Berechnung der Fibonacci-Zahlen

24.08.2009, 12:36

Felix

Berechnung der Fibonacci-Zahlen

$\begin{eqnarray*} f(z):= \sum_{n=0}^{\infty}~ f_nz^n \end{eqnarray*}$ hat den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} h:=1/g \end{eqnarray*}$ (g ist der goldene Schnitt). Für $\begin{eqnarray*} \mid z \mid < h \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (1 -z -z^2)f(z) = 1 \end{eqnarray*}$ .

Nun soll man mittels der PBZ von $\begin{eqnarray*} (1 -z -z^2)^{-1} \end{eqnarray*}$ die Potenzreihe f berechnen.

Die Lösung sieht folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} (1 -z -z^2)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{5}} ( \frac {g}{1 -gz} + \frac {g^{-1}}{1 + g^{-1}z}) \end{eqnarray*}$

Hier ist mein erstes Verständnisproblem. Diese Identität stimmt zwar offensichtlich, aber das ist doch keine PBZ. Die sieht nämlich anders aus verwirrt

Es geht weiter mit: Durch Entwicklung der Partialbrüche in geometrische Reihen erhält man:

$\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{\sqrt{5}} \sum_{n=0}^{\infty}~ (g^{n+1} + (-1)^n g^{-(n+1)}) z^n \end{eqnarray*}$

Diesen Teil verstehe ich grad gar nicht unglücklich

Ich bin zugegebenermaßen ein wenig verwirrt. Weiß jemand Rat ?

lg

24.08.2009, 16:25

Romaxx

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Hallo,

vielleicht hilft dir das:

$\begin{eqnarray*} h(z)=\left(1-z-z^2\right)^{-1}=\left(\left(1-z\cdot\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\cdot\left(1+z\cdot\left(-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\right)\right)^{-1}=\left(\left(1-z\cdot g\right)\cdot\left(1+z\cdot g^{-1}\right)\right)^{-1} \end{eqnarray*}$

Gruß

25.08.2009, 14:46

Felix

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Die erste Identität ist mir klar auch wenn ich nicht weiß wie man darauf kommen soll. Das ist doch keine PBZ und führt auch zu keiner !

Bei der 2. ist mir nicht klar, warum man weiß, dass $\begin{eqnarray*} g= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ .

25.08.2009, 14:54

Zizou66

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$\begin{eqnarray*} g=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ , weil der goldene Schnitt die positive Lösung von $\begin{eqnarray*} g^2-g-1=0 \end{eqnarray*}$ ist. Woher man das widerrum weiß, kannst du hier nachlesen

25.08.2009, 16:04

Romaxx

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Hallo,

$\begin{eqnarray*} h(z)=\left(1-z-z^2\right)^{-1}=\left(\left(z+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\cdot\left(-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)-z\right)\right)^{-1} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} g=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \end{eqnarray*}$ (weiß man bzw. siehe Zizou66) und $\begin{eqnarray*} g^{-1}=\left(\frac{1}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)=-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right) \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} h(z)=\left(\left(z+g\right)\cdot\left(g^{-1}-z\right)\right)^{-1}=\left(\left(z+g\right)\cdot\left(g^{-1}-z\right)\right)^{-1}\cdot\left(g\cdot g^{-1}\right)^{-1}=\left(\left(1+z\cdot g\right)\cdot\left(1-z\cdot g^{-1}\right)\right)^{-1}\ \end{eqnarray*}$

Damit lässt sich nur weiter arbeiten:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{1+z\cdot g}+\frac{B}{1-z\cdot g^{-1}}=... \end{eqnarray*}$

27.08.2009, 12:02

Felix

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$\begin{eqnarray*} h(z)=\left(\left(z+g\right)\cdot\left(g^{-1}-z\right)\right)^{-1}=\left(\left(z+g\right)\cdot\left(g^{-1}-z\right)\right)^{-1}\cdot\left(g\cdot g^{-1}\right)^{-1}=\left(\left(1+z\cdot g\right)\cdot\left(1-z\cdot g^{-1}\right)\right)^{-1}\ \end{eqnarray*}$

Ich glaube hier ist ein Vorzeichenfehler. Das Ergebnis sollte doch eher $\begin{eqnarray*} \left(\left(1- z\cdot g\right)\cdot\left(1+z\cdot g^{-1}\right)\right)^{-1}\ \end{eqnarray*}$ sein verwirrt

Ansonsten ist mir dieser Schritt jetzt völlig klar. Danke ihr beiden Freude

Was die PBZ angeht:

$\begin{eqnarray*} A= (1+ g^{-2})^{-1}= \frac {g}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B = (1 + g^2)^{-1}= \frac {g^{-1}}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

Allerdings ist mir noch immer unklar wie ich das zu verstehen habe:

Es geht weiter mit: Durch Entwicklung der Partialbrüche in geometrische Reihen erhält man:

$\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{\sqrt{5}} \sum_{n=0}^{\infty}~ (g^{n+1} + (-1)^n g^{-(n+1)}) z^n \end{eqnarray*}$

27.08.2009, 12:41

wirr

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Nun ja. Du hast jetzt
$\begin{eqnarray*} f(z) = (1 -z -z^2)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{5}} ( \frac {g}{1 -gz} + \frac {g^{-1}}{1 + g^{-1}z}) \text{ mit } z \in \mathbb D \text{ und } 1 -z -z^2 \ne 0 \end{eqnarray*}$ .

Dabei soll $\begin{eqnarray*} \mathbb D \end{eqnarray*}$ den Definitionsbereich bezeichnen. Und du kennt auch die geometrische Reihe in der Form
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} z^n = \frac{1}{1-z} \text{ f.a. } z \in \mathbb D \text{ mit } |z| < 1 \end{eqnarray*}$ ,

Jetzt musst du nur noch diese Gleichheit benutzen.

28.08.2009, 14:29

Felix

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Und was ist mit $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~ (g^{n+1} + (-1)^n g^{-(n+1)}) \end{eqnarray*}$

Das konvergiert ja nichtmal verwirrt

28.08.2009, 15:24

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Zitat:

Original von Felix
Und was ist mit $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~ (g^{n+1} + (-1)^n g^{-(n+1)}) \end{eqnarray*}$

Das konvergiert ja nichtmal verwirrt

Wie kommst du auf die verrückte Idee, dass diese Reihe konvergieren könnte? Und wozu überhaupt sollte sie das?

Wie du bereits selbst in den ersten Zeilen deines Eröffnungsbeitrages festgestellt hast, ist der Konvergenzradius der vorliegenden Potenzreihe gleich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{g} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618 \end{eqnarray*}$ .

Damit ist doch völlig klar, dass diese Potenzreihe für $\begin{eqnarray*} z = 1 \end{eqnarray*}$ divergiert!

28.08.2009, 15:41

Felix

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Ich weiß halt noch immer nicht, warum :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{5}} ( \frac {g}{1 -gz} + \frac {g^{-1}}{1 + g^{-1}z})= \frac{1}{\sqrt{5}} \sum_{n=0}^{\infty}~ (g^{n+1} + (-1)^n g^{-(n+1)}) z^n \end{eqnarray*}$

gilt, auch wenn ich $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} z^n = \frac{1}{1-z} \text{ f.a. } z \in \mathbb D \text{ mit } |z| < 1 \end{eqnarray*}$ beachte.

Tut mir leid, dass ich so begriffstützig bin was das angeht, aber mit dieser Aufgabe stehe ich echt auf Kriegsfuß.

28.08.2009, 16:21

Ungewiss

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Für die z, für die die auftretenden Reihen konvergieren ist meines Wissens doch:

$\begin{eqnarray*} \left( \frac {g}{1 -gz} + \frac {g^{-1}}{1 + g^{-1}z}\right)=\left( g\cdot\frac {1}{1 -gz} + g^{-1}\cdot\frac {1}{1 -((-1)g^{-1}z)}\right)=\left( g\cdot\sum_{k=0}^\infty (gz)^k + g^{-1}\cdot\sum_{k=0}^\infty (-1)^kg^{-k}z^k\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \left( \sum_{k=0}^\infty g^{k+1}z^k + \sum_{k=0}^\infty (-1)^kg^{-(k+1)}z^k\right)=\sum_{k=0}^\infty \Big(g^{k+1}+(-1)^kg^{-(k+1)}\Big)z^k \end{eqnarray*}$

30.08.2009, 12:01

Felix

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Vielen Dank, jetzt hab ichs smile

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