} \varphi(S_1) \end{eqnarray}$ normal in G sein. Falls also $\begin{eqnarray} \varphi(S_1) \end{eqnarray}$ Untergruppe eines direkten Produkts ist, so muss auch jeder Faktor der Untergruppe normal in G sein. Widerspruch? Ist bestimmt noch ein Fehler drin da nicht-abelsch nicht benutzt wurde. Aber so in die Richtung könnte es bestimmt funktionieren.
25.08.2009, 12:09	karo123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, cool, danke Ich denke nicht, dass das falsch ist, denn die abelschen, einfachen Gruppen sind ja gerade die zyklischen von Primordnung - und für die stimmt der Beweis erst recht. Aber wenn man sich deine Idee anschaut, kommt man auf folgendes: Angenommen, man hat die selbe Aufgabe wie im ersten Post, mit der Ausnahme, dass nun alle Gruppen $\begin{eqnarray} S_i \end{eqnarray}$ isomorph seien. Zumindest für die Ordnung der Automorphismengruppe von G sollte dann $\begin{eqnarray} \|Aut(G)\| = \|Aut(S_1)\| \cdot \dots \cdot \|Aut(S_n)\| \cdot \|Sym_n\| \end{eqnarray}$ gelten. Gilt dann auch $\begin{eqnarray} Aut(G) = Aut(S_1) \times \dots \times Aut(S_n) \times Sym_n \end{eqnarray}$ ? Bzw. ist das letzte Produkt wirklich direkt? LG, Karo
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