Würfelproblem

25.08.2009, 15:15

Rudi

Würfelproblem

HI Leute ,

folgendes:

Ein Schüler würfelt mit zwei normalen Würfeln und ein zweiter mit einem Dodekaeder.

Gewonnen hat jeweils der mit der höheren Augensumme.

Wer wird häufiger gewinnen ?

Also zu Anfang habe ich überlegt für den Spieler mit zwei normalen Würfeln gibt es 36 mögliche Ergebnisse. Für den mit dem Dodekaeder gibt es 12.

Nun weiß ich nicht wie ich an die günstigen Ergebnisse komme. Vielleicht kann mir ja jemand ein Tip geben !

Grüße

25.08.2009, 15:40

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Aus der gemeinsamen Verteilung der beiden Würfe des normalen Würfels (36 Konstellationen) kannst du die Verteilung der Summe bestimmen (11 mögliche Werte 2..12). Und mit der bekommst du die gemeinsame Verteilung der beiden Zufallsgrößen "Summe Augenzahlen der beiden normalen Würfel" und "Augenzahl des Dodekaeders". Weiter geht's ähnlich hier.

P.S.: Was ist bei gleichen Augenzahlen - Remis? verwirrt

25.08.2009, 15:50

Rudi

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Ich bin mir nicht sicher ob ich es richtig verstanden habe.

Aber zunächst soll ich die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse der zwei normalen Würfel bestimmen.

Also von 2-12 halt.

Die höchste Wahrscheinlichkeit sollte bei 7 liegen !

Und die Wahrscheinlichkeit die Summe 7 aus den zwei normalen Würfeln zu bilden soll ich wie benutzen ?

25.08.2009, 15:53

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Zitat:

Original von Rudi
Und die Wahrscheinlichkeit die Summe 7 aus den zwei normalen Würfeln zu bilden soll ich wie benutzen ?

Ich hab von der Gesamtverteilung der Summe gesprochen, nicht nur von der Wkt für Augensumme 7. unglücklich

Ist schon seltsam, was aus meinen Beitragen manchmal so rausgelesen wird.

25.08.2009, 15:57

Rudi

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Ja du meinst doch die Gesamtverteilung der Summen , also wie oft die 2 vorkommen wird , wie oft die 3 ,4,5,6-12 ?

25.08.2009, 16:05

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Von der rede ich, ja - unter anderem. Eigentlich habe ich ja oben schon die Gesamtidee zur Lösung von

Zitat:

Original von Rudi
Wer wird häufiger gewinnen ?

skizziert, aber das verwirrt dich anscheinend - du willst wohl alles nur in kleinen Häppchen serviert bekommen. Augenzwinkern

25.08.2009, 16:21

Rudi

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Also die Wahrscheinlichkeiten sind folgende:

$\begin{eqnarray*} P(2)=0,027 P(3)=0,055 P(4)=0,083 P(5)=0,11 P(6)=0,138 P(7)=0,166 P(8)=0,138 P(9)=0,11 P(10)=0,083 P(11)=0,055 P(12)=0,027 \end{eqnarray*}$

Für den Spieler mit den zwei normalen Würfeln.

Und nun ?

25.08.2009, 16:48

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Wie ich schon sagte, kleine Häppchen...

Zitat:

Original von Arthur Dent
Aus der gemeinsamen Verteilung der beiden Würfe des normalen Würfels (36 Konstellationen) kannst du die Verteilung der Summe bestimmen (11 mögliche Werte 2..12).

Ok, die hätten wir - obwohl Brüche vorzuziehen sind statt der gerundeten Werte!!!

Zitat:

Original von Arthur Dent
Und mit der bekommst du die gemeinsame Verteilung der beiden Zufallsgrößen "Summe Augenzahlen der beiden normalen Würfel" und "Augenzahl des Dodekaeders". Weiter geht's ähnlich hier.

Und das hast du immer noch nicht beantwortet:

Zitat:

Original von Arthur Dent
P.S.: Was ist bei gleichen Augenzahlen - Remis? verwirrt

25.08.2009, 16:53

Rudi

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Also ich bin mir leider immer noch nicht ganz sicher wie ich weiter machen soll.

Beim Dodekaeder ist die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl 1/12.

Die Frage was passiert wenn beide Spieler das gleiche Würfeln ist nicht beantwortet.

25.08.2009, 17:02

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Ok, mal ordentlich aufgeschrieben, was wir bisher haben:

$\begin{eqnarray*} P(W = i) = \begin{cases} \frac{i-1}{36} & \;\mbox{für}\; i=2,\ldots,7 \\ \frac{13-i}{36} & \;\mbox{für}\; i=8,\ldots,12 \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

für die Augensumme $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ der beiden Würfel, sowie

$\begin{eqnarray*} P(D = k) = \begin{cases} \frac{1}{12} & \;\mbox{für}\; k=1,\ldots,12 \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

für die Augenzahl $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ des Dodekaeder. Gesucht sind die Gewinnwahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(W>D) \end{eqnarray*}$ für den Würfel-Spieler sowie $\begin{eqnarray*} P(W<D) \end{eqnarray*}$ für den Dodekaeder-Spieler - bei $\begin{eqnarray*} W=D \end{eqnarray*}$ gehe ich mal von Remis aus.

Berechenbar ist das mit der gemeinsamen Verteilung:

$\begin{eqnarray*} P(W>D) = \sum_{i,j:\; i>j} P(W=i,D=j) \end{eqnarray*}$ ,

wegen der Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} W,D \end{eqnarray*}$ ist das dann einfach

$\begin{eqnarray*} P(W>D) = \sum_{i,j:\; i>j} P(W=i)\cdot P(D=j) \end{eqnarray*}$ .

Na dann, frohes Summieren. Augenzwinkern

25.08.2009, 17:26

Rudi

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$\begin{eqnarray*} P(W>D)=\frac{299}{3888}=0,0769 \end{eqnarray*}$

Das habe ich raus , nur warum ich jetzt multipliziert und addiert habe müsstest du mir wirklich nochmal erklären Gott

(falls das Ergebnis denn richtig ist)

25.08.2009, 18:10

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Nein, das ist offensichtlich viel zu niedrig. Du hast anscheinend die Doppelsumme

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} P(W>D) = \sum_{i,j:\; i>j} P(W=i)\cdot P(D=j) \end{eqnarray*}$ .

nicht richtig verstanden: Hier wird über alle Paare $\begin{eqnarray*} i,j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i>j \end{eqnarray*}$ summiert! Da für $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ die Werte von 2 bis 12, und für $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ die Werte von 1 bis 12 überhaupt nur in Frage kommen, lautet diese Doppelsumme ausführlich

$\begin{eqnarray*} P(W>D) = \sum_{i=2}^{12} \sum_{j=1}^{i-1} P(W=i)\cdot P(D=j) \end{eqnarray*}$ .

25.08.2009, 18:36

Rudi

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ist halt schwer , wenn man die Schreibweiße nicht kennt

kann mir jemand helfen ? Ich weiß nicht wie es weiter geht .. vielleicht kann mir ja jemand zur Theorie eine Seite im www schicken ?

25.08.2009, 19:58

Huggy

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Versuch doch mal, dir das anschaulich klar zu machen. Du betrachtest die Wahrscheinlichkeiten, mit den Würfeln die Summe i zu werfen:

$\begin{eqnarray*} P(W=i) \end{eqnarray*}$

Für jeden dieser Fälle betrachtest du die Wahrscheinlichkeit, mit dem Dodekaeder eine Zahl kleiner i zu werfen:

$\begin{eqnarray*} P(D<i) \end{eqnarray*}$

Das Produkt

$\begin{eqnarray*} P(W=i)\cdot P(D<i) \end{eqnarray*}$

ist dann die Wahrscheinlichkeit, mit den Wurfeln die Summe i zu werfen und zu gewinnen. Diese Wahrscheinlichkeiten sind für alle i zu addieren. Ich fange mal an:

$\begin{eqnarray*} P(W=2)=\frac{1}{36} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(D<2)=\frac{1}{12} \end{eqnarray*}$

Das ergibt

$\begin{eqnarray*} P(W>D)=\frac{1}{36}\frac{1}{12}+ Rest \end{eqnarray*}$

Dabei steht Rest für die noch nicht behandelten Fälle. Nächster Fall i =3:

$\begin{eqnarray*} P(W=3)=\frac{2}{36} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(D<3)=\frac{2}{12} \end{eqnarray*}$

Jetzt hat man

$\begin{eqnarray*} P(W>D)=\frac{1}{36}\frac{1}{12}+ \frac{2}{36}\frac{2}{12}+Rest \end{eqnarray*}$

Und jetzt solltest du wirklich in der Lage sein, den Rest stückweise zu ergänzen.

Ich bin aber irritiert! Lernt man in der Schule wirklich nicht den Umgang mit dem $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ -Zeichen?

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